از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
مثلث بزیر نوع خاصی از منحنی بزیر است که از درونیابی (خطی، درجه دو، مکعبی یا درجات بالاتر) نقاط کنترلی بدست میآید.
مثلث مکعبی بزیر [ ویرایش ]
نمونه مثل بزیر با نقاط کنترلی مشخص شده
یک مثلث بزیر مکعبی سطحی با معادله زیر است:
p
(
s
,
t
,
u
)
=
(
α
s
+
β
t
+
γ
u
)
3
=
β
3
t
3
+
3
α
β
2
s
t
2
+
3
β
2
γ
t
2
u
+
3
α
2
β
s
2
t
+
6
α
β
γ
s
t
u
+
3
β
γ
2
t
u
2
+
α
3
s
3
+
3
α
2
γ
s
2
u
+
3
α
γ
2
s
u
2
+
γ
3
u
3
{\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=&\beta ^{3}\ t^{3}+3\ \alpha \beta ^{2}\ st^{2}+3\ \beta ^{2}\gamma \ t^{2}u+\\&3\ \alpha ^{2}\beta \ s^{2}t+6\ \alpha \beta \gamma \ stu+3\ \beta \gamma ^{2}\ tu^{2}+\\&\alpha ^{3}\ s^{3}+3\ \alpha ^{2}\gamma \ s^{2}u+3\ \alpha \gamma ^{2}\ su^{2}+\gamma ^{3}\ u^{3}\end{aligned}}}
که در آن α3 ، β3 ، γ3 ، α2 β، αβ2 ، β2 γ، βγ2 ، αγ2 ، α2 γ و αβγ نقاط کنترلی مثلث و s، t، u (با 0 ≤ s، t، u ≤ 1 و s+t+u=1) مراکز جرم داخل مثلث هستند.[۱]
نصف کردن مثلث بزیر مکعبی [ ویرایش ]
مزیت مثلث بزیر در گرافیک کامپیوتری تقریب راحت آنها توسط مثلثهای منظم است.
عبارت زیر نقاط کنترلی جدید را برای نصف مثلث بزیر کامل با گوشه α3 ، یک گشوه در میان منحنی بزیر α3 و β3 و گوشه سوم در γ3 است.
(
α
3
′
α
2
β
′
α
β
2
′
β
3
′
α
2
γ
′
α
β
γ
′
β
2
γ
′
α
γ
2
′
β
γ
2
′
γ
3
′
)
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
4
2
4
1
4
0
0
0
0
0
0
0
1
8
3
8
3
8
1
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
4
2
4
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
⋅
(
α
3
α
2
β
α
β
2
β
3
α
2
γ
α
β
γ
β
2
γ
α
γ
2
β
γ
2
γ
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}'\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}'\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}'\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}'\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}'\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}'\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}
به طور برابر تنها با استفاده از جمع و تقسیم به دو
β 3 := (αβ 2 + β 3 )/2
αβ 2 := (α 2 β + αβ 2 )/2
β 3 := (αβ 2 + β 3 )/2
α 2 β := (α 3 + α 2 β )/2
αβ 2 := (α 2 β + αβ 2 )/2
β 3 := (αβ 2 + β 3 )/2
β 2 γ := (αβγ + β 2 γ )/2
αβγ := (α 2 γ + αβγ )/2
β2 γ:=(αβγ+β2 γ)/2