الگوریتم کاراتسوبا: تفاوت میان نسخه‌ها

الگوریتم کاراتسوبا
رده	الگوریتم ضرب چندجمله‌ای
کارایی بدترین حالت

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی

→ تفاوت قدیمی‌تر تفاوت جدیدتر ←

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

دیداریویکی‌متن

درخط

نسخهٔ ‏۷ مارس ۲۰۱۵، ساعت ۰۸:۴۰

الگوریتم کاراتسوبا یک الگوریتم سریع برای ضرب اعداد است. الگوریتم کاراتسوبا اولین الگوریتمی است که به صورت مجانبی سریع است. این الگوریتم برای اولین‌بار توسط آناتولی کاراتسوبا در سال ۱۹۶۲ ارایه شد.^[۱] این الگوریتم با استفاده از روش تقسیم و حل تعداد عملیات ضرب لازم برای ضرب دو عدد n رقمی را کاهش می‌دهد.
در عملیات ضرب معمولی که در دبیرستان آموزش داده می‌شود، به تعداد n^۲ عملیات ضرب لازم است. این الگوریتم تعداد عملیات ضرب را به 3n^log3_۲ می‌رساند.
3 سال بعد ارایه این الگوریتم توسط کاراتسوبا، الگوریتم Toom-Cook algorithm ارایه شد که حالت کلی‌تر و سریع‌تر همین الگوریتم است. علاوه بر این در سال ۱۹۷۱ الگوریتم Schönhage–Strassen algorithm ارایه شد که برای اعداد بزرگ از الگوریتم کاراتسوبا سریع‌تر است و بهتر عمل می‌کند.

تاریخچه

در سال ۱۹۵۲ آندره کولوموگوروف ادعا کرد که الگوریتم ضرب کلاسیک از نظر پیچیدگی زمانی بهینه‌است و هر الگوریتم دیگری که برای ضرب دو عدد ارایه شود، حداقل $\Omega (n^{2})$ عملیات نیاز دارد. سپس در پاییز ۸ سال بعد یعنی سال ۱۹۶۰، در دانشکده مکانیک و ریاضی داشگاه مسکو، سمیناری برگزار و این ادعا را در زمینه پیچیدگی محاسباتی مطرح کرد.^[۲]
در کمتر از یک هفته، کاراتسوبا که در آن زمان ۲۳ ساله بود، الگوریتمی ارایه کرد که به $\Theta (n^{\log _{2}3})$ عملیات نیاز داشت و به این ترتیب فرضیه کولوموگوروف را رد کرد. او فرضیه خود را بعد از سمینار بعدی با کولوموگوروف در میان گذاشت. کولوموگوروف از این موضوع بسیار آشفته شد، به این خاطر که این الگوریتم به طور کامل نظریهٔ او را رد می‌کرد.
دو سال بعد کولوموگوروف این الگوریتم به صورت مقاله‌ای کوتاه درآورد و نام کاراتسوبا را در آن قرار داد. نکته جالب توجه آن است که کاراتسوبا پس از انتشار مقاله، از آن باخبر شد.
بعد از انتشار این الگوریتم، روشی که کاراتسوبا به کار برد به نام روش تقسیم و حل (divide and conquer) نامیده شد.
پیدایش روش تقسیم و حل، نقطه شروع نظریه محاسبات سریع بود. پژوهشگرانی مانند توم، کوک و استراسن تلاش‌های زیادی در این زمینه انجام دادند، که الگوریتم استراسن بهترین الگوریتم از منظر زمان اجرا در این زمینه‌است.
روش تقسیم و حل کاراتسوبا، از پایه‌ای‌ترین روش‌ها در این زمینه‌است. صدها الگوریتم بر پایهٔ این الگوریتم به وجود آمده‌اند که مهمترین و مشهورترین آنها، الگوریتم ضرب بر پایه تبدیل سریع فوریه است.

الگوریتم

حالت خاص

الگوریتم به روش تقسیم و حل عمل می‌کند. به این معنا که ابتدا هر کدام از اعداد را به قسمت‌های کوچکتر تقسیم کرده و سپس به صورت بازگشتی، روی آنها ضرب را انجام می‌دهد.
ابتدا حالت ساده‌ای را در نظر می‌گیریم. این حالت به راحتی قابل تعمیم به روش کلی است.
فرض کنید عدد اول X و عدد دوم Y است. هر دو عدد صحیح و در مبنای دو و دارای n رقم که n توانی از ۲ است. در ابتدا دو عدد مطابق شکل به دو قسمت تقسیم می‌شوند. X_۱ قسمت پرارزش و X_۰ قسمت کم‌ارزش است. به صورت مشابه، برای Y هم به همین صورت است. پس داریم:

X = X_۱ ۲^(n/2) + X_۰
Y= Y_۱ ۲^(n/2) + Y_۰

به این ترتیب ضرب XY به صورت زیر در می‌آید:

XY = (X_۱ ۲^(n/2) + X_۰) (Y_۱ ۲^(n/2) + Y_۰)
XY = x_۱y_۱۲ⁿ + (x_۱y_۰ + x_۰y_۱)۲^(n/2) + x_۰y_۰

در مبنای ۲، ضرب یک عدد در توانی از ۲، به صورت عملیات شیفت در کامپیوتر به راحتی انجام می‌شود. عملیات شیفت و جمع، در مقابل عملیات ضرب، زمان اجرای بسیار کمی دارند. به همین خاطر، زمان اجرای آن را از (1)O در نظر می‌گیرند. حال مساله به ۴ زیرمساله با اندازهٔ نصف مساله قبلی تبدیل شده‌است. بنابراین می‌توان این ۴ مساله را به روش بازگشتی حل و در زمان خطی، عبارت کلی را محاسبه کرد. پیچیدگی زمانی رابطه بالا به صورت زیر است:

T(n) = 4T(n/2) + O(n)

که (T(n زمان اجرای برای ضرب دو عدد n بیتی است. زمان اجرای آن از (O(n است.
پس هنوز بهبودی صورت نیافته‌است.
با یک راه حل ساده می‌توان تعداد ضرب‌های انجام شده را از ۴ به ۳ رساند.
فرض کنید:

x_۲ = x_۱ + x_۰
y_۲ = y_۱ + y_۰

با داشتن x_۲ و y_۲ می‌توان تنها با استفاده از ۳ جمله این ضرب را انجام داد. به این ترتیب که به جای جملهٔ (x_۱y_۰ + x_۰y_۱) از(x_۲y_۲ – x_۰y_۰ - x_۱y_۱) استفاده کنیم.
به این ترتیب برای انجام مرحلهٔ بازگشتی تنها به ۳ جمله نیاز است:

x_۰y_۰
x_۱y_۱
x_۲y_۲

پس زمان اجرا به صورت زیر در می‌آید:

T(n) = 3T(n/2) + O(n)
-->T(n) = O(n^log3_۲)

با این ترفند ساده به راحتی زمان اجرا بهبود یافت.

تحلیل دقیق‌تر زمان اجرا

با رسم درخت بازگشت این الگوریتم، شهود بهتری نسبت به آن در این حالت خاص، بدست می‌آید. درخت بازگشت را در شکل زیر در نظر بگیرید.

در هر عمق از این درخت مساله به ۳ مساله با اندازه نصف تبدیل می‌شود. در عمق (log_۲(n به زیر مساله‌ای با اندازه یک تبدیل می‌شود و روند بازگشتی متوقف می‌شود. بنابراین ارتفاع درخت برابر (log_۲(n است.
اگر عمقی مانند k را در نظر گرفته شود، ۳^k زیر مساله با اندازه n /2^k وجود دارد. برای هر کدام از این زیر مساله‌ها، کافی است عملیاتی با هزینهٔ خطی بپردازیم. این عملیات شامل جمع کردن زیرمساله‌ها و تقسیم‌کردن هر کدام به زیرمساله‌هایی کوچکتر است. بنابراین، در عمق kام هزینه‌ای معادل زیر پرداخت می‌کنیم:

۳^kO(n/2^k) = (۳/۲)^k O(n)

حال اگر همهٔ هزینه‌ها را در عمق‌های مختلف جمع کنیم، هزینه کل برابر (O(n^log3_۲ خواهد شد. در حالیکه اگر در هر مرحله به ۴ زیرمساله تقسیم می‌شد و از این نکته استفاده نمی‌شد، زمان اجرا برابر (O(n^۲ می‌شود. به کمک قضیهٔ اصلی نیز می‌توان زمان اجرا را محاسبه کرد که به همین نتیجه ختم خواهد شد.

