خلاصه

توضیحKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
تاریخ	05/08/06
منبع	Own drawing, Mathematica 5.1
پدیدآور	Fropuff, Inductiveload
اجازه‌نامه (استفادهٔ مجدد از این پرونده)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse این اثر توسط پدیدآور آن، Fropuff، به مالکیت عمومی درآمده است. این مربوط به تمام جهان است. در برخی از کشورها ممکن است به صورت قانونی این امکان‌پذیر نباشد؛ اگر چنین است: Fropuff به هر کسی اجازهٔ استفاده از این اثر برای هر مقصودی، بدون هیچ‌گونه شرایطی، را می‌دهد تا وقتی که این شرایط توسط قانون مستلزم نشده باشند. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse این اثر توسط پدیدآور آن، Inductiveload، به مالکیت عمومی درآمده است. این مربوط به تمام جهان است. در برخی از کشورها ممکن است به صورت قانونی این امکان‌پذیر نباشد؛ اگر چنین است: Inductiveload به هر کسی اجازهٔ استفاده از این اثر برای هر مقصودی، بدون هیچ‌گونه شرایطی، را می‌دهد تا وقتی که این شرایط توسط قانون مستلزم نشده باشند.
دیگر نسخه‌ها	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

File:KleinBottle-Figure8-01.svg یک نسخهٔ برداری از این پرونده است. آن پرونده را هنگامی که بهتر بود می‌بایست به جای این نسخهٔ تصویر استفاده کرد. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg برای کسب اطلاعات بیشتر در ارتباط با تصاویر برداری لطفاً اینجا را مطالعه‌کنید. همچنین اطلاعات بیشتری در ارتباط با حمایت مدیاویکی از تصاویر اس‌وی‌جی وجود دارد. در زبان های دیگر Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.