درخت کی‌دی
در علوم رایانه، درخت کی‌دی (کوتاه شده درخت K بعدی) یک ساختمان داده برای سازماندهی نقاط در فضای k-بعدی است در واقع یک تعمیم از درخت دودویی جست و جو می باشد.
این درخت، داده ساختاری است برای ذخیره‌سازی مجموعه متناهی از یک فضای K بعدی.
این درخت، یک داده ساختار مفید برای بسیاری از برنامه‌های کاربردی است، مانند جستجوهایی که شامل کلید واژه‌های جستجوی چند بعدی هستند.
مشخصات جامع درخت های کی دی[ویرایش]
درخت کی‌دی یک نوع درخت دودویی از نوع BSP ( کوتاه شده Binary space partitioning ) است .
هر گرهٔ آن یک نقطهٔ K بعدی است و هر گره غیر برگ را می‌توان به عنوان یک مولد جداکننده ابر صفحه، که فضا را به دو قسمت، که به عنوان زیر فضا شناخته می‌شوند، تقسیم می‌کند دانست .
نقاط سمت چپ ابرصفحه، در زیر درخت سمت چپ آن گره و نقاط سمت راست ابرصفحه، در زیر درخت راست نمایش داده می‌شوند .
هر گره در درخت با یکی از K بعد مرتبط است، به همراه ابرصفحه‌ای که بر محور آن بعد عمود است . بنابر این، به عنوان مثال، اگر برای یک جداسازی مشخص، محور X انتخاب شده باشد، تمام نقاط در زیر درخت که مقدار X کوچک تری از آن گره دارند در زیر درخت سمت چپ و تمام نقاط با مقدار X بزرگ تر، در زیر درخت سمت راست ظاهر می‌شوند . در چنین حالتی، ابر صفحه با مقدار X معین می‌شود و بردار نرمال آن محور X خواهد بود .
تنوع در نوع داده‌ها[ویرایش]
در این داده ساختار علاوه بر نقاط چند بعدی می‌توان انواع دیگری از متغیرها را نیز ذخیره نمود . به عنوان مثال یک درخت کی دی می‌تواند دربر دارنده مستطیلهای دو یا چند بعدی باشد . یک مستطیل دوبعدی نمایانگر یک شیء ۴ مؤلفه‌ای است ( ۴ نقطه مشخص‌کننده مستطیل ).
در چنین نمونه‌ایی مسئله جستجو تبدیل به یافتن مستطیل‌هایی متقاطع با مستطیل مرجع خواهد شد .
عملیات بر روی درخت کی دی[ویرایش]
ساخت درخت کی دی[ویرایش]
درخت کی دی بر اساس یک مجموعه نمونه داده شده E با الگوریتم زیر ایجاد می‌شود :
Algorithm: Constructing a KD-tree
Input: exset,of type exemplar-set
Output: kd , of type kd tree
Pre: None
Post: exset=exset-rep(kd) ^ ls-legal-kdtree(kd)
if exset is empty then return the empty kdtree
call pivot-choosing procedure.which returns two values:
ex := a member of exset
split := the splitting dimention
d := domain vector of ex
exset' := exset with ex removed
r := range vector of ex
exsetleft := { ( d' , r') member of exset'|d'split ≤ d split }
exsetright := { ( d' , r') member of exset'|d'split> d split}
kdleft := recursively construct kd-tree from exsetleft
kdright := recursively construct kd-tree from exsetright
kd := <d.r.split.kdleft.kdright>
افزودن یک عنصر[ویرایش]
افزودن یک نقطه به درخت کی دی، همانند افزودن یک عنصر به هر درخت جستجوی دیگر است .
ابتدا درخت را به این صورت پیمایش می‌کنیم که از ریشهٔ درخت شروع کرده و سپس با توجه به این که نقطه‌ای که میخواهیم درج کنیم در سمت راست صفحه جداکننده قرار دارد یا در سمت چپ به فرزند راست یا چپ می رویم ،
این کار را تا رسیدن به گره‌ای که این نقطه باید به عنوان فرزند آن درج شود ادامه داده و در آخر با توجه به این که نقطه مورد نظر در سمت راست صفحه جداکننده گره قرار دارد یا در سمت چپ، به عنوان فرزند راست یا چپ آن درج می‌شود. البته افزودن نقاط با این روش ممکن است موجب شود درخت نامتوازن شود و این امر کارایی را کاهش می‌دهد.
حذف یک عنصر[ویرایش]
برای حذف یک عنصر از درخت کی دی بهترین و ساده‌ترین روش آن است که مجموعه فرزندان گره هدف را مشخص کرده و پس از حذف آن گره، با توجه به مجموعه ذخیره شده مجدداً این بخش از درخت را ساخت.
البته روش های دیگری نیز وجود دارند، مثلا اینکه بهترین جایگزین را برای گره ی مورد نظری که میخواهیم از درخت حذف کنیم، پیدا کنیم. اما به‌طور کلی به صرفه از نظر پیچیدگی زمانی نخواهد بود.
ایجاد تعادل (balance) پس از درج یا حذف[ویرایش]
تعادل در یک درخت کی دی نیاز به مراقبت دارد زیرا این درختان در ابعاد مختلف طبقه بندی شده اند، بنابراین از روش چرخش درخت نمی توان برای تعادل آن ها استفاده کرد به این دلیل که ممکن است تغییر نا پذیر باشد.
انواع مختلف درخت کی دی[ویرایش]
چندین نوع مختلف کی دی وجود دارد که تعادل در آن ها برقرار است، شمال درخت تقسیم شده ی کی دی، درخت شبه کی دی، درخت های hB و درخت Bkd است.
پیچیدگی زمانی[ویرایش]
ساختن یک درخت کی دی[ویرایش]
ساختن یک درخت کی دی ایستا (static) اگر n گره (عناصر مورد نظر) داشته باشیم در دو حالت بررسی می شود:
حالت اول[ویرایش]
اگر از مرتب سازی هایی با پیچیدگی زمانی مانند هیپ یا مرج سورت برای یافتن میانه استفاده شود برابر است با
حالت دوم[ویرایش]
اگر از اگوریتم میانه ی میانه ها استفاده شود
برای درج و حذف و جست و جو[ویرایش]
بررسی پیچیدگی زمانی در بدترین حالت و حالت میانگین[ویرایش]
| نام دستور | حالت میانگین | بدترین حالت | |
| 1 | درج | o(logn) | o(n) |
| 2 | حذف | o(logn) | o(n) |
| 3 | جست و جو | o(logn) | o(n) |
| 4 | حافظه | o(n) | o(n) |
منابع[ویرایش]
پانویس[ویرایش]