گراف مور

طول کوتاه‌ترین دور در یک گراف، کمر گراف نامیده می‌شود که با نماد (γ(G نشان داده می‌شود. به عنوان مثال مکعب کمر به طول ۴ دارد. برای گراف‌های kمنظم و با طول کمر ثابت معمولاً ویژگی‌های جالبی دارند. به عنوان مثال گراف G را یک گراف k منتظم با طول کمر ۴ چهار باشد اگرهر کدام از رأس‌های u گراف G را در نظر بگیریم k راس با فاصله یک از آن راس وجود دارد. از آنجا که گراف G هیچ مثلثی ندارد حداقل k-۱ راس با فاصله دو از u وجود دارند.

بنابراین داریم، G|≥۱+k+(k-۱)=۲k| و (|G| برابر با تعداد رئوس گراف است) فقط یک گراف با ویژگی G|=۲k| وجود دارد و این و این همان گراف کامل دو بخشی K_k,k است. و حال اگر G گراف k منتظم با کمر پنج باشد و u هر یک از رئوس گراف باشد، k راس با فاصله یک از u وجود دارد به‌طوری که؛ G|≥۱+k+k(k-۱)=1+K^۲|

تعریف گراف مور

گرافی است k منتظم با طول کمر پنج، به‌طوری‌که G|=K^۲+۱| . فرض کنیم |n = |G . یک گراف ۱ منتظم نمی‌تواند کمر به طول ۵ داشته باشد. پس باید k≥۲ . اگر k =۲ پس n=۲^۲+۱ = ۵ یعنی G یک دور به طول پنج دارد پس این تنها گراف مور با درجه ۲.

اگر k=۳ پس n=۳^۲+۱=۱۰.

پس ۳ راس با فاصله یک از هر راس u وجود دارد و ۶ راس با فاصله ۲ وجود دارد که در شکل زیر نشان داده شده‌است.

تعریف تعمیم یافته گراف مور

به بیان دیگر گراف مور، یک گراف با درجه k و قطر d است که تعداد رئوس آن با حد بالای

$1+d\sum _{i=0}^{k-1}(d-1)^{i}.$

برابر باشد.

گراف پترسون

گراف پترسون تنها گراف مور با درجه ۳ است.

قضیه هافمن-سینگلتون

یک گراف مور فقط با درجه k=۲, ۳, ۷ , ۵۷ است.

اثبات : در مرجع ۱

لازم به توضیح است که گراف مور با درجه ۳ همان گراف پترسون است و گراف با درجه ۷ همان گراف هافمن-سینگلتون (Hoffman-Singleton Graph) است. البته وجود گراف مور با درجه ۵ با قضیه ثابت نشده‌است و حدس‌هایی در مورد وجود آن زده است. در هر حال پیدا کردن گراف مور با درجه ۵ و ۵۷ از مسائل حل نشده نظریه گراف است. محدود کردن تعداد رئوس با درجه و قطر: فرض کنیم گراف G و فرض کنیم درجه آن k و قطر آن d و درخت جستجوی نخستین پهنا (BFS Breadth First Search)آن را در نظر می‌گیریم که از هر کدام از رئوس دلخواه v آن را آغاز می‌کنیم . این درخت یک راس با درجه ۰ (راس آغازی شروع گراف) دارد و حداکثر k راس با درجه ۱ دارد (رئوس مجاور راس مبدا). در سطح بعد حداکثر (k(k-۱ راس داریم. هر راس مجاور v از یکی از همسایه‌های v برای اتصال به v استفاده می‌کنند بنابراین حداکثر k-۱ همسایه در سطح ۲ داریم. در کل برای هر سطح i بین ۱ تا k حداکثر k(k-۱)ⁱ راس وجود دارد. پس تعداد کل رئوس در کل

$1+d\sum _{i=0}^{k-1}(d-1)^{i}.$

است.

استفاده از گراف مور به عنوان قفس

به جای حد بالا تعداد رئوس درون گراف در قابل جملات ماکزیمم درجه و قطر آن، ما می‌توانیم با روشی مشابه حد پایینی برای برای تعداد رئوس در قالب جملاتی از درجه و کمر گراف به دست آورد. فرض کنیم گراف G دارای حداقل درجه k و کمر ۲d+۱ باشد. حال به‌طور دلخواه یک راس v را انتخاب می‌کنیم و طبق همان روشی که در بالا توضیح داده شد درخت BFS که راس v ریشه آن است تشکیل می‌دهیم. این درخت یک راس در سطح ۰ دارد و حداقل k راس در سطح ۱ و حداقل (k(k-۱ راس در سطح ۲ و در کل برای هر سطح i بین ۱ تا k حداقل d(d-۱)ⁱ راس دارد. پس مجموعاً تعداد رئوس حداقل باید

$1+d\sum _{i=0}^{k-1}(d-1)^{i}.$

باشد.

در گراف مور این حد به دست آمده برای تعداد رئوس دقیقاً دیده شده‌است. هر گراف مور کمر ۲k+۱ دارد چون برای داشتن کمر بزرگتر به اندازه کافی راس ندارد و یک دور کوتاه‌تر باعث می‌شود که تعداد خیلی کمی راس در k سطح اولیه از درخت BFS وجود خواهد داشت. بنابراین یک گراف مور تعداد رئوس ممکن در بین همهٔ گراف‌هایی دارد که درجه k دارند و قطر d دارند؛ بنابراین یک قفس است.

منابع

کتاب Graphs, Algorithms, and optimization

نوشتهWilliam kocay, Donal L Kreher

صفحهٔ مربوط به گراف مور در ویکی‌پدیای انگلیسی