قانون جهانی گرانش نیوتن

قانون جهانی گرانش نیوتن امروزه نیز در حرکت ماهواره‌ها به دور زمین به کار می‌رود

قانون جهانی گرانش نیوتن یا قانون گرانش عمومی نیوتن (به انگلیسی: Newton's Law of Universal Gravitation)، معادله‌ای است که اولین بار توسط آیزاک نیوتن برای توصیف نیروی گرانش در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» در سال ۱۶۸۷ ارائه شد.

بنا به این قانون، اجسام هستی همواره نیرویی به نام گرانش بر یکدیگر وارد می‌کنند که این نیرو همواره با حاصل ضرب جرم دو جسم نسبت مستقیم و با مجذور فاصله آن‌ها از یکدیگر نسبت وارون دارد که به صورت زیر بیان می‌شود:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

در این معادله G ثابت جهانی گرانش است (که مقدار آن در دستگاه SI برابر است با $6,67384\cdot {10^{-11}}{{m^{3}} \over {{kg^{1}}\cdot {s^{2}}}}$)، F نیروی گرانش بین دو جسم، m_۱ و m_۲ جرم دو جسم و r فاصله بین دو جسم است.

به دلیل مقدار بسیار کوچک G، نیروی گرانشی میان اجسام با جرم‌های کم قابل چشم‌پوشی است.

چون گرانش همیشه رباینده است و بر هر چیز جرم‌دار اثر می‌کند، می‌توان این قانون را برای گستره وسیعی از جهان مورد استفاده قرار داد (مگر در حوزه‌هایی که باید از نسبیت عام یا مکانیک کوانتومی استفاده کرد). پیرو این قانون اگر در سطح سیاره‌ای پرتابه‌ای با سرعت زیاد از ارتفاع بالا به صورت افقی پرتاب شود، تحت تأثیر گرانش مسیری منحنی را طی خواهد کرد. اگر سرعت این پرتابه به‌اندازه کافی باشد، می‌تواند مسیری دایره‌ای مانند را بپیماید و در مدار آن سیاره قرار گیرد. این قانون شکل مداری زمین، ماه و سیارات را با دقت زیادی توصیف می‌کند.

پیشینه

تا اواسط قرن ۱۶ میلادی، کلیسا و بیشتر دانشمندان اروپایی به نظریه زمین مرکزی بطلمیوس، که مورد تأیید انجیل نیز بود، باور داشتند. در سال ۱۵۴۳، نیکلاس کوپرنیک، کتاب «درباره گردش افلاک آسمانی» را کمی پیش از مرگش منتشر کرد. در این کتاب، او با رد نظریه زمین مرکزی، به اثبات نظریه خورشید مرکزی پرداخت. چندی پس از ممنوع شدن این کتاب در سال ۱۶۱۴ توسط کلیسا، یوهانس کپلر قوانین سه‌گانه خود را در مورد مدار سیارات در سال ۱۶۱۸ منتشر کرد. در اوایل قرن ۱۷ میلادی، کلیسا حکم ارتداد برخی را، از جمله گالیلئو گالیله، صادر کرد، زیرا آنان به نظریه خورشید مرکزی باور داشتند. گالیه، ابتدا با رها کرد دو گوی غیر هم‌جنس از بالای برج پیزا، نشان داد که اجسام، صرف نظر از جرمشان، با رها شدن (و نه پرتاب شدن) از ارتفاعی معین، به صورت همزمان به سطح زمین می‌رسند و به سرعت آنان در هر ثانیه، ۱۰ مرتبه اضافه می‌شود. او فرض کرد که اگر بتوان ستونی بدون هوا ایجاد کرد، برای مثال، یک پر و یک توپ فلزی در یک زمان و با یک سرعت به زمین خواهند رسید (این امر محقق نشد مگر زمانی که ماشین تخلیه هوا در سال ۱۶۵۴ اختراع شد و صحت نظر گالیله تأیید شد). سپس با استفاده از تلسکوپ و مشاهده سیاره مشتری، نشان داد که به دور سیارات نیز ماه‌هایی در حال گردش هستند و از این راه سعی در رد مرکزیت زمین کرد. این تلاش‌ها موجب صدور حکم ارتداد او از سوی کلیسا در سال ۱۶۱۰ شد و او مجبور به توبه اجباری از نظراتش شد. با تثبیت شدن مذهب پروتستان در نیمه دوم قرن ۱۷ در انگلستان، فضا برای رشد نظریه خورشید مرکزی در این کشور فراهم شد. در این دوران بسیاری از دانشمندان جزیره بریتانیا، از جمله آیزاک نیوتن، باور به نظریه خورشید مرکزی پیدا کرده بودند. بنا بر افسانه‌ای؛ در سال ۱۶۶۵، زمانی که نیوتون ۲۳ ساله بود، سقوط سیبی بر سرش در باغ خانه‌اش این پرسش را برای او ایجاد کرد که «چه نیرویی باعث سقوط این سیب به سوی زمین شده و آیا این نیرو ارتباطی با گردش ماه به دور زمین دارد؟». او پس از سال‌ها حقیق و انجام انبوهی از محاسبات ریاضی و تفکر بر روی قوانین کپلر، از جمله قانون اول آن، موفق به کشف این معادله شد. او کشف خود را در سال ۱۶۸۷ در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» به همراه قوانین مکانیک کلاسیک منتشر کرد. این معادله، مسیر سیارات را با دقت خوبی پیش‌بینی می‌کرد و خیلی زود، دانشمندان شروع به استفاده از آن در ستاره‌شناسی کردند. در سال ۱۷۸۹ (شصت سال پس از مرگ نیوتن)؛ هنری کاوندیش، با پیدا کردن مقدار ثابت G، قانون گرانش عمومی نیوتن را به صورت تجربی ثابت کرد. موفقیت چشم‌گیر مکانیک کلاسیک و قانون گرانش عمومی در توصیف حرک سیارات و ستارگان، منجر به ابداع مکانیک سماوی شد.

