سامانه غیرخطی

در ریاضیات،سیستم‌های غیر خطی (Nonlinear systems) به سیستم‌هایی اطلاق می‌شود که از اصل برهم نهی پیروی نکند و یا اینکه خروجی یا پاسخ مستقیما نسبتی با ورودی نداشته باشد؛ در حالیکه یک سیستم خطی این شرایط را برآورده میکند. به بیان دیگر، یک سیستم غیر خطی در جایی تعریف میشود که متغیر(ها) به شکل ترکیبی خطی از اجزاء مستقل غیر قابل نوشتن باشند. یک سیستم غیرهمگن، که باوجود تابعی از متغیرهای مستقل خطی تلقی میشود، مطابق شرایط تعریف شده غیر خطی است، اما چنین سیستمی معمولا در کنار سیستمهای خطی مورد مطالعه قرار میگیرد، زیرا که میتوان آنها را در یک سیستم خطی با چندین متغیر قرار داد.

تعریف

در ریاضیات، تابع خطی $f(x)$ در جایی تعریف میشود که هر دو شرایط ذیل را برآورده کند:

• جمع پذیری: $\textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y)$
• همگن بودن: $\textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x)$

(جمع پذیری دلالت بر همگن بودن به اضاء هر مقدار عدد گویا برای ضریب α، و برای توابع پیوسته، به اضای هر مقدار عدد حقیقی برای α دارد. به اضای یک عدد مختلط برای α، خاصیت همگنی از جمع پذیری پیروی نمیکند؛ بعنوان مثال، یک تابع ضد-خطی anti-linear map قابلیت جمع پذیری دارد ولی همگن نیست.) شروط جمع پذیری و همگن بودن اغلب در قانون برهم نهی (superposition principle) یکی میشوند

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\,$

معادله $f(x)=C\,$ خطی است اگر $f(x)$ یک نگاشت خطی باشد (چنانچه در بالا توضیح داده شد) وگر نه غیرخطی است. و اگر $C=0$ معادله همگن خواهد بود.

معادلات جبری غیر خطی

معادلات جبری غیر خطی، که معادلات چندجمله ای هم خوانده میشوند، با مساوی صفر قراردادن چند جمله ای تعیین میشوند. بعنوان مثال

$x^{2}+x-1=0\,.$

برای یک معادله چندجمله ای، الگوریتم ریشه یابی جهت حل معادله قابل استفاده میباشد. (برای مثال، مجموعه ای از مقادیر برای متغیرها که شرایط معادله را برآورده میکند). هرچند که، سیستمهای معادلات جبری پیچیده هستند؛ مطالعه آنها انگیزه ایست برای هندسه جبری، که شاخه ای دشوار از ریاضیات مدرن میباشد.

دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل معمولی درجهٔ اول

پاره‌ای از سیستم‌های دینامیکی را با استفاده از تعدادی متناهی از معادلات دیفرانسیل معمولی متصل‌به‌هم از درجهٔ اول مدل می‌نمائیم. در حالت کلی، برای سیستمی متشکل از $n\!$معادله متصل‌به‌هم داریم:

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(t,x_{1},\cdots ,x_{n},u_{1},\cdots ,u_{p})\!$

${\dot {x}}_{2}=f_{2}(t,x_{1},\cdots ,x_{n},u_{1},\cdots ,u_{p})\!$

$\vdots \!$

${\dot {x}}_{n}=f_{n}(t,x_{1},\cdots ,x_{n},u_{1},\cdots ,u_{p})\!$

که در اینجا، ${\dot {x}}_{i}\!$ مشتق ${x}_{i}\!$ را نسبت به زمان $t\!$ نشان می‌دهد، و $u_{1},\cdots ,u_{p}\!$ متغیرهای حاوی مقادیر ورودی به دستگاه معادلات است. متغیرهای $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\!$ را متغیرهای حالت می‌نامیم، که در واقع، محتویات مربوط به حافظهٔ سیستم دینامیکی از گذشته را در درون خود دارند.

مثال‌ها

معادله آونگ

در حالت نوسانات با دامنه نسبتا بلند، معادلهٔ غیر خطی حرکت پاندول (با استفاده از قانون دوم نیوتون) به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$ml{\ddot {\theta }}=-mgsin\theta -kl{\dot {\theta }}\!$

که در این‌جا، $l\!$ طول میلهٔ آونگ، $m\!$ جرم قسمت سر آن، $\theta \!$ زاویهٔ مابین میله نسبت به محور قائم، و $g\!$ شتاب ثقل است.

جستارهای وابسته

• سیستم‌های خطی

منابع

• Khalil, K. Hassan, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, 1992. ISBN 0-02-363541-X

• نظام‌الدین فقیه, رموز تحول و توسعه در سیستم‌های انسانی (نگرشی نوین) ۹۶۴-۳۵۸-۲۶۵-۵:شابک