مدل توماس-فرمی

مدل توماس-فرمی (به انگلیسی: Thomas–Fermi model (TF)) نظریه‌ای در مکانیک کوانتومی برای بررسی آرایش الکترونی مواد در سیستم‌های چندپیکره است. این مدل اندکی پس از معادله شرودینگر پیشنهاد شد و هدفش شناسایی و بررسی چگالی الکترونی ماده بود و پدر نظریه تابع چگالی امروزی‌ست. مدل توماس-فرمی برای مقدار حدی بار هسته بینهایت صادق است. استفاده از تقریب برای سیستم‌های واقعی به نتایج کمّی ضعیفی می‌انجامد که حتی قادر نیست مشخصاتی کلی در مورد چگالی الکترون‌ها مانند ساختار ترازها در اتم راپیشبینی کند.

گرچه الکترون‌ها در واقعیت بطور ناهمگون در اتم توزیع شده‌اند، در این مدل بطور تقریبی فرض می‌شود که در هر حجم کوچک ΔV الکترون‌ها بطور همگون پخش شده‌اند، اما چگالی الکترونی $n({\vec {r}})$ همچنان می‌تواند از یک حجم کوچک به حجم کوچک دیگر تغییر کند.

انرژی جنبشی

برای یک حجم کوچک ΔV و برای اتم در حالت پایه، می‌توان یک حجم کروی در فضای تکانه V_f  را تا تکانهٔ فرمی p_f  پر کرد و در نتیجه داریم:

$V_{f}={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}).$

که در آن ${\vec {r}}$ نقطه‌ای در ΔV است. حجم فضای فاز متناظر برابر است با:

$\Delta V_{ph}=V_{f}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})\ \Delta V.$

الکترون‌ها در ΔV_ph  به مقدار ۲ الکترون بر h³ بطور همگون توزیع شده‌اند که h ثابت پلانک است. حالا تعداد الکترون‌ها در ΔV_ph  برابر است با:

$\Delta N_{ph}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{ph}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}})\ \Delta V.$

تعداد الکترون‌ها در ΔV  برابر است با:

$\Delta N=n({\vec {r}})\ \Delta V$

که در آن $n({\vec {r}})$ چگالی الکترون است. با برابر قرار دادن تعداد الکترون‌ها در ΔV و ΔV_ph  داریم:

$n({\vec {r}})={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).$

کسری از الکترون‌های ${\vec {r}}$ که تکانه بین p و p+dp دارند برایر است با:

${\begin{aligned}F_{\vec {r}}(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})}}\qquad \qquad p\leq p_{f}({\vec {r}})\\&=0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{otherwise}}\\\end{aligned}}$

با استفاده از عبارت کلاسیک انرژی جنبشی برای الکترونی با جرم m_e، انرٰی جنبشی بر واحد حجم در ${\vec {r}}$ برای الکترون‌های اتم برابر است با:

${\begin{aligned}t({\vec {r}})&=\int {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ n({\vec {r}})\ F_{\vec {r}}(p)\ dp\\&=n({\vec {r}})\int _{0}^{p_{f}({\vec {r}})}{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ \ {\frac {4\pi p^{2}}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})}}\ dp\\&=C_{F}\ [n({\vec {r}})]^{5/3}\end{aligned}}$

که در آن از رابطهٔ پیشین بین $n({\vec {r}})$ و $p_{f}({\vec {r}})$ استفاده شده و نیز:

$C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2}{3}}.$

انتگرال‌گیری از انرژی بر واحد حجم $t({\vec {r}})$ در کل فضا، مجموع انرژی جنبشی الکترون‌ها را می‌دهد

$T=C_{F}\int [n({\vec {r}})]^{5/3}\ d^{3}r\ .$

این نتیجه نشان می‌دهد که در مدل توماس-فرمی مجموع انرژی جنبشی الکترون‌ها می‌تواند تنها بر حسب چگالی الکترونی تابع فضا $n({\vec {r}}),$ بیان شود. از این رو آنها توانستند انرژی یک اتم را با استفاده از این عبارت برای انرژی جنبشی و معادلات کلاسیک برهمکنش الکترون-الکترون و الکترون-هسته (که این هر دو نیز می‌توانند بر حسب چگالی الکترونی محاسبه شوند) محاسبه کنند.

انرژی پتانسیل

انرژی پتانسیل الکترون‌های یک اتم به دلیل جاذبهٔ هستهٔ اتم با بار مثبت چنین است:

$U_{eN}=\int n({\vec {r}})\ V_{N}({\vec {r}})\ d^{3}r\,$

که در آن $V_{N}({\vec {r}})\,$ انرژی پتانسیل یک الکترون در ${\vec {r}}\,$ به دلیل میدان الکتریکی هسته است. برای حالت هسته در ${\vec {r}}=0$ با بار Ze که در آن Z عدد صحیح مثبت و e بار بنیادی است:

$V_{N}({\vec {r}})={\frac {-Ze^{2}}{r}}.$

انرژی پتانسیل الکترون‌ها به دلیل دافعهٔ الکترونی بین یکدیگر چنین است:

$U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.$

انرژی کل

انرژی کل الکترون‌ها از مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل آنها بدست می‌آید:

${\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r}})]^{5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r}})\ V_{N}({\vec {r}})\ d^{3}r\ +\ {\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'\\\end{aligned}}$

عدم دقت و گسترش این روش

محدودیت این روش در اینست که تابع برداری انرژی جنبشی تنخمینی‌ست و انرژی تبادلی در آن نادیده گرفته‌شده‌است. همچنین این مدل توانایی توضیح پیوندهای مولکولی را نداشت و ازینرو تابع برداری انرژی جنبشی تصحیح‌شده بدینگونه معرفی‌شد:

$T_{W}[n]={\frac {1}{8}}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int {\frac {|\nabla n({\vec {r}})|^{2}}{n({\vec {r}})}}dr.\$

جستارهای وابسته

• نظریه تابع چگالی

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی