پرش به محتوا

معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

جز
اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB
بدون خلاصۀ ویرایش
برچسب‌ها: ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه
جز (اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB)
 
در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می‌توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل‌های معادله شرودینگر نه تنها سامانه‌های مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می‌کند بلکه سیستم‌های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می‌کند.
همانند قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می‌تواند به فرمولبندی‌های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می‌کند که برای نظریه‌های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به طوربه‌طور کامل حضور ندارد.
 
== معادله ==
که ''m'' جرم ذره، ''V'' انرژی پتانسیل آن، <sup>2</sup>∇ لاپلاسین و ''Ψ''تابع موج است (که با دقت بیشتر، در این متن، تابع موج فضا مکان نامیده می‌شود). به عبارت دیگر این معادله می‌تواند اینگونه توصیف شود: «انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل»، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده‌اند به خود می‌گیرند.
با توجه به عملگرهای دیفرانسیلی خاص درگیر، این معادله، یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است و همان‌طور که از اسمش بر می‌آید معادله موج است.
لفظ «معادله شرودینگر» به هر دو، معادله عمومی (اولین جعبه بالا) یا نوع خاص غیر نسبیتی آن (دومین جعبه بالا) اشاره می‌کند. معادله عمومی به طوربه‌طور واقعی کاملاً عمومی است، که به وسیله مکانیک کوانتومی و برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا برای نظریه کوانتومی به وسیله تبدیل شدن به عبارات پیچیده مختلف برای هامیلتونی، استفاده می‌شود.
نوع خاص غیر نسبیتی شکل ساده شده نزدیک به واقعیت است که در شرایط بسیاری دقیق است و در موارد اندکی دقیق نیست. (مکانیک کوانتومی را ببینید)
برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده استشده‌است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می‌شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است.
 
== معادله مستقل از زمان ==
معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش بینیپیش‌بینی می‌کند که توابع موج می‌توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می‌شوند. (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می‌شوند) این حالت‌ها به نوبهٔ خود مهم هستند. علاوه بر این اگر این حالت‌های پایا دسته‌بندی و تفهیم شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان تر می‌شود. معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت‌های پایا را توصیف می‌کند. (این معادله فقط زمانی استفاده می‌شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست)
 
{{Equation box 1
 
به بیان دیگر، در این معادله وقتی که عملگر هامیلتونی به روی تابع موج ''[[''Ψ'']]'' عمل می‌کند، نتیجه ممکن است با همان تابع موج ''[[''Ψ'']]'' متناسب باشد. اگر اینگونه باشد، ''[[''Ψ'']]'' یک حالت پایا است و ثابت تناسب، ''[[E]]'' انرژی آن حالت ''[[''Ψ'']]'' است.
معادله مستقل از زمان شرودینگر به تفصیل در زیر بحث شده استشده‌است. در واژگان جبر خطی این معادله، یک معادله ویژه مقداری است.
 
همانند قبل، مشهورترین شکل معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای یک ذره مفرد متحرک در میدان الکتریکی (نه مغناطیسی) است.
 
== مفاهیم ==
معادله شرودینگر و روش‌های آن شامل یک موفقیت در تفکر فیزیک شد. این معادله در نوع خود اولین بود و راه حل‌های آن منجر به خاصیت‌های غیر معمولغیرمعمول و غیر منتظره‌ای برای زمان شد.
 
== انرژی کل، جنبشی و پتانسیل ==
شکل کلی معادله، غیر معمولغیرمعمول و غیر منتظرهغیرمنتظره نیست، معادله شرودینگر می‌تواند به عنوان (انرژی پتانسیل + انرژی جنبشی = انرژی کل) تفسیر شود.
این رابطه دقیقاً مانند فیزیک کلاسیک است. به عنوان مثال یک ترن هوایی بدون اصطکاک انرژی کل ثابتی دارد، بنابراین هنگامی که در ارتفاع بالا قرار دارد (انرژی پتانسیل بالا)، آهسته‌تر حرکت می‌کند (انرژی جنبشی کم) و بر عکس.
 
