از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
در احتمالات بیزی توزیع پیشین جفری (به انگلیسی : Jeffrey's prior ) یک احتمال پیشین است که متناسب با ریشه دوم دترمینان اطلاع فیشر است:
p
(
θ
→
)
∝
det
I
(
θ
→
)
.
{\displaystyle p\left({\vec {\theta }}\right)\propto {\sqrt {\det {\mathcal {I}}\left({\vec {\theta }}\right)}}.\,}
تغییر پارامتر [ ویرایش ]
برای تغییر یک پارامتر اگر بخواهیم
p
(
φ
)
∝
I
(
φ
)
{\displaystyle p(\varphi )\propto {\sqrt {I(\varphi )}}\,}
را از
p
(
θ
)
∝
I
(
θ
)
{\displaystyle p(\theta )\propto {\sqrt {I(\theta )}}\,}
بدست آوریم، با استفاده از قانون تغییر متغیرها داریم:
p
(
φ
)
=
p
(
θ
)
|
d
θ
d
φ
|
∝
I
(
θ
)
(
d
θ
d
φ
)
2
=
E
[
(
d
ln
L
d
θ
)
2
]
(
d
θ
d
φ
)
2
=
E
[
(
d
ln
L
d
θ
d
θ
d
φ
)
2
]
=
E
[
(
d
ln
L
d
φ
)
2
]
=
I
(
φ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p(\varphi )&=p(\theta )\left|{\frac {d\theta }{d\varphi }}\right|\propto {\sqrt {I(\theta )\left({\frac {d\theta }{d\varphi }}\right)^{2}}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d\ln L}{d\theta }}\right)^{2}\right]\left({\frac {d\theta }{d\varphi }}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d\ln L}{d\theta }}{\frac {d\theta }{d\varphi }}\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d\ln L}{d\varphi }}\right)^{2}\right]}}={\sqrt {I(\varphi )}}.\end{aligned}}}
برای تغییر متغیر چندین متغیر نیز مشابه همین عمل می کنیم:
p
(
φ
→
)
=
p
(
θ
→
)
|
det
∂
θ
i
∂
φ
j
|
∝
det
I
(
θ
→
)
det
2
∂
θ
i
∂
φ
j
=
det
∂
θ
k
∂
φ
i
det
E
[
∂
ln
L
∂
θ
k
∂
ln
L
∂
θ
l
]
det
∂
θ
l
∂
φ
j
=
det
E
[
∑
k
,
l
∂
θ
k
∂
φ
i
∂
ln
L
∂
θ
k
∂
ln
L
∂
θ
l
∂
θ
l
∂
φ
j
]
=
det
E
[
∂
ln
L
∂
φ
i
∂
ln
L
∂
φ
j
]
=
det
I
(
φ
→
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p({\vec {\varphi }})&=p({\vec {\theta }})\left|\det {\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \varphi _{j}}}\right|\\&\propto {\sqrt {\det I({\vec {\theta }})\,{\det }^{2}{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \varphi _{j}}}}}\\&={\sqrt {\det {\frac {\partial \theta _{k}}{\partial \varphi _{i}}}\,\det \operatorname {E} \!\left[{\frac {\partial \ln L}{\partial \theta _{k}}}{\frac {\partial \ln L}{\partial \theta _{l}}}\right]\,\det {\frac {\partial \theta _{l}}{\partial \varphi _{j}}}}}\\&={\sqrt {\det \operatorname {E} \!\left[\sum _{k,l}{\frac {\partial \theta _{k}}{\partial \varphi _{i}}}{\frac {\partial \ln L}{\partial \theta _{k}}}{\frac {\partial \ln L}{\partial \theta _{l}}}{\frac {\partial \theta _{l}}{\partial \varphi _{j}}}\right]}}\\&={\sqrt {\det \operatorname {E} \!\left[{\frac {\partial \ln L}{\partial \varphi _{i}}}{\frac {\partial \ln L}{\partial \varphi _{j}}}\right]}}={\sqrt {\det I({\vec {\varphi }})}}.\end{aligned}}}