تبدیل فوریه

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط

تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هر تابع $f(t)\!$ را به یک تابع دیگر $F(\omega )\!$ منعکس می‌کند. در این صورت، به $F(\omega )\!$ تبدیل فوریهٔ تابع $f(t)\!$ می‌گویند. حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع $f(t)\!$ متناوب باشد، یعنی: $f(t+T)=f(t)\!$ . چنانچه تابع متناوب نباشد و یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ($T\to \infty \!$)، از سری فوریه به راحتی، عبارت زیر به دست می‌آید:

$F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

تبدیل فوریه و به همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در پیغام‌رسانی و مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد.

کاربرد

الگو:کلاس درس تبدیلات فوریه در محاسبات تصویری کاربردهای وسیعی دارند. بطور مثال در ام‌آرآی در فیزیک پزشکی جهت ایجاد تصویر نهایی اطلاعات امواج ساطع شده از هسته‌های هیدرژن از حوزۀ فرکانسی (frequency domain) به حوزۀ فضایی (spatial domain) تبدیل فوریه می‌شوند.

• 
  تصویر تابلوی نقاشی مونالیزا اثر داوینچی
• 
  همان تصویر بصورت دامنهٔ فرکانسی.

همچنین در علم دینامیک سازه‌ها و ارتعاشات مکانیکی برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر هارمونیک از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. پس از آن می‌توان اقدام به حل معادله دیفرانسیل حرکت سازه نمود.

یکی دیگر از کاربردهای آن در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود.

تبدیل سریع فوریه

مقالهٔ اصلی: تبدیل سریع فوریه

جستارهای وابسته

• ویژه‌مقدار
• تابع انتقال مدولاسیون
• الکترونیک
• فیزیک پزشکی
• تصویربرداری تشدید مغناطیسی

منابع

• E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3 (در وب موجود است [۱]).
• R. W. Clough, and J. Penzien, (1993), Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York, 2nd Edition