حالت کلی

در این قسمت حالت کلی الگوریتم کاراتسوبا توضیح داده می‌شود.
فرض کنید X و Y دو عدد n رقمی در مبنای B هستند. به ازای هر m کوچکتر از n می‌توان این دو عدد را به صورت زیر نوشت:

XY = (x_۱B^m + x_۰) (y_۱B^m + y_۰)
XY = x_۱y_۱B^2m + (x_۱y_۰ + x_۰y_۱)B^m + x_۰y_۰

مشابه ایده‌ای که در بالا گفته شد می‌توان این ۴ ضرب را تنها با ۳ ضرب و چند عملیات جمع اضافه انجام داد. کافی است به جای (x_۱y_۰ + x_۰y_۱) از x_۱+x_۰) (y_۱+y_۰) - x_۰y_۰ - x_۱y_۱) استفاده کنیم. بنابراین:

XY = x_۱y_۱B^2m + ((x_۱+x_۰)(y_۱+y_۰) - (x_۰y_۰) - (x_۱y_۱)B^m + x_۰y_۰

مثال

فرض کنید می‌خواهیم حاصل‌ضرب دو عدد ۱۲۳۴ و ۵۶۷۸ را بدست آوریم. دو عدد دهدهی هستند پس B = ۱۰ است. m را نیز ۲ انتخاب می‌کنیم.

12 34 = ۱۲ × ۱۰^۲ + ۳۴

56 78 = ۵۶ × ۱۰^۲ + ۷۸

x_۱y_۱ = 12 × 56 = ۶۷۲

x_۰y_۰ = 34 × 78 = ۲۶۵۲

(x_۱ + x_۰)(y_۱ + y_۰) = (12 + 34)(56 + 78) = ۲۸۴۰

result = 672 × 10000 + 2840 × 100 + 2652 = ۷۰۰۶۶۵۲.

پیاده سازی

شبه‌کد الگوریتم به صورت زیر است:

 1  Algorithm karatsuba_multiplication(X,Y)
 2  Input: X  and Y two binary number)
 3  Output: product of X and Y
 4  begin
 5 if n = 1: return  xy
 6 x_۱ =   X>> n/2
 7 x_۰ = X mod 2 ^n/2
 8 y_۱ =   Y>> n/2
 9 y_۰ = Y mod 2 ^n/2
 10 x_۲ = x_۱ + x_۰
 11 y_۲ = y_۱ + y_۰
 12 R_۱ = multiply(x_۱ , y_۱)
 13 R_۲ = multiply(x_۰ , y_۰)
 14 R_۳ = multiply(x_۲ , y_۲)
 15 return R_۱ × ۲ⁿ + (R_۳ − R_۱ − R_۲) × ۲^n/2 + R_۲
 16 end

پیاده‌سازی الگوریتم با استفاده از جاوا: ^[۴]

import java.math.BigInteger;
import java.util.Random;

class Karatsuba {
    private final static BigInteger ZERO = new BigInteger("0");

    public static BigInteger karatsuba(BigInteger x, BigInteger y) {

        // cutoff to brute force
        int N = Math.max(x.bitLength(), y.bitLength());
        if (N <= 2000) return x.multiply(y);                // optimize this parameter

        // number of bits divided by 2, rounded up
        N = (N / 2) + (N % 2);

        // x = a + 2^N b,   y = c + 2^N d
        BigInteger b = x.shiftRight(N);
        BigInteger a = x.subtract(b.shiftLeft(N));
        BigInteger d = y.shiftRight(N);
        BigInteger c = y.subtract(d.shiftLeft(N));

        // compute sub-expressions
        BigInteger ac    = karatsuba(a, c);
        BigInteger bd    = karatsuba(b, d);
        BigInteger abcd  = karatsuba(a.add(b), c.add(d));

        return ac.add(abcd.subtract(ac).subtract(bd).shiftLeft(N)).add(bd.shiftLeft(2*N));
   }

    public static void main(String[] args) {
        long start, stop, elapsed;
        Random random = new Random();
        int N = Integer.parseInt(args[0]);
        BigInteger a = new BigInteger(N, random);
        BigInteger b = new BigInteger(N, random);

        start = System.currentTimeMillis();
        BigInteger c = karatsuba(a, b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(stop - start);

        start = System.currentTimeMillis();
        BigInteger d = a.multiply(b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(stop - start);

        System.out.println((c.equals(d)));
   }
}

پیاده‌سازی الگوریتم با استفاده از پایتون^[۵]:

_CUTOFF = ۱۵۳۶;

def multiply(x, y):
    if x.bit_length() <= _CUTOFF or y.bit_length() <= _CUTOFF:  # Base case
        return x * y;

    else:
        n = max(x.bit_length(), y.bit_length())
        half = (n + 32) / 64 * 32
        mask = (۱ <<half) - 1
        xlow = x & mask
        ylow = y & mask
        xhigh = x>> half
        yhigh = y>> half

        a = multiply(xhigh, yhigh)
        b = multiply(xlow + xhigh, ylow + yhigh)
        c = multiply(xlow, ylow)
        d = b - a - c
        return (((a <<half) + d) <<half) + c

الگوریتم کاراتسوبا در عمل

همان طور که دیدیم الگوریتم به صورت بازگشتی مساله را به زیر مساله‌هایی با اندازه نصف مساله اولیه تبدیل کرده و این کار را تا تبدیل آن به زیر مساله‌ای با اندازه یک ادامه می‌دهد. دلیل این کار این است که فرض شده‌است عمل ضرب دو عدد یک رقمی در(1)O انجام می‌گیرد.

در حالیکه در پردازنده‌های امروزی این گونه نیست بسیاری از پردازنده‌ها ضرب ۱۶ بیتی و یا ۳۲ بیتی را در یک عملیات انجام می‌دهند. یعنی در معماری این پردازنده‌ها واحد ضرب‌کننده ۳۲ بیتی یا ۱۶ بیتی وجود دارد. به همین خاطر در عمل لازم نیست که به صورت بازگشتی با زیر مساله‌ای با اندازه ۱ پایین برویم. با داشتن آگاهی نسبت به معماری پردازنده، می‌توان B و m را به گونه‌ای انتخاب کرد که کارایی و زمان اجرای بهتری از الگوریتم بدست آید.

جستارهای وابسته

منابع

↑ A. Karatsuba and Yu. Ofman (1962). "Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Computers". Proceedings of the USSR Academy of Sciences. ۱۴۵: ۲۹۳–۲۹۴. {{cite journal}}: Unknown parameter |note= ignored (help)
↑ http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/divcen.pdf
↑ http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap2.pdf
↑ Karatsuba.java
↑ http://nayuki.eigenstate.org/res/karatsuba-multiplication/karatsuba.py

پیوند به بیرون

[kara1962-1] A. Karatsuba and Yu. Ofman (1962). "Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Computers". Proceedings of the USSR Academy of Sciences. ۱۴۵: ۲۹۳–۲۹۴. {{cite journal}}: Unknown parameter |note= ignored (help)

[2] ttp://www.ccas.ru/personal/karatsuba/divcen.pdf

[3] ttp://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap2.pdf

[4] Karatsuba.java

[5] ttp://nayuki.eigenstate.org/res/karatsuba-multiplication/karatsuba.py

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

@@ خط ۳۰: / خط ۳۰: @@
 == تاریخچه ==
-در سال ۱۹۵۲ [[:w:en:Andrey_Kolmogorov|آندره کولوموگوروفادعا]] کرد که الگوریتم ضرب کلاسیک از نظر [[پیچیدگی زمانی]]
+در سال ۱۹۵۲ [[:w:en:Andrey_Kolmogorov|آندره کولوموگوروف]] ادعا کرد که الگوریتم ضرب کلاسیک از نظر [[پیچیدگی زمانی]]
 بهینه‌است و  هر الگوریتم دیگری که برای ضرب دو عدد ارایه شود، حداقل <math>\Omega(n^2)</math> عملیات نیاز دارد. سپس در پاییز ۸ سال بعد یعنی سال ۱۹۶۰، در دانشکده مکانیک و ریاضی [[:w:en:Moscow_State_University| داشگاه مسکو]]، سمیناری برگزار و این ادعا را در زمینه [[پیچیدگی محاسباتی]] مطرح کرد.<ref>http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/divcen.pdf</ref>
 {{سخ}}