تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .

تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی $x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

$P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

$\Pr(X=x)=F(x_{0})-F(x_{0}-),$

که در اینجا $F(x_{0}-)$ به معنی حد چپ تابع $F_{X}(x)$ است وقتی که $x$ به $x_{0}$ میل می‌کند

خواص تابع توزیع تجمعی

• تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

$$F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}f(t)$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

• تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

$$F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt$$

• تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
• $0\leq F_{X}(x)\leq 1$
• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$
• $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$
• اگر $x_{1}\leq x_{2}$ باشد، آنگاه :

$$F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})$$

• $P(X>x)=1-F_{X}(x)$
• $P(x_{1}<x\leq x_{2})=F_{X}(x_{2})-F_{X}(x_{1})$
• اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

$$F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}$$

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

مثال

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:

$$f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}$$

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

• 
  نمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

$$F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ $x\in$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$$F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد

توزیع پواسون

تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} $k\in$ و $\lambda \in (0,\infty )$ به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$f(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$$F(x)=\int f(x)dx=\int {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون

توزیع نمایی

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای $x\geq 0$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$$F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه نمایی

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

$$F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...,X_{n}\leq x_{n})$$

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره $f_{XY}(x,y)$ به این شکل خواهد بود:

$$F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$$

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

• $0\leq F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\leq 1$
• $\lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to -\infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0$
• $\lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to \infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=1$
• $P(x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2})=F_{XY}(x_{2},y_{2})-F_{XY}(x_{1},y_{2})-F_{XY}(x_{2},y_{1})+F_{XY}(x_{1},y_{1})$