== کوانتش ==
معادله شرودینگر پیشبینیپیش‌بینی می‌کند اگر خواص مشخصی از سیستم اندازه‌گیری شوند، نتیجه ممکن است کوانتیده باشد به این معنی که تنها مقادیر گسسته خاصی می‌تواند امکان بیفتد یک مثال از کوانتش انرژی است:
انرژی یک الکترون در یک اتم همواره یکی از ترازهای انرژی کوانتیده است، حقیقتی که توسط طیف اتمی کشف شد. (کوانتش انرژی در زیر بحث شده است) مثال دیگری از کوانتش تکانه زاویه‌ای است. این یک فرض در مدل اولیه اتم بور بود ولی در حقیقت پیشگویی معادله شرودینگر است.
همهٔ اندازه‌گیری‌ها نتیجه کوانتیده در مکانیک کوانتومی ندارند. به عنوان مثال مکان، تکانه، زمان و انرژی (گاهی اوقات) می‌توانند هر مقداری در یک بازهٔ پیوسته داشته باشند.
 
== اندازه‌گیری و عدم قطعیت ==
در مکانیک کلاسیک، هر ذره در هر لحظه، یک تکانه و مکان دقیق دارد. این مقادیر به طوربه‌طور دقیق هنگامی که ذره با توجه به قوانین نیوتن حرکت می‌کند، تغییر می‌کند. در کوانتوم مکانیک، ذرات ویژگی‌های مشخصی به طوربه‌طور دقیق ندارند و زمانی که انداره گیری می‌شوند نتیجه از یک توزیع احتمال پیروی می‌کند. معادله شرودینگر توزیع احتمالاتی که هستند را پیشگوئی می‌کند، اما اساساً نمی‌تواند نتایج را به طوربه‌طور دقیق، برای هر اندازه‌گیری پیشگوئی کند.
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ یک نمونهٔ بارزی از عدم قطعیت در مکانیک کوانتوم است. این اصل بیان می‌کند که هر قدر که مکان ذره با دقت بیشتری مشخص باشد، تکانه را با دقت کمتری خواهیم دانست و بر عکس.
معادله موج شرودینگر تکامل تابع موج یک ذره را توصیف می‌کند. حتی اگر تابع موج دقیقاً شناخته شده باشد، نتیجه یک اندازه‌گیری خاص روی آن نادقیق خواهد بود.
== ذرات به عنوان موج ==
معادله دیفرانسیل غیر نسبیتی شرودینگر نوعی معادله دیفرانسل جزئی است که معادله موج نامیده می‌شود؛ بنابراین ذرات رفتاری که معمولاً به امواج نسبت داده می‌شوند، از خود نشان می‌دهند.
یک مثال مشخص از رفتار غیر معمولغیرمعمول ذرات که معمولاً امواج از خود نشان می‌دهند، پراش دو شکاف است که به طوربه‌طور مستقیم همراه با ذرات نیست، تداخل امواج از دو شکاف در بعضی از نقاط یکدیگر را خنثی و در برخی نقاط تقویت می‌کنند که باعث به وجود آمدن طرح پراش می‌شود. به طوربه‌طور مستقیم این انتظار را نداریم که این طرح از یک ذره پرتاب شده مشاهده شود، زیرا ذره باید از یکی از دو شکاف عبور کند نه از هر دو شکاف؛ بنابراین چون معادله شرودینگر یک معادله موج است، ذره پرتاب شده دقیقاً همین طرح را نشان می‌دهد. (آزمایش باید به دفعات زیادی انجام شود تا طرح پراش مشاهده شود)
ظاهر طرح اثبات می‌کند که الکترون از هر دو شکاف به طوربه‌طور همزمانهم‌زمان عبور می‌کند. اگر چه عجیب به نظر می‌رسد، اما این پیشگوئی صحیح است. به طوربه‌طور ویژه، پراش الکترون و نوترون به خوبی تفهیم شده و به صورت گسترده در علوم و مهندسی استفاده می‌شوند.
ذرات همچنین برهم نهی و تداخل از خود نشان می‌دهند که با پراش ارتباط دارد.
خاصیت برهم نهی به ذرات اجازه می‌دهد که در یک برهم نهی کوانتومی در حالت‌های متفاوت چند گانه در یک زمان باشد، به عنوان مثال یک ذره می‌تواند چندین انرژی مختلف در یک زمان معین داشته باشد و می‌تواند در چندین حالت مختلف در یک زمان باشد. در مثال بالا یک ذره می‌تواند از میان دو شکاف در یک زمان عبور کند.
== تفسیر تابع موج ==
معادله شرودینگر راهی برای بدست آوردن تابع موج محتمل از یک سیستم و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان فراهم می‌کند. اگر چه معادله شرودینگر مستقیماً نمی‌گوید که تابع موج دقیقاً چیست. تفسیر مکانیک کوانتومی سوالاتی مانند اینکه چه رابطه‌ای میان تابع موج هست که اساس واقعی دارد و حاصل اندازه‌گیری‌های تجربی است، را مشخص می‌کند.
یک جنبه مهم رابطهٔ میان معادله شرودینگر و فروریزش تابع موج است. در گذشته کپنهاگ می‌گفت: ذرات از معادله شرودینگر پیروی می‌کنند به جز در طول فروریزش تابع موج که در آن مقطع به طوربه‌طور کاملاً متفاوتی رفتار می‌کند. ظهور نظریه کوانتومی decoherance اجازه داد تا روش‌های جایگزین در جایی که معادلهٔ شرودینگر اغنا می‌شود، فروریزش تابع موج باید از نتیجه معادله شرودینگر توضیح داده شود.
 