محاسبه شتاب جسم در حال سقوط (شتاب گرانش) در سیارات

قانون دوم نیوتن در مکانیک کلاسیک بیان می‌کند که شتاب هر جسم با نیروی وارد بر جسم نسبت مستقیم و با جرم جسم نسبت عکس دارد. خواهیم داشت:

$a={F \over {m}}$ یا $F=ma$

همچنین قانون گرانش عمومی نیوتن بیان می‌کند که نیروی گرانش بین دو جسم، با جرم دو جسم رابطه مستقیم و با مجذور فاصله بین آن‌ها نسبت عکس دارد. خواهیم داشت:

$F={G}{{m_{1}}{m_{2}} \over {r^{2}}}$

که در آن $m_{1}$ و $m_{2}$ جرم دو جسم، $r$فاصله دو جسم و $G$ ثابت جهانی گرانش است.

اگر روابط بالا را با یکدیگر برابر قرار دهیم خواهیم داشت:

$ma={G}{{m_{1}}{m_{2}} \over {r^{2}}}$

اگر $m$با $m_{1}$ برابر باشد خواهیم داشت:

$g={G}{{M_{e}} \over {(R_{e}+h)^{2}}}$

که در آن $g$ شتاب گرانش، $M_{e}$ جرم سیاره، $R_{e}$ شعاع سیاره و $h$ ارتفاع جسم از سطح سیاره است.

البته این رابطه برای خارج (بالاتر از سطح) سیاره است. برای محاسبه شتاب گرانش در داخل سیاره با توجه به رابطه $m={4 \over 3}{\rho }{\pi }{r^{3}}$ خواهیم داشت:

$g={4 \over 3}{G}{R_{e}}{\rho _{e}}{\pi }$

که در آن $\rho _{e}$ چگالی متوسط سیاره است.

وجود نقص

اشکال اساسی قانون گرانش عمومی این است که محدودیتی برای آن وجود ندارد. خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود. نیوتن دریافت که بر اثر قانون گرانش او، ستارگان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به نظر نمی‌رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال ۱۶۹۲ طی نامه ای به ریچارد بنتلی نوشت: «اگر تعداد ستارگان جهان بینهایت نباشد و این ستارگان در ناحیه ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اگر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به‌طور کمابیش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه بسوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت». مشکل بعدی قانون گرانش نیوتن این است که طبق این قانون یک جسم به‌طور نامحدود می‌تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می‌تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی‌کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده‌است.

منابع

*آسمان پارس، بازدید: اکتبر ۲۰۰۹.

• The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia، by I.Bernard Cohen. University of California Press ۱۹۹۹ ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4