واریانس: تفاوت میان نسخه‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش
برچسب‌ها: ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه
خنثی‌سازی ۲ ویرایش اخیر با فرض حسن نیت؛ وردایی واژهٔ مصوّب فرهنگستان است! برای تغییر به نظرخواهی نیاز است
خط ۱: خط ۱:
در [[نظریه احتمالات]] و [[آمار]] '''وردایی<ref>مصوب [[فرهنگستان زبان و ادب فارسی]]، [http://www.persianacademy.ir/fa/wordspdf.aspx دفتر نخست تا چهارم، 1376 تا 85]</ref>''' یا '''واریانس''' نوعی [[سنجش‌های پراکندگی|سنجش پراکندگی]] است.
در [[نظریه احتمالات]] و [[آمار]] '''وردایی<ref>مصوب [[فرهنگستان زبان و ادب فارسی]]، [http://www.persianacademy.ir/fa/wordspdf.aspx دفتر نخست تا چهارم، 1376 تا 85]</ref>''' یا '''واریانس''' نوعی [[سنجش‌های پراکندگی|سنجش پراکندگی]] است.


مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با [[امید ریاضی|مقدار مورد انتظار]] محاسبه می‌شود. در مقایسه با [[میانگین]] می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. [[یکا]]ی واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم وردایی که [[انحراف معیار]] نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.
مقدار وردایی با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با [[امید ریاضی|مقدار مورد انتظار]] محاسبه می‌شود. در مقایسه با [[میانگین]] می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که وردایی مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. وردایی کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. [[یکا]]ی وردایی مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم وردایی که [[انحراف معیار]] نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.


'''واریانس'' عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول [[مقدار میانگین]] پخش می‌شوند. برای تعریف واریانس اگر فرض کنیم که متغیر تکی <math>X</math> دارای توزیع <math>p(x)</math> است و متوسط توزیع جمعیت آن را با <math>\mu</math> نشان دهیم آنگاه واریانس این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:
'''واریانس''' یا '''وردایی''' عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول [[مقدار میانگین]] پخش می‌شوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی <math>X</math> دارای توزیع <math>p(x)</math> است و متوسط توزیع جمعیت آن را با <math>\mu</math> نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:
<center>
<center>
<math>Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle </math>
<math>Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle </math>
</center>
</center>


حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای [[احتمال]] <math>p(x)</math> باشد، واریانس به صورت زیر محاسبه می‌شود:
حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای [[احتمال]] <math>p(x)</math> باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
<center>
<center>
<math>\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}</math>
<math>\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}</math>
</center>
</center>


اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت واریانس را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:
اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:


<center>
<center>
خط ۲۲: خط ۲۲:
:<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math>
:<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math>
</center>
</center>
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای واریانس نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شده استفاده می‌کنیم که بصورت زیر تعریف می‌گردد
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شده استفاده می‌کنیم که بصورت زیر تعریف می‌گردد
<center>
<center>
<math>S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>
<math>S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>

نسخهٔ ‏۱۸ ژانویهٔ ۲۰۱۸، ساعت ۲۳:۵۶

در نظریه احتمالات و آمار وردایی[۱] یا واریانس نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار وردایی با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که وردایی مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. وردایی کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای وردایی مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم وردایی که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

واریانس یا وردایی عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش می‌شوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی دارای توزیع است و متوسط توزیع جمعیت آن را با نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:

حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

در این رابطه میانگین (امید ریاضی) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:

البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شده استفاده می‌کنیم که بصورت زیر تعریف می‌گردد

تعریف

اگر ، امید ریاضی (میانگین) متغیر تصادفی X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با:

برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود وردایی برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی X را معمولاً با Var(X)‎ یا یا به صورت ساده‌تر σ2 (تلفظ می‌شود سیگما-دو) نمایش می‌دهند.

حالت پیوسته

و

خواص

واژه شناسی

فرهنگستان زبان فارسی، وردیدن از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to varry برگزیده است و از این فعل مشتقات وردایی(variance)،وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، هم وردایی(covariannce)، ناوردا(invariant)، ناوردایی(invariance)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

تخمین وردایی یک تابع

جستارهای وابسته

منابع

page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Variance». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸.