تابع محدب

تابع کوژ بر یک بازه

تابع کوژ یا محدب، تابعی پیوسته است که اگر دو نقطه دلخواه بر روی این تابع در نگر بگیریم، پاره‌خط پیوندزننده‌ی این دو نقطه همواره زیر این نمودار جای می‌گیرد.

تابع‌های $f(x)=x^{2}$ و تابع نمایی $f(x)=e^{x}$ دو نمونه آشنا از توابع کوژ هستند. بسیاری از نابرابری‌های متداول در آنالیز ریاضی ریشه در کوژی دارند. نابرابری‌های ینسن، هولدر، مینکوفسکی چند نمونه از این نابرابری‌ها هستند.

تعریف

فرض کنیم $-\infty \leq a<b\leq +\infty$، تابع $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ و هر $t$ که $0\leq t\leq 1$، داشته باشیم:

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})$

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه $f$ را اکیداً کوژ می‌نامیم.

جستارهای وابسته

• مجموعه محدب
• بهینه‌سازی محدب
• تابع کاو

منابع

• مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.
• رودین، والتر (۱۳۸۷). آنالیز حقیقی و مختلط. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مبتکران. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۵۹۹۳-۵۱-۱.