کره (هندسه): تفاوت میان نسخه‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
MahdiAmiriShavaki (بحث | مشارکت‌ها)
جز اصلاح یک پیوند
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۱: خط ۱:
{{هندسه عمومی}}
{{هندسه عمومی}}
[[پرونده:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|چپ|بندانگشتی|نگارهٔ یک کره.]]
[[پرونده:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|چپ|بندانگشتی|نگارهٔ یک کره.]]
'''کُره''' (Sphere) یا '''گوی''' یک جسم [[هندسه|هندسی]] کاملاً گرد در [[هندسه فضایی|فضای سه بعدی]] است. برای نمونه [[توپ (ورزش)|توپ]] یک کره است. کره مانند [[دایره]] که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً [[متقارن]] در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، [[شعاع]] کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) [[قطر (دایره)|قطر]] کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.
'''کُره''' (Sphere) یا '''گوی''' یک جسم [[هندس|هندسی]] کاملاً گرد در [[هندسه فضایی|فضای سه بعدی]] است. برای نمونه [[توپ (ورزش)|توپ]] یک کره است. کره مانند [[دایره]] که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً [[متقارن]] در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، [[شعاع]] کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) [[قطر (دایره)|قطر]] کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.


== حجم کره ==
== حجم کره ==
خط ۳۹: خط ۳۹:
<!-- === روش دیگر ===
<!-- === روش دیگر ===
[[پرونده:KugelCavalieri.png|بندانگشتی|نگارهٔ مربوط به روش دوم]]
[[پرونده:KugelCavalieri.png|بندانگشتی|نگارهٔ مربوط به روش دوم]]
اگر نیم کره را درون یک استوانه محاط کنیم و فرض کنیم که نیم کره از تعداد بی شماری پوستهٔ نازک کروی (دیسک) با ضخامت ناچیز ساخته شده‌است؛ آنگاه می‌توان یک مخروط را درون استوانه به گونه‌ای تصور کرد که راس مخروط بر روی مرکز نیم کره بیفتد و مساحت مقطع مخروط در هر برش موازی با قاعدهٔ استوانه برابر با مساحت دیسک سازندهٔ نیم کره در آن مقطع عرضی باشد. آنگاه رابطه‌های زیر را می‌توان بدست آورد:
اگر نیم کره را درون یک استوانه محاط کنیم و فرض کنیم که نیم کره از تعداد بی شماری پوستهٔ نازک کروی (دیسک) با ضخامت ناچیز ساخته شده است؛ آنگاه می‌توان یک مخروط را درون استوانه به گونه‌ای تصور کرد که راس مخروط بر روی مرکز نیم کره بیفتد و مساحت مقطع مخروط در هر برش موازی با قاعدهٔ استوانه برابر با مساحت دیسک سازندهٔ نیم کره در آن مقطع عرضی باشد. آنگاه رابطه‌های زیر را می‌توان بدست آورد:


از نتیجهٔ [[قضیه فیثاغورس|قضیهٔ فیثاغورس]] داریم:
از نتیجهٔ [[قضیه فیثاغورس|قضیهٔ فیثاغورس]] داریم:

نسخهٔ ‏۳۰ سپتامبر ۲۰۱۹، ساعت ۱۰:۰۱

نگارهٔ یک کره.

کُره (Sphere) یا گوی یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.

حجم کره

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

که در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.

در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.

محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال

نیم کرهٔ مورد بحث

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر[۱] است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

پس به جای از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار است استفاده می‌کنیم:

مقدار تازهٔ را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

مقدار انتگرال برابر است با:

حجم نیمی از کره برابر با است پس حجم کل کره می‌شود:

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:


مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند[۱] باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

منابع

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Pages 141, 149. E.J. Borowski, J.M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. ISBN 0-00-434347-6.