درخت پوشای کمینه

درخت پوشای بهینه در گراف‌های ارزش دار (وزن دار) ساخته می‌شود.

فرض کنید گراف یک گراف همبند باشد (یعنی بین هردو رأس متمایز آن یک مسیر وجود داشته باشد) منظور از یک درخت پوشا از این گراف درختی است که شامل همه رئوس این گراف باشد ولی فقط بعضی از یال های آنرا دربر گیرد. منظور از درخت پوشای مینیمم (برای گرف همبند وزن دار) درختی است که بین درخت های پوشای آن گراف، مجموع وزن یال های آن، کمترین مقدار ممکن باشد.برای به دست آوردن درخت پوشای بهینه یک گراف جهت دار متصل می توان از الگوریتم های متفاوتی استفاده نمود.البته بطور کلی دو الگوریتم برای درخت پوشای مینیمم وجود دارد که عبارتند از : الگوریتم کراسکال الگوریتم پریم

الگوریتم کراسکال

در الگوریتم کراسکال یال‌های گراف را به ترتیب صعودی مرتب می کنیم. از اولین (کوچکترین) یال شروع کرده و هر یال را به گراف اضافه می کنیم به شرط اینکه دور در گراف ایجاد نگردد. این روال را آنقدر ادامه می دهیم تا درخت پوشای بهینه تشکیل گردد.

 1  function Kruskal(G)
 2    for each vertex v in G do
 3      Define an elementary cluster C(v) ← {v}.
 4    Initialize a priority queue Q to contain all edges in G, using the weights as keys.
 5    Define a tree T ← Ø       //T will ultimately contain the edges of the MST
 6     // n is total number of vertices
 7    while T has fewer than n-1 edges do
 8      // edge u,v is the minimum weighted route from/to v
 9      (u,v) ← Q.removeMin()
10      // prevent cycles in T. add u,v only if T does not already contain a path between u and v. 
11      // Note that the cluster contains more than one vertex only if an edge containing a pair of
12      // the vertices has been added to the tree.
13      Let C(v) be the cluster containing v, and let C(u) be the cluster containing u.
14      if C(v) ≠ C(u) then
15        Add edge (v,u) to T.
16        Merge C(v) and C(u) into one cluster, that is, union C(v) and C(u).
17    return tree T

نحوهٔ کار الگوریتم کراسکال به این صورت است که یک جنگل از درخت هارا به ترتیب با هم ادغام می‌کند تا به یک درخت واحد برسد. در اینجا نمونه‌ای از چگونگی عملکرد الگوریتم کراسکال آورده‌ایم:

الگوریتم پریم

در این روش از یک رأس شروع می کنیم و کمترین یال (یال با کمترین وزن) که از آن می گذرد را انتخاب می کنیم. در مرحله بعد یالی انتخاب می‌شود که کمترین وزن را در بین یال‌هایی که از دو گره موجود می گذرد داشته باشیم. به همین ترتیب در مرحله بعد یالی انتخاب می‌گردد که کمترین وزن را در بین یالهایی که از سه گره موجود می گذرد داشته باشد. این روال را آنقدر تکرار می کنیم تا درخت پوشای بهینه حاصل شود. باید توجه کرد که یال انتخابی در هر مرحله در صورتی انتخاب می‌شود که در گراف دور ایجاد نکند. تفاوت روش پریم با روش کراسکال در این است که گراف حاصل در مراحل میانی تشکیل درخت پوشای بهینه در روش پریم همیشه متصل است ولی در الگوریتم کراسکال در آخرین مرحله قطعاً متصل است.

while latest_addition = remove minimum in Q
    set is_in_Q of latest_addition to false
    add latest_addition to (minimum_adjacency_list of (parent of latest_addition))
    add (parent of latest_addition) to (minimum_adjacency_list of latest_addition)
 for each adjacent of latest_addition
    if (is_in_Q of adjacent) and (weight-function(latest_addition, adjacent) < min_distance of adjacent)
        set parent of adjacent to latest_addition
        set min_distance of adjacent to weight-function(latest_addition, adjacent)
update adjacent in Q, order by min_distance

• ممکن است درختهایی که الگوریتم مذکور تولید می‌کنند، از لحاظ شکل ظاهری متفاوت باشند، ولی وزن همهٔ درخت ها یکسان است.
• مرتبهٔ زمانی الگوریتم پریم برابر (o(n^2 است. (حلقهٔ while، برای n دفعه و عمل یافتن از میان لبه‌های متصل به یک مجموعه دور خاص n دفعه اتفاق می افتد؛ که در مجموع برابر n^2 دفعه می‌شود).

از روش های دیگر برای یافتن درخت پوشای بهینه می‌توان الگوریتم های زیر را نام برد: الگوریتم دایکسترا الگوریتم سولین

الگوریتم دایکسترا

این الگوریتم بصورت حریصانه عمل نموده و به‌دنبال یافتن کوتاه ترین مسیر ممکن بین یک نود و هر نود دلخواه دیگر، در یک گراف وزن دار و جهت دار می‌باشد. ورودی این الگوریتم همیشه یک ماتریس دو بعدی است که همان ماتریس وزن گراف است.

 1  function Dijkstra(Graph, source):
 2      for each vertex v in Graph:           // Initializations
 3          dist[v] := infinity               // Unknown distance function from source to v
 4          previous[v] := undefined          // Previous node in optimal path from source
 5      dist[source] := 0                     // Distance from source to source
 6      Q := the set of all nodes in Graph
        // All nodes in the graph are unoptimized - thus are in Q
 7      while Q is not empty:                 // The main loop
 8          u := vertex in Q with smallest dist[]
 9          if dist[u] = infinity:
10              break                         // all remaining vertices are inaccessible
11          remove u from Q
12          for each neighbor v of u:         // where v has not yet been removed from Q.
13              alt := dist[u] + dist_between(u, v) 
14              if alt < dist[v]:             // Relax (u,v,a)
15                  dist[v] := alt
16                  previous[v] := u
17      return previous[]
1  S := empty sequence
2  u := target
3  while previous[u] is defined:
4      insert u at the beginning of S
5      u := previous[u]

در تصویر زیر مثالی از چگونگی کارکرد این الگوریتم مشاهده می‌شود:

الگوریتم سولین

در الگوریتم سولین برای هر گره یال با کمترین هزینه که از آن ع بور می‌کند را رسم می کنیم . در مرحله بعد ، گراف به مؤلفه‌هایی تقسیم می‌شود و یالی انتخاب می‌گردد که با کمترین هزینه دو مؤلفه گراف را به همدیگر متصل نماید با شرط عدم وجود دور در گراف. آنقدر این مراحل را ادامه می دهیم تا درخت پوشای بهینه حاصل شود.

منابع

• [۱]
• [۲]
• [۳]
• [۴]