== معادله موج برای ذرات ==
 
== روشی برای معادله ==
معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت‌های موج پاسخ داده شده استشده‌است. در حالت عادی معادله موج در فیزیک می‌تواند از قوانین دیگر فیزیکی، مشتق گیری شود.
معادله موج می‌تواند مشتقی از قوانین دیگر فیزیک باشد و برای ارتعاشات مکانیکی بروی طناب در ماده از قانون نیوتون مشتق شود. تابع موج آنالوگ نشان دهندهٔ جابه جایی ماده است و امواج الکترومغناطیسی از معادلات ماکسول بدست می‌آید که در آن تابع موج در زمینه‌های الکتریکی و مغناطیسی می‌باشد، در مقابل آن، معادلات شرودینگر بر اساس انرژی مواد و قیاس منطقی جداگانه در مکانیک کوانتومی است.
دوگانگی ذره-موج از معادلات شرودینگر پیروی می‌کند که در زیر بیان شده است:
 
== جواب برای معادله ==
جواب عمومی معادله می‌تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود. امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده استشده‌است. همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است. برای هر '''k'''های گسسته، هر ترکیب خطی، یک برهم نهی امواج تخت است
 
<math> \Psi(\bold{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\bold{k}_n\cdot\bold{r}-\omega_n t)} \,\!</math>
،<math> \Psi = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)} e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}\,\!</math>
که ρ چگالی احتمال است سپس اگر از معادله بدست آمده حد ħ'' → ۰'' گرفته شود معادله هامیلتونی-ژاکوبی بدست خواهد آمد.
* حرکت یک ذره توسط (طول موج کوتاه) جواب بسته موج، برای معادله موج شرودینگر توضیح داده شده استشده‌است که همچنین توسط معادله ژاکوبی-هامیلتونی نیز بیان شده استشده‌است.
* معادله شرودینگر شامل تابع موج است، بنابراین جواب بسته موج موقعیت ذره (کوانتومی) که به صورت نا منظمنامنظم در جبهه موج قرار دارد، را بیان می‌کند. در مقابل، معادله ژاکوبی-هامیلتونی بیان می‌کند که یک ذره (کلاسیکی) مکان و تکانه به طوربه‌طور همزمانهم‌زمان می‌توانند مشخص باشند.
 
== مستقل از زمان ==
 
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می‌کند که حالتی با انرژی مشخص است. (