مدل توماس-فرمی

مدل توماس-فرمی (به انگلیسی: Thomas–Fermi model) نظریه‌ای در مکانیک کوانتومی‌ برای بررسی آرایش الکترونی مواد در سیستم‌های چندپیکره است. این مدل اندکی پس از معادله شرودینگر پیشنهاد شد و هدفش شناسایی و بررسی چگالی الکترونی ماده بود و پدر نظریه تابعک چگالی امروزی‌ست.

بر پایهٔ این مدل الکترون‌ها بطور همگون پخش شده‌اند بطوریکه در هر فضای سه‌بعدی $h^{3}$ دو الکترون باشنده‌است و پایهٔ تکانه فرمی $p_{f}$ می‌توان در مختصات $d^{3}r$ می‌توان کره‌ای از تکانه را در نظر داشت:

$(4/3)\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}).\$

اکنون با درنظرگیری دو الکترون در فضای $d^{3}r$ داریم:

$n({\vec {r}})={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).\$

با حل این معادله برای $p_{f}$ و سپس جایگذاری در معادله انرژی جنبشی، می‌توان تابعک چگالی الکترون را بدست آورد:

$t_{TF}[n]={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\propto {\frac {(n^{1/3})^{2}}{2m_{e}}}\propto n^{2/3}({\vec {r}})\$

$T_{TF}[n]=C_{F}\int n({\vec {r}})n^{2/3}({\vec {r}})d^{3}r=C_{F}\int n^{5/3}({\vec {r}})d^{3}r\$

که در آن:

$C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{2/3}.\$$C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{2/3}.\$

اکنون، از آنجا که کنش الکترون-الکترون و الکترون-هسته وابسته به چگالی الکترونی هستند، می‌توان انرژی اتم را با بکاربردن تابعک انرژی جنبشی بدست آورد.

محدودیت این روش در اینست که تابعک انرژی جنبشی تنخمینی‌ست و انرژی تبادلی در آن نادیده‌ گرفته‌شده‌است. همچنین این مدل توانایی توضیح پیوند‌های مولکولی را نداشت و ازینرو تابعک انرژی جنبشی تصحیح‌شده بدینگونه معرفی‌شد:

$T_{W}[n]={\frac {1}{8}}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int {\frac {|\nabla n({\vec {r}})|^{2}}{n({\vec {r}})}}dr.\$

جستارهای وابسته

• نظریه تابعک چگالی

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی