پوشش گره‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از پوشش راسی)
پرش به: ناوبری، جستجو

پوشش گره‌ای برای یک گراف زیرمجموعه‌ای از گره‌هاست که همه‌ی یال‌های این گراف را می‌پوشاند. در این جا پوشش یک یال یعنی آن که دست کم یکی از گره‌های دو سر یال در این زیرمجموعه باشد. اندازه‌ی پوششی گره‌ای برابر است با شمار گره‌های درون این مجموعه. برای نمونه، در شکل ۱ (b) دارای پوشش گره \left \{ w , z \right \} به اندازهٔ 2 است.

پرسمان پوشش گره‌ای کمینه به یافتن پوششی گره‌ای می‌پردازد که کم‌ترین شمار گره‌ها را دربر داشته باشد. این پرسمان ان‌پی کامل است، از این روی رایانش چنین زیرمجموعه‌ای دشوار است.

تعریف[ویرایش]

برای گرافی بی‌سو مانند G=(V,E)، زیرمجموعه‌ای V' \subseteq V پوشش گره‌ای است اگر برای هر یال (u,v) \in E یا گره v \in V' یا گره‌ی u \in V' یا \{u,v\} \subseteq V^' باشد. دو پوشش گره‌ای با رنگ قرمز در شکل‌های زیر نمایانیده شده‌اند.


پوشش گره‌ای

اندازه‌ی پوششی گره‌ای مانند V^' برابر است با شمار گره‌های این زیرمجموعه که با |V^'| نمایش داده می‌شود. پوشش گره‌ای کمینه پوششی است که دارای کم‌ترین گره‌ها باشد. گره‌های سرخ در در دو شکل زیر پوشش گره‌ای کمینه را برای نمونه‌های بالا می‌نمایانند. Minimum-vertex-cover.svg

نمونه‌ها[ویرایش]

  • مجموعه‌ی همه‌ی گره‌ها پوشش گره‌ای است.
  • گره‌های تطابق (گراف) بیشینه‌ای یک پوشش گره‌ای را می‌سازند.
  • گراف دوبخشی کامل K_{m,n} دارای پوششی گره‌ای کمینه با اندازه \min(m,n) است.

ویژگی‌ها[ویرایش]

  • مجموعه‌ای از گره‌ها پوششی گره‌ای است اگر و تنها اگر اُسپُران (مکمل) آن مجموعه ناوابسته باشد.
  • شمار گره‌های گرافی برابر است با اندازه‌ی پوشش گره‌ای کمینه‌ و اندازه‌ی مجموعه‌ی ناوابسته بیشینه‌ی این گراف (Gallai).

پرسمان‌های رایانشی[ویرایش]

پرسمان پوشش گره‌ای کمینه پرسمانی بهینه‌سازی است که به یافتن پوششی گره با کمترین اندازه برای یک گراف می‌پردازد. اگر گره‌ها وزن‌دار باشند، پوشش گره‌ای وزن‌دار کمینه‌ زیرمجموعه‌ای از گره‌هاست که کمترین وزن را روی-هم-رفته داشته باشند.

پرسمان پوشش گره‌ای پرسمانی تصمیم‌گیری است: آیا پوشش گره‌ای با اندازه‌ای دست بالا k در گرافی هست.

پرسمان پوشش گره‌ی ان‌پی کامل و یکی از پرسمان‌های ۲۱ پرسمان ان‌پی-کامل کارپ است.

برنامه‌نویسی درست[ویرایش]

برای برنامه‌نویسی درست، اگر هر گره‌ی v \in V در گراف G(V,E) وزن c(v) \geq 0 دربرداشته باشد، پرسمان پوشش گره‌ای مانند برنامه‌ی درست (integer program) زیر نوشته می‌شود:

\min{
    \sum_{v \in V}{
        c(v) x_v
    }
}

بنداشت‌ها:

\forall \{u,v\} \in E: x_{u} + x_{v} \geq 1

\forall v \in V: x_v \in \{0,1\}

گافِ دُرُست (integral gap) برای این برنامه،‌ ۲ است. بنابراین،‌ واهِلِش [۱] (relaxation) این برنامه تقریبی با کروند (فاکتور)-۲ برای پرسمان پوشش گره‌ای کمینه به دست خواهد داد. هم‌چنین، واهلش برنامه‌ی درست بالا نیم-دُرُست (half integral) است؛ از این روی، در یک پاسخ بهین، هر درآیه‌ی x_v ارزش 0 یا \frac{1}{2} یا 1 (optimal) خواهد داشت.

الگوریتم رزین[ویرایش]

پرسمان پوشش گره‌ای ان‌پی کامل است. از این روی، الگوریتمی رزین[۲] (exact algorithm) با زمانی بهینه برای این پرسمان نخواهیم داشت. ریچارد کارپ ان‌پی کامل بودن این پرسمان را با کاهش از پرسمان گروهک نشان داده است. پرسمان پوشش گره‌ای حتا برای گراف مکعبی [۳] و گراف مسطح [۴]با درجه‌ی کم‌تر از ۳ ان‌پی کامل می‌ماند.

کونیگ نشان داده است که پوشش گره‌ای کمینه و جورسازی بیشینه در گرافی دوبخشی هم‌ارز هستند. از این روی می‌توان پاسخ بهین را در زمانی چندجمله‌ای به دست آورد.

هم‌چنین، پاسخ بهین را برای درخت‌ها می‌توان در زمانی چندجمله‌ای یافت. [۵]

الگوریتم تقریب[ویرایش]

البته در ادامه الگوریتم تقریب زیر را برای این مسئله بیان می داریم. الگوریتم، گراف بدون جهت G را به عنوان ورودی می گیرد و یک پوشش گره‌ی را بر می گرداند که تضمین می‌شود اندازه آن بیش از دو برابر پوشش گره‌ی بهینه نیست :

Approx-Vertex-Cover

C \leftarrow \varnothing

E' \leftarrow E \left [ G \right ]

While E' \neq \varnothing

\quad do\,let\,(u,v)\,be\,an\,arbitary\,edge\,of\,E'

\quad C \leftarrow C \cup \left \{ u , v \right \}

\quad remove\,from\,E'\,every\,edge\,incident\,on\,either\,u\,or\,v

return\,C

الگوریتم[ویرایش]

شکل 2 عملکرد- Approx-Vertex-Cover را تشریح می کند. متغیر C حاوی پوشش گره‌ی در حال ساخت است. خط 1، C را برابر با مجموعه تهی قرار می دهد. خط 2 ، E' را برابر با کپی مجموعه یال E \left [ G \right ] گراف قرار می دهد. حلقه در خطوط 3 تا 6 مکرراً یال(u,v) را از E' انتخاب می کند، نقاط انتهای آن u و v را به C اضافه می کند، و تمام یال هایی را از E' حذف می‌کند که توسط u یا v پوشش می شود. زمان اجرای الگوریتم O(V+E) است که از لیست همجواری برای نمایش E' استفاده می شود.

Vertex-problem1.PNG

بازبُردها[ویرایش]

  1. «An Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics - 1». dictionary.obspm.fr. بازبینی‌شده در 2016-04-25. 
  2. «An Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics - 1». dictionary.obspm.fr. بازبینی‌شده در 2016-04-25. 
  3. Garey، Johnson & Stockmeyer 1974
  4. Garey & Johnson 1977Garey & Johnson 1979, pp. 190 and 195.
  5. Schulz, A (CS Stack Exchange). "Correctness-Proof of a greedy-algorithm for minimum vertex cover of a tree". Retrieved 8 July 2014.  Check date values in: |date= (help)
  • معرفی بر الگوریتم‌ها [۱]
  • معرفی بر الگوریتم‌ها ترجمه : جعفرنژاد قمی
  • Subexponential parameterized algorithms on bounded-genus graphs and H-minor-free graphs ، author : Demaine