هم‌افزایی در رگرسیون: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی

→ تفاوت قدیمی‌تر تفاوت جدیدتر ←

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

دیداریویکی‌متن

درخط

نسخهٔ ‏۲۸ دسامبر ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۱۹

به‌طور کلی هم افزایی حالتی است که جمع تأثیر کل اعضا بیشتر از اثر جداگانهٔ هر کدام از آن‌ها می‌باشد.

هم افزایی در علم امار و یادگیری ماشین تأثیر بسیاری در تفسیر مدل‌ها دارد.

مسئله فروش و تلویزیون و رادیو

فرض کنید ۱۰۰ هزار دلار بودجه در اختیار شرکتی تبلیغاتی می‌گذاریم و آن شرکت می‌تواند این ۱۰۰ هزار دلار را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم کند و زمانی که این شرکت بودجه را بین تبلیغ در تلویزیون و رادیو تقسیم می‌کند بیش از زمانی فروش دارد که کل پول را صرف تبلیغ در تلویزیون یا رادیو کند.

برای مثال در شکل زیر واضح است اختصاص دادن ۵۰ هزار دلار به تبلیغات تلویزیون و ۵۰ هزار دلار تبلیغ رادیو اثری بیشتر از ۱۰۰ هزار دلار بر هر کدام از این دو دارد و بالاتر (میزان فروش) از ابرصفحهٔ موجود قرار می‌گیرد در حالی که اختصاص دادن ۱۰۰ هزار دلار به هر کدام از تلویزیون یا رادیو پایین‌تر (میزان فروش) از ابرصفحه قرار می‌گیرد.^[۱]

توضیح ریاضی

فرض کنید تأثیر فروش تلویزیون در تبلیغات را با $\beta _{1}$ و میزان فروش ان را با $X_{1}$ نشان دهیم و تأثیر فروش رادیو در تبلیغات را $\beta _{2}$ و میزان فروش ان را با $X_{2}$ و عرض از مبدأ را با $\beta _{0}$ حال میزان متغیر پاسخ ما برابر رابطه زیر می‌باشد:

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}$

حال اگر تأثیر میزان فروش رادیو در تلویزیون را در رابطه دخیل کنیم به رابطهٔ زیر می‌رسیم:

$Y=\beta _{0}+\left(\beta _{1}+\beta _{3}X_{2}\right)X_{1}+\beta _{2}X_{2}$

که $\beta _{3}$ میزان تأثیر فروش رادیو بر تلویزیون است.

که با ساده‌سازی رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم:

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{2}+\beta _{2}X_{2}+\beta _{3}X_{1}X_{2}$

همان‌طور که در رابطهٔ فوق مشهود است متغیری در رابطه وجود دارد که حاصل ضرب میزان فروش تلویزیون و رادیو است که معادل تعریف هم افزایی در امار و یادگیری ماشین می‌باشد.^[۲]

منابع

An Introduction to Statistical Learning

↑ James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825.
↑ James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825.

[1] James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825.

[2] James, Gareth (2021). An introduction to statistical learning : with applications in R (به انگلیسی). Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2nd ed.). New York. pp. 79–81. ISBN 978-1-0716-1418-1. OCLC 1262436825.

[۱]

[۲]

@@ خط ۷: / خط ۷: @@
 [[پرونده:هم افزایی.png|بندانگشتی]]
-برای مثال در شکل زیر واضح است اختصاص دادن ۵۰ هزار دلار به تبلیغات تلویزیون و ۵۰ هزار دلار تبلیغ رادیو اثری بیشتر از ۱۰۰ هزار دلار بر هر کدام از این دو دارد و بالاتر (میزان فروش) از ابرصفحهٔ موجود قرار می‌گیرد در حالی که اختصاص دادن ۱۰۰ هزار دلار به هر کدام از تلویزیون یا رادیو پایین‌تر (میزان فروش) از ابرصفحه قرار می‌گیرد.
+برای مثال در شکل زیر واضح است اختصاص دادن ۵۰ هزار دلار به تبلیغات تلویزیون و ۵۰ هزار دلار تبلیغ رادیو اثری بیشتر از ۱۰۰ هزار دلار بر هر کدام از این دو دارد و بالاتر (میزان فروش) از ابرصفحهٔ موجود قرار می‌گیرد در حالی که اختصاص دادن ۱۰۰ هزار دلار به هر کدام از تلویزیون یا رادیو پایین‌تر (میزان فروش) از ابرصفحه قرار می‌گیرد.<ref>{{Cite book|edition=2nd|title=An introduction to statistical learning : with applications in R|url=https://www.worldcat.org/oclc/1262436825|date=2021|location=New York|isbn=978-1-0716-1418-1|oclc=1262436825|others=Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani|first=Gareth|last=James|pages=79-81|language=English}}</ref>
 == توضیح ریاضی ==
-فرض کنید تأثیر فروش تلویزیون در تبلیغات را با <math>\beta1</math> و میزان فروش ان را با <math>X1
+فرض کنید تأثیر فروش تلویزیون در تبلیغات را با <math>\beta_1</math> و میزان فروش ان را با <math>X_1
-</math> نشان دهیم و تأثیر فروش رادیو در تبلیغات را <math>\beta2</math> و میزان فروش ان را با <math>X2</math>  و عرض از مبدأ را با <math>\beta0</math> حال میزان متغیر پاسخ ما برابر رابطه زیر می‌باشد:
+</math> نشان دهیم و تأثیر فروش رادیو در تبلیغات را <math>\beta_2</math> و میزان فروش ان را با <math>X_2</math>  و عرض از مبدأ را با <math>\beta_0</math> حال میزان متغیر پاسخ ما برابر رابطه زیر می‌باشد:
+<math>Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2</math>
-''Y = β۰ + β1X1 + β2X2''
 حال اگر تأثیر میزان فروش رادیو در تلویزیون را در رابطه دخیل کنیم به رابطهٔ زیر می‌رسیم:
+<math>Y = \beta_0 + \left(\beta_1 + \beta_3X_2\right)X_1 + \beta_2X_2</math>
-''Y = β۰ + (β۱ + β3X2)X1 + β2X2''
-که <math>\beta3</math> میزان تأثیر فروش رادیو بر تلویزیون است.
+که <math>\beta_3</math> میزان تأثیر فروش رادیو بر تلویزیون است.
 که با ساده‌سازی رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم:
+<math>Y = \beta_0 + \beta_1X_2 + \beta_2X_2 + \beta_3X_1X_2</math>
-''Y = β۰ + β1X1 + β2X2 + β3X1X2''
-همان‌طور که در رابطهٔ فوق مشهود است متغیری در رابطه وجود دارد که حاصل ضرب میزان فروش تلویزیون و رادیو است که معادل تعریف هم افزایی در امار و یادگیری ماشین می‌باشد.
+همان‌طور که در رابطهٔ فوق مشهود است متغیری در رابطه وجود دارد که حاصل ضرب میزان فروش تلویزیون و رادیو است که معادل تعریف هم افزایی در امار و یادگیری ماشین می‌باشد.<ref>{{Cite book|edition=2nd|title=An introduction to statistical learning : with applications in R|url=https://www.worldcat.org/oclc/1262436825|date=2021|location=New York|isbn=978-1-0716-1418-1|oclc=1262436825|others=Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani|first=Gareth|last=James|pages=79-81|language=English}}</ref>
 == منابع ==