قانون سیمپسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
قانون سیمپسون تابع‌ها را با یک چندجمله‌ای تخمین می‌زند و برای تخمین انتگرال از این چندجمله‌ای استفاده می‌کند

در علم محاسبات عددی روشی برای بدست آوردن عددی انتگرال‌ها وجود دارد که توسط توماس سیمپسون مورد استفاده قرار گرفته‌است و به همین دلیل به این روش قانون سیمپسون می‌گویند. در این قانون با استفاده از n بار استفاده از قانون ذوزنقه برای بدست آوردن مساحت زیر نمودار فرمولی برای مساحت زیر نمودار بدست میاورد که دقیقتر از روش ذوزنقه است. در این قانون با تقسیم کردن نمودار به بخش‌های کوچک‌تر مساحت زیر نمودار را بدست میاورد (با تقسیم به n+1 بخش که n عددی زوج است).

البته حدود صد سال پیش از سیمپسون فردی به نام یوهانس کپلر از این فرمول استفاده کرده بود به همین دلیل گاهی به این روش قانون کپلر هم گفته می‌شود.

تعمیم قانون سیمپسون[ویرایش]

اگر اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال کوچک باشد قانون سیمپسون برای n = ۲ یک جواب نسبتاً دقیق از جواب انتگرال خواهد بود. اما اگر تابع ما پیوستگی نداشته باشد یا اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال بزرگ باشد یا تابع ما دارای مشتقهای ناپیوسته باشد، در هر یک از این موارد قانون سیمپسون برای n = ۲ جوابی دقیق ارائه نمی‌دهد. در این صورت می‌توان بازه را به n > 2 بخش تقسیم کرد و در هر یک از این بخش‌ها از قانون سیمپسون استفاده کرد؛ که در این صورت به آن تعمیم قانون سیمپسون گفته می‌شود. فرض کنید بازهٔ انتگرال [a,b] به n بخش تقسیم شده‌است و همچنین n را عددی زوج در نظر بگیرید در این صورت طبق قانون سیمپسون داریم

که در این فرمول برای و در آن

خطای تعمیم قانون سیمپسون برابر است با[۱]

که در آن عددی بین و است و طول هر گام است.

قانون سیمپسون یک سوم[ویرایش]

اگر چندجمله‌ای درجهٔ دو را به جای تابع در فرمول استفاده کنیم می‌توان با استفاده از درونیابی می‌توان این چندجمله‌ای را بدست آورد.[۲]

در این شکل با استفاده از قانون سیمپسون سه هشتم تابع مشخص شده با رنگ مشکی با چندجمله‌ای مشخص شده با رنگ قرمز تخمین زده شده‌است



با انتگرال گرفتن از دو طرف تساوی و استفاده از قانون لاگرانژ داریم:



که این روش انتگرال‌گیری که یک حالت خاص از قانون سیمپسون است رابا نام سیمپسون یک سوم می‌شناسند.

خطای این روش محاسبهٔ انتگرال برابر است با:[۳]

که

میانگین نقطهٔ میانی و روش ذوزنقه[ویرایش]

از دیگر فرمول‌های به‌دست آمده از قانون سیمپسون توسط فرمول‌های نقطهٔ میانی

و فرمول روش ذوزنقه

است که خطای این دو روش به ترتیب

و

هستند که برای استخراج فرمول جدید از این دو روش به نسبت خطاها آن‌ها را جمع می‌کنیم.

جمع وزن‌دار این دو فرمول دقیقاً همان فرمول سیمپسون یک سوم است.

قانون سیمپسون سه هشتم[ویرایش]

انتگرال نمودار در بازهٔ صفر تا سه و نیم توسط قانون سیمپسون سه هشتم

این قانون یکی دیگر از روش‌های محاسبهٔ انتگرال است. این قانون با درونیابی یک چندجمله‌ای درجه ۳ و استفاده از قانون سیمپسون بدست می‌آید.[۴]

خطای روش سیمپسون سه هشتم برابر است با:

تعمیم قانون سیمپسون سه هشتم[ویرایش]

در این روش با n بار استفاده از قانون سیمپسون سه هشتم در بازهٔ [a,b] فرمول زیر به‌دست می‌آید

خطای روش تعمیم قانون سیمپسون سه هشتم برابر است با[۵]

قانون سیمپسون تعمیم یافته[ویرایش]

در تعمیم قانون سیمپسون به جای استفاده از قانون سیمپسون در بین بخش‌های جداگانه، آن را بین بخش‌هایی که همپوشانی دارند استفاده می‌کنیم

این فرمول با استفاده از قانون سیمپسون و قانون سیمپسون سه هشتم و در نهایت میانگین گرفتن از دو فرمول به‌دست آمده به‌دست آمده‌است.

قانون سیمپسون تعمیم‌یافته برای داده‌های غیرمعمول[ویرایش]

برای انتگرال گرفتن از بازهٔ غیرمعمول که به علت‌های مختلفی مانند کامل نبودن داده‌ها یا از بین رفتن آن‌ها رخ می‌دهد، لازم است آن را به بازه‌های غیر زوج تقسیم کنیم.

فرض کنید این بازه را به زوج زیر بخش () با ارتفاع‌های تقسیم کرده‌ایم در این صورت داریم[۶][۷]

که مقادیر تابع اصلی در k امین نقطهٔ قانون سیمپسون است و ضرایب and از طریق زیر به‌دست می‌آیند

که استفادهٔ این روش در قطعه کد زیر در پایتون (زبان برنامه‌نویسی) آمده‌است:

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. Atkinson صفحه ۲۵۶; Süli and Mayers, بخش ۷٫۵
  2. Atkinson, صفحه ۲۵۶; Süli and Mayers, بخش ۷٫۲
  3. Atkinson, معادلهٔ (۵٫۱٫۱۵); Süli and Mayers, تئوری 7.2
  4. Matthews 2004
  5. Matthews 2004
  6. Kylänpää, Ilkka (2019). Computational Physics course. Tampere University.
  7. Cartwright, Kenneth V. (2016). "Simpson's Rule Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data" (PDF). Journal of Mathematical Science and Mathematics Education. 11 (2): 34–42.

منابع[ویرایش]