کروشه پواسون

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) عمل‌گری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتم و مکانیک کلاسیک برقرار می کنند.

مختصات استاندارد

در مختصات ذاتی $(q_{i},p_{j})\!$ برروی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض $f(p_{i},q_{i},t)\!$ و $g(p_{i},q_{i},t)\!$ در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right]$

معادلات حرکت هامیلتون

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توان بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می‌شود به طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنید $f(p,q,t)\!$ تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$

چنانچه $p=p(t)\!$ و $q=q(t)\!$ را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی ${\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}$ و ${\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}$ در نظر بگیریم خواهیم داشت:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}$

خواص و ویژگی‌های کروشه پواسون

پاد متقارن بودن:

$\{F,H\}=-\{H,F\}$

یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که $\{F,F\}=0$ که برای هر تابعی برقرار است.

خطی بودن:

$\{F_{1}+F_{2},H\}=\{F_{1},G\}+\{F_{2},H\}$

‏در اتحاد ژاکوبی صدق می‌کند:

شکست در تجزیه (خطای نحوی): {\displaystyle ‎\{\{F,H\},P\}+\{\{P,F\},H\}+\{\{H,P\},F\}=0‎}

‏‏در قاعده لایبنیتز صدق می‌کند:

‏شکست در تجزیه (خطای نحوی): {\displaystyle ‎\{F,H.P\}=\{F,H\}.P+‎‎H.\{F,P\},‎} شکست در تجزیه (خطای نحوی): {\displaystyle ‎\{F.P,H\}=F.\{P,H\}+\{F,H\}.P‎}

ثوابت حرکت

کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت‌های حرکت نشان می دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد،$F(q_{i},p_{i})$، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر $F(q_{i},p_{i})$ ثابت حرکت است اگر که ${\frac {dF}{dt}}=0$ باشد. چون ما بیان کردیم که تابع $F$ وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی ${\frac {\partial F}{\partial t}}=0$ است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:

$F$ ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم: $\{F,H\}=0$

چند مثال از کاربرد براکت پواسون

ثابت‌های حرکت آشنا را می توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:

انرژی:

دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون $\{H,H\}=0$ . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:

${\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial t}}$

در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.

تکانه خطی:

در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص، $q_{k}$، نباشد، با استفاده از تعریف فوق خواهیم داشت:

$\{p_{k},H\}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}$

بنابراین $p_{k}$ ثابت حرکت است. تکانه پایسته می ماند اگر مختصه تعمیم یافته متناظرش $q_{k}$ در هامیلتونین ظاهر نشده باشد.

منابع

• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, New York. ISBN 978-0-387-96890-2

Goldstein H. Classical mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر