افراز مجموعه

افراز بر روی دایره

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه (به انگلیسی: Partition of a set) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

تعریف

فرض کنید $X$ مجموعه‌ای غیرتهی باشد. منظور از یک افراز $X$ مانند ${\mathcal {P}}$، یک مجموعه از زیرمجموعه‌های ناتهی $X$ است(${\mathcal {P}}\in \mathbb {P} (X)$) به قسمی که:

• اگر $B,A\in {\mathcal {P}}$ و $A\neq B$، آنگاه $A\cap B=\varnothing$.
• $\bigcup _{C\in {\mathcal {P}}}=X$

به تعبیر شهودی افراز $X$، یک «تقسیم $X$» به قطعه‌هایی مجزا و ناتهی است.

مثال

مجموعه‌های $P=\left\{\left\{1,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{8,9\right\}\right\}$ افراز مجموعهٔ $M=\left\{1,2,4,5,6,8,9\right\}$ می‌باشند، اما برای $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در $P$ نیستند. $\left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\}$ افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :

• $\left\{\left\{1,2,3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1,2\right\},\left\{3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1\right\},\left\{2,3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1,3\right\},\left\{2\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\}\right\}$

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی

برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل $B_{n}$ (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

$B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \ldots$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Partition (Mengenlehre)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی ، بازبینی‌شده در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱.