میدان الکتریکی

برای تعریف میدان الکتریکی در یک نقطه معین از فضا، یک بار الکتریکی مثبت به اندازه واحد در آن نقطه قرار داده، سپس مقدار نیروی الکتریکی وارد بر این واحد بار را به عنوان شدت میدان الکتریکی تعریف می‌کنند. بار مثبت را نیز به عنوان بار آزمون تعریف می‌کنند. به بیان دقیقتر می‌توان میدان الکتریکی را به صورت حد نسبت نیروی الکتریکی وارد بر یک بار آزمون بر اندازه بار آزمون، زمانی که مقدار بار آزمون به سمت صفر میل می‌کند، تعریف کرد.

پیشگفتار

از قانون کولن می‌دانیم که دو بار الکتریکی بر یکدیگر نیرو وارد می‌کنند. این نیرو را می‌توان با استفاده از مفهوم جدیدی به نام میدان الکتریکی توضیح داد، یعنی واسطه‌ای که بارهای الکتریکی بواسطه آن بر یکدیگر نیرو وارد می‌کنند. به بیان دیگر هر بار الکتریکی در فضای اطراف خود یک میدان الکتریکی ایجاد می‌کند که هرگاه بار الکتریکی دیگری در محدوده این میدان قرار گیرد، بر آن نیروی وارد می‌شود.

معمولاً خطوط میدان الکتریکی در اطراف هر بار الکتریکی با استفاده از مفهوم خطوط نیرو نشان داده می‌شود. به عنوان مثال اگر یک بار الکتریکی نقطه‌ای مثبت را در نقطه‌ای از فضا در نظر بگیریم، در این صورت خطوطی از این نقطه به طرف خارج رسم می‌شوند. این خطوط بیانگر جهت میدان الکتریکی هستند. همچنین با استفاده از چگالی خطوط میدان الکتریکی می‌توان به شدت میدان الکتریکی نیز پی برد.

علت بسیار کوچک بودن بار آزمون فرض کنید یک توزیع بار با چگالی حجمی یا سطحی معین در یک نقطه از فضا قرار دارد و ما می‌خواهیم میدان الکتریکی حاصل از این توزیع بار را در یک نقطه معین پیدا کنیم. اگر چنانچه مقدار بار آزمون خیلی کوچک نباشد، به محض قرار دادن بار آزمون در نزدیکی توزیع بار، توزیع بار حالت اولیه خود را از دست داده و تحت تأثیر بار مثبت آزمون قرار می‌گیرد. بنابراین فرض بسیار کوچک بودن بار آزمون بدین خاطر است که بتوانیم از آثار بار آزمون بر توزیع بار صرفنظر کنیم. البته با تعریف میدان به صورت حد نیرو بر بار زمانی که بار به صفر میل می‌کند، این اشکال رفع می‌شود.

مشخصات میدان الکتریکی

میدان الکتریکی کمیتی برداری است، یعنی در میدان الکتریکی علاوه بر مقدار دارای جهت نیز است. برداری بودن این کمیت را می‌توان از تعریف آن نیز فهمید. چون میدان الکتریکی را به صورت نسبت نیرو بر بار تعریف کردیم و نیز چون نیرو بردار است، بنابراین میدان الکتریکی نیز بردار خواهد بود.

میدان الکتریکی در داخل یک جسم رسانا همواره برابر صفر است. چون اگر درون جسم رسانا میدان الکتریکی وجود داشته باشد، در این صورت بر همه بارهای درون آن نیرو وارد می‌شود. این نیرو باعثخعغفناتنولتل به حرکت در آمدن بارهای آزاد می‌شود. حرکت بار را جریان می‌گویند. بنابراین در اثر ایجاد جریان در داخل جسم رسانا بارها به سطح آن منتقل می‌شوند، باز میدان درون آن صفر می‌شود. در بیشتر موارد میدان الکتریکی از نظر اندازه و جهت از یک نقطه به نقطه دیگر تغییر می‌کند. اما اگر چنانچه اندازه جهت میدان در منطقه‌ای ثابت باشد، در این صورت میدان الکتریکی را یکنواخت یا ثابت می‌گویند.

میدان الکتریکی حاصل از یک بار نقطه‌ای

فرض کنید که یک بار الکتریکی به اندزه q در نقطه‌ای از فضا که با بردار مکان r مشخص می‌شود، قرار داشته باشد. حال می‌خواهیم میدان الکتریکی حاصل از این بار را در نقطه دیگری که با بردار مکان ('r) مشخص می‌شود، تعیین کنیم. طبق تعریف یک بار نقطه‌ای مثبت آزمون در این نقطه قرار می‌دهیم. فرض کنید که اندازه بار آزمون ('q) باشد. در این صورت از طرف بار q بر این بار آزمون نیرویی وارد می‌شود که از قانون کولن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\vec {F}}={\frac {q.q'}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}{\hat {a}}$

محاسبه می‌شود. چون نیروی F یک کمیت برداری است، بنابراین علاوه بر اینکه مقدار آن از رابطه گفته شده حاصل می‌شود، دارای یک جهت نیز هست که جهت آن با رابطه${\hat {a}}=({\vec {r'}}-{\vec {r}})/|{\vec {r'}}-{\vec {r}}|$ نشان داده می‌شود. در واقع این کمیت یک بردار یکه است. از آنجا که $R=|{\vec {r'}}-{\vec {r}}|$ بیانگر فاصله‌ی دو بار است بنابراین نیروی وارد براین بار بدین صورت است:

${\vec {F}}={\frac {q.q'}{4\pi \varepsilon _{0}|{\vec {r'}}-{\vec {r}}|^{3}}}({\vec {r'}}-{\vec {r}})$

حال اگر نیروی ${\vec {F}}$ را بر ('q) تقسیم کنیم، کمیتی حاصل می‌شود که همان میدان الکتریکی است. یعنی اگر میدان الکتریکی را با ${\vec {E}}$ نشان دهیم، در این صورت میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه‌ای به فاصله r از مبدا از رابطه زیر محاسبه می‌شود.

${\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}|{\vec {r'}}-{\vec {r}}|^{3}}}({\vec {r'}}-{\vec {r}})$

میدان الکتریکی حاصل از توزیع‌های مختلف بار

اگر چنانچه به جای یک بار نقطه‌ای چندین بار نقطه‌ای وجود داشته باشد و بخواهیم میدان حاصل از آن‌ها را محاسبه کنیم، برای این منظور ، میدان حاصل از هر بار را تعیین نموده و همه را به صورت برداری جمع می‌کنیم.

اما در مورد توزیع بارها باید از یک رابطه انتگرالی استفاده کنیم. بدیهی است که در مورد توزیع حجمی بار انتگرال حجمی بوده و در مورد توزیع سطحی بار، انتگرال سطحی خواهد بود.

در این حالت - به جای بار آزمون - با کمیت دیگری به نام چگالی بار سر و کار داریم. معمولاً چگالی بار خطی، چگالی بار سطحی و چگالی بار حجمی به ترتیب با $\rho _{L}$ (برحسب ${\frac {c}{m}}$) ، $\rho _{S}$ (برحسب ${\frac {c}{m^{2}}}$) و $\rho _{V}$ (برحسب ${\frac {c}{m^{3}}}$) نشان می‌دهند.
عنصر بار و بار کل ناشی از این توزیعات این‌گونه به دست می‌آیند:

$dQ=\rho _{L}.dL\longrightarrow Q=\int _{L}\rho _{L}.dl$

و به همین ترتیب برای توزیع بارهای سطحی و حجمی نیز به دست می‌آید. بنابراین، با جایگزینی Q در معادلات و انتگرال‌گیری برای میدان الکتریکی خواهیم داشت:

(بار خطی) : ${\vec {E}}=\int {\frac {\rho _{L}.dl}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}{\hat {a}}_{R}$

(بار سطحی) : ${\vec {E}}=\int {\frac {\rho _{S}.ds}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}{\hat {a}}_{R}$

(بار حجمی) : ${\vec {E}}=\int {\frac {\rho _{V}.dv}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}{\hat {a}}_{R}$

محاسبه نیروی الکتریکی با استفاده از میدان الکتریکی

اگر بخواهیم مقدار نیروی الکتریکی را که از طرف یک توزیع بار بر بار دیگری که در یک نقطه معین قرار دارد محاسبه کنیم، کافی است که میدان الکتریکی حاصل از توزیع بار را در نقطه معین تعیین کرده، مقدار نیروی وارده را از حاصلضرب میدان الکتریکی در اندازه باری که نیروی وارده بر آن را محاسبه می‌کنیم، مشخص کنیم.

جستارهای وابسته

• قانون کولن
• شار الکتریکی
• قانون گاوس
• پتانسیل الکتریکی
• دوقطبی الکتریکی

منابع

• کلاس درس.
• دانشنامه رشد.
• الکترومغناطیس ۱ / دکتر سعید محمدی / دانشگاه پیام‌نور