نظریه احتمالات

یک توزیع گاوسی ۲ بعدی دید ایزومتریک

نظریهٔ احتمالات مطالعهٔ رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است. بعبارت دیگر، نظریه احتمالات به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد. هسته تئوری احتمالات را متغیرهای تصادفی و فرآیندهای تصادفی و پیشامدها تشکیل می‌دهند. تئوری احتمالات علاوه بر توضیح پدیده‌های تصادفی به بررسی پدیده‌هایی می‌پردازد که لزوما تصادفی نیستند ولی با تکرار زیاد دفعات آزمایش نتایج از الگویی مشخص پیروی می‌کنند، مثلاً در آزمایش پرتاب سکه یا تاس با تکرار آزمایش می‌توانیم احتمال وقوع پدیده‌های مختلف را حدس بزنیم و مورد بررسی قرار دهیم. نتیجه بررسی این الگوها قانون اعداد بزرگ و قضیه حد مرکزی است.

پیشینه

نخستین کتاب‌ها را دو دانشمند ایتالیایی درباره بازی با تاس نوشتند: جه رولاموکاردان و گالیلئو گالیله. بااین همه باید آغاز بحث دقیق درباره احتمال را سده هفدهم و با کارهای بلز پاسکال و پی‌یر فرما، ریاضیدانان فرانسوی و کریستین هویگنس هلندی دانست. پاسکال و فرما کتابی در این باره ننوشتند و تنها در نامه‌های خود به دیگران درباره کاربرد آنالیز ترکیبی در مساله‌های مربوط به شانس صحبت کرده‌اند، ولی هویگنس کتابی با نام بازی با تاس نوشت که اگر چه با کتاب کاردان هم نام است ولی از نظر تحلیل علمی در سطح بسیار بالاتری است. کار آنان توسط یاکوب برنولی و دموآور در قرن هجدهم میلادی ادامه یافت، برنولی کتاب روش حدس زدن را نوشت و قانون عددهای بزرگ را کشف کرد. مساله معروف سوزن نیز در اواسط همین قرن توسط کنت دو بوفون مطرح و حل شد. در سده هجدهم و ابتدای سده نوزدهم نظریه احتمال در دانش‌های طبیعی و صنعت به طور جدی کاربرد پیدا کرد. در این دوره نخستین قضیه‌های نظریه احتمال یعنی قضایای لاپلاس، پواسون، لژاندر و گاوس ثابت شد. در نیمه دوم سده نوزدهم دانشمندان روسی تاثیر زیادی در پیشرفت نظریه احتمال داشتند، چبیشف و شاگردانش، لیاپونوف و مارکوف یک رشته از مساله‌های کلی نظریه احتمال را حل کردند و قضایای برنولی و لاپلاس را تعمیم دادند. در آغاز قرن بیستم متخصصان کارهای قبلی را منظم نموده و ساختمان اصول موضوعه احتمال را بنا نمودند. در این دوره دانشمندان زیادی روی نظریه احتمال کار کردند: در فرانسه، بورل، له‌وی و فره‌شه؛ در آلمان، میزس؛ در آمریکا، وینر، فه لر و دوب؛ در سوئد، کرامر؛ در شوروی، خین چین، سلوتسکی، رومانوسکی، سمپرنوف، گنه دنکو اما درخشان‌ترین نام در این عرصه کولموگروف روسی است که اصول موضوع احتمال را در کتابی به نام مبانی تئوری احتمال در آلمان منتشر کرد.

مفهوم

مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به‌کار برده می‌شود.

ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتماً رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که احتمالش صفر است، در واقع احتمال وقوع ندارد. باید توجه داشت که در تعریف دقیق ریاضی، میان احتمال و امکان تفاوت می‌گذارند. یعنی احتمال وقوع یک امر ممکن می‌تواند صفر باشد. مثلاً احتمال اینکه طول یک پاره‌خط دقیقاً ۳٫۱ سانتیمتر باشد (اندازه‌گیری شده با هر ابزاری با هر میزان دقت) صفر است. چون بین ۳٫۲ و ۳٫۰ بی‌نهایت عدد وجود دارد ولی از لحاظ منطقی ممکن است که طول پاره‌خطی ۳٫۱ سانتیمتر باشد.</ref>. احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم ${\frac {1}{2}}$ است، همانطور که احتمال خط آوردن هم ${\frac {1}{2}}$ است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم ${\frac {1}{6}}$ است.

به زبان سادهٔ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبهٔ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست: ${\frac {3}{6}}=0.5$

جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ ندادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع «احتمال آوردن شش» (که ${\frac {1}{6}}$ است) با «احتمال نیاوردن شش» (که ${\frac {5}{6}}$ است) می‌شود یک.

آزمایش تصادفی

به آزمایشی گفته می‌شود که نتیجه آن قبل از انجام آزمایش مشخص نیست و بتوان آن آزمایش را در شرایط یکسان و به دفعات دلخواه انجام داد.

فضای نمونه

مقالهٔ اصلی: فضای نمونه

به مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن در یک آزمایش تصادفی فضای نمونه می‌گویند.

کاربرد احتمال در زندگی

یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می‌باشد. حکومت‌ها به طور خاص روشهای احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می‌کنند که به عنوان «آنالیز خط مشی» نامیده می‌شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفی اند اندازه می‌گیرند و برنامه‌هایی را انتخاب می‌کنند تا اثر احتمال آن‌ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی‌های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مـدل‌های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً «احتمال۹/۱۱ دیگری»؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می‌شود و برداشت اثر چنین انتخاب‌هایی است که روش‌های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی در می‌آورد.

یک مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است که دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد کلی دارد. یک ارزیابی توسط یک واحد تجاری در مورد این که احتمال وقوع یک جنگ زیاد است یا کم باعث نوسان قیمت‌ها می‌شود و سایر تجار را برای انجام کار مشابه تشویق می‌کند. مطابق با این اصل، احتمالات به طور مستقل ارزیابی نمی‌شوند و ضرورتاً به طور منطقی برخورد صورت نمی‌گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده‌است تا اثر این تفکرات گروهی را روی قیمت‌ها، سیاست‌ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.

به طور استدلالی می‌توان گفت که کشف روش‌های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی‌های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته‌است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی‌ها که به طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده‌است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت‌ها و ارزیابی‌های احتمال صورت می‌گیرد و چگونه آن‌ها می‌توانند در تصمیم گیری‌ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.

کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن‌ها از نظریه اعتبار استفاده می‌شود به نحوی که احتمال نقص آن‌ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فرآورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.

نقد ها

تصمیم گیری یا عدم تصمیم گیری

یکی از نقد هایی که به نظریه ی احتمال وارد است، مبتنی بودن آن بر فراوانی نسبی یک پیشامد به عنوان احتمال رخداد آن است. به دیگر بیان، نظریه احتمال، احتمال رخداد یک پیشامد را معادل با ایمان ما نسبت به رخداد آن پدیده می داند و ایمان به نسبت به رخداد آن پیشامد را معادل فراوانی نسبی آن پدیده در یک آزمایش آماری میداند.. در این اعتقاد دو ایراد فلسفی وجود دارد: اولا: ایمان ما نسبت به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال رخداد پیشامد در نظر گرفته شده است. این به این معناست که ایمان درونی انسان به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال حقیقتی است که در بیرون رخ خواهد داد. که این تطابق، فاقد هر گونه توجیه منطقی است. ثانیا: احتمال رخداد را برابر با فراوانی نسبی آن پیشامد در آزمایش آماری در نظر می گیرد که این نیز محل بحث است. به عنوان مثال فرض کنید که شما در بازی قماری شرکت کرده اید که با محاسبه ی احتمال ها بر اساس تئوری موجود، احتمال پیروزی شما 2/3 است. لذا سرمایه گذاری در این قمار در 2/3 اوقات به نفع شماست. فرض کنید که بازی 15 دور است. در این صورت شما باید 10 دور این بازی را احتمالا پیروز شوید. شما بازی را شروع می کنید و تا دور 11_ام شکست می خورید و و دور 12 را می برید و دور 13 و 14 را شکست می خورید و دور 15_ام را می برید. این اتفاق یک اتفاق کاملا "ممکن" است. در این صورت شما 0.36- = 13/15 - 1/2 واحد از سرمایه ی خود را از دست داده اید. توجیهی که احتمال دان ها می آورند این است: "اگر تعداد دور ها به بی نهایت میل می کرد شما در 2/3 حالات برنده بودید." در صورتی که در جهان واقعی هیچ گاه بازی هایی با تعداد دور بی نهایت وجود ندارد." در تصمیم گیری های اجتماعی و سیاسی نیز همین امر برقرار است. ریسک سرمایه گزاری بر اساس این نظریه در نظر گرفتنی است. اما این مساله و شبیه این مساله ها با "نظریه امکان" با دیدگاهی کاملا منطقی قابل بررسی، تحلیل و تصمیم گیری است.

عدم وجود تصادف

باور به تئوری احتمال در تمامی ابعاد مستلزم باور به تصادف است. در حالی که هنوز بشر هیچ پدیده ی تصادفی را اطراف خود ندیده است!!! آن فرآیند هایی که موسوم به فرایند تصادفی هستند به سه دسته عمده تقسیم می شوند:

1- فرآیند هایی که از حیث پیچیدگی مقرون به صرفه ترند که با آنها با دیدگاه تصادفی نگاه کرد. مانند جدا شدن اتم های کربن در فضای آزاد. یا پیشامد فرو ریختن پل در حالتی که بار روی پل استاتیکی می شود.

2- فرآیند هایی که تصادفی بودن آنها صرفا به علت عدم علم و عدم توانایی دسترسی ما به علت دقیق آن پیشامدها است. مانند اصل عدم قطعیت هایزنبرگ

3- فرآیند هایی که تصادفی بودن آنها به علت وجود اراده ی یک موجود مختار است. مانند پرتاب یک سکه. و یا اکثر فرایند های اجتماعی و انسانی.

درصورتی که در هر سه حالت بالا با شرط آگاهی ما از مکانیزم دقیق پیشامد، پسوند "تصادفی" خود به خود حذف می شود. اگر بدانیم که تمام نیرو هایی که بر پل وارد می شوند به چه صورت است، اگر "ببینیم" که حرکت دقیق ذرات بنیادین به چه صورت است، اگر مکانیک پرتاب یک سکه را در هر تعداد مرتبه ی دلخواه به ازای هر مقدار نیرو که پرتاب کننده اراده می کند، فرموله کنیم و قص علی هذا، هیچ فرایند تصادفی وجود نخواهد داشت. چه برسد که این تصادف فرموله شود و بر مبنای نتایج محاسبات آنها، تصمیم گیری شود.

جستارهای وابسته

• احتمالات
• متغیر تصادفی
• استقلال آماری

منابعی برای مطالعهٔ بیشتر

• Soong, T.T. , Fundamentals of probability and statistics for engineers, John Wiley & Sons, Inc. , 2004.
• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 363, 1991

پیوندهای بیرونی

• تفسیرهای احتمالات
• بخش آمار و احتمال در کتابخانه الکترونیکی مهندسی صنایع