استدلال قطری کانتور: تفاوت میان نسخه‌ها
Wikimostafa (بحث | مشارکتها) جز که |
Wikimostafa (بحث | مشارکتها) جزبدون خلاصۀ ویرایش |
||
| خط ۲: | خط ۲: | ||
[[پرونده:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|بندانگشتی|یک [[مجموعه نامتناهی]] ممکن است دارای همان کاردینالیتی باشد که [[زیرمجموعه|زیر مجموعه]] مناسب آن دارد. مثلاً مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه اعداد زوج مس تواند تناظر یک به یک برقرا نماید. با این وجود بی‌نهایت‌هایی با کاردینالیتی‌های متفاوت وحو دارند که '''استدلال قطری کانتور '''وجود آنها را اثبات می‌نماید.]] |
[[پرونده:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|بندانگشتی|یک [[مجموعه نامتناهی]] ممکن است دارای همان کاردینالیتی باشد که [[زیرمجموعه|زیر مجموعه]] مناسب آن دارد. مثلاً مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه اعداد زوج مس تواند تناظر یک به یک برقرا نماید. با این وجود بی‌نهایت‌هایی با کاردینالیتی‌های متفاوت وحو دارند که '''استدلال قطری کانتور '''وجود آنها را اثبات می‌نماید.]] |
||
در [[نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه]]ها، '''استدلال''' '''قطری کانتور''' در سال ۱۸۹۱ توسط [[گئورگ کانتور]] به عنوان یک [[برهان (ریاضی)|اثبات ریاضی]] ارایه گردید و نشان داد مجموعه‌های [[مجموعه نامتناهی|بی‌نهایتی وجود دارند]] که قادر نیستیم اعضای آنها را در تناظر یک به یک با محموعه اعداد طبیعی قرار دهیم.<ref>{{Cite journal|title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre|last=Georg Cantor|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890–1891|year=1891|volume=1|pages=75–78 (84–87 in pdf file)}}</ref><ref name="Simmons1993">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=wEj3Spept0AC&pg=PA20|title=Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument|last=Keith Simmons|date=30 July 1993|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-43069-2|pages=20–}}</ref><ref name="Rubin1976">{{Cite book|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|date=1976|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-085613-3|edition=3rd|location=New York|page=30}}</ref> |
در [[نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه]]ها، '''استدلال''' '''قطری کانتور''' در سال ۱۸۹۱ توسط [[گئورگ کانتور]] به عنوان یک [[برهان (ریاضی)|اثبات ریاضی]] ارایه گردید و نشان داد مجموعه‌های [[مجموعه نامتناهی|بی‌نهایتی وجود دارند]] که قادر نیستیم اعضای آنها را در تناظر یک به یک با محموعه اعداد طبیعی قرار دهیم.<ref>{{Cite journal|title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre|last=Georg Cantor|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890–1891|year=1891|volume=1|pages=75–78 (84–87 in pdf file)}}</ref><ref name="Simmons1993">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=wEj3Spept0AC&pg=PA20|title=Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument|last=Keith Simmons|date=30 July 1993|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-43069-2|pages=20–}}</ref><ref name="Rubin1976">{{Cite book|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|date=1976|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-085613-3|edition=3rd|location=New York|page=30}}</ref> |
||
چنین |
چنین مجموعه‌هایی در حال حاضر به عنوان غیرقابل شمارش شناخته می‌شوند. |
||
== مجموعه غیرقابل شمارش == |
== مجموعه غیرقابل شمارش == |
||
نسخهٔ ۵ سپتامبر ۲۰۱۷، ساعت ۱۲:۴۲
در نظریه مجموعه‌ها، استدلال قطری کانتور در سال ۱۸۹۱ توسط گئورگ کانتور به عنوان یک اثبات ریاضی ارایه گردید و نشان داد مجموعه‌های بی‌نهایتی وجود دارند که قادر نیستیم اعضای آنها را در تناظر یک به یک با محموعه اعداد طبیعی قرار دهیم.[۱][۲][۳] چنین مجموعه‌هایی در حال حاضر به عنوان غیرقابل شمارش شناخته می‌شوند.
مجموعه غیرقابل شمارش
او در سال ۱۸۹۱ مقاله کانتور در نظر گرفت مجموعه T شامل همه بی‌نهایتهای بدی آمده از توالی رقم‌های دودویی (یعنی هر رقم صفر یا یک) در یک دنباله باشد. او با یک اثبات سازنده از قضیه زیر اثبات خود را شروع می‌کند:
- اگر s1, s2, … , sn شامل تمامی شمارشهای ممکن از T باشد آنگاه همواره عضوی از T وجود خواهد داشت که در بین s1,S2,... نخواهد بود.
برای اثبات این، محموعه‌هایی از T را به شکل زیر انتخاب می‌نماییم:
s1 = (۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ...) s2 = (۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ...) s3 = (۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ...) s4 = (۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ...) s5 = (۱, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۱, ...) s6 = (۰, ۰, ۱, ۱, ۰, ۱, ۱, ...) s7 = (۱, ۰, ۰, ۰, ۱, ۰, ۰, ...) ...
او ساختار توالی s را با انتخاب مکمل اولین رقم در s1 انتخاب نمود (جایگزینی صفر به جای یک و برعکس)، برای انتخاب دومین رقم S به سراع رقم دوم در s2 رفت و مکمل آنرا انتخاب نمد و به همین ترتیب ادامه داد. در مثال فوق به نتایج زیر می‌رسیم:
s1 = (۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ...) s2 = (۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ۱, ...) s3 = (۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ...) s4 = (۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ...) s5 = (۱, ۱, ۰, ۱, ۰, ۱, ۱, ...) s6 = (۰, ۰, ۱, ۱, ۰, ۱, ۱, ...) s7 = (۱, ۰, ۰, ۰, ۱, ۰, ۰, ...) ... s = (۱, ۰, ۱, ۱, ۱, ۰, ۱, ...)
با ساخت s به روش فوق به مجموعه‌ای می‌رسیم که با تمامی مجمه‌های بالا متفاوت است زیرا عنصر n ام آن با عنصر n ام تمام مجموعه‌های بالا تفاوت دارد.
بر اساس این قضیه کانتور با استفاده از یک اثبات با تناقض نشان می‌دهد که:
- مجموعه T غیرقابل شمارش است.
او برای اثبات تناقض در ابتدا فرض می‌کند T شمارا است. پس همه عناصر آن به شکل s1,s2,...sn قابل نمایش هستند. با اعمال قضیه قبلی به این شمارشها به توالی s می‌رسیم که در شمارشها موجود نیست. اما s عنصری از T بود و بنابراین باید در شمارشها باشد. این تضاد فرض اصلی را زیر سؤال می‌برد بنابراین T غیرقابل شمارش است.
منابع
- ↑ Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890–1891. 1: 75–78 (84–87 in pdf file).
- ↑ Keith Simmons (30 July 1993). Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument. Cambridge University Press. pp. 20–. ISBN 978-0-521-43069-2.
- ↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 30. ISBN 0-07-085613-3.