اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها مینامیم و آن را با نماد ∩ نشان میدهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و $X\in S$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با $\bigcap S$ یا $\bigcap _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\forall A\in S,y\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسأله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود $\bigcap \phi :=U$.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با $A\cap B$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با $A\cap B\cap C$،... و اشتراک n مجموعه $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ را با $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n}=(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n-1})\cap A_{n}$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با $A\cup B$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap \phi =\phi \cap A=\phi$

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\subseteq B$ اگر و تنها اگر $A\cap B=A$.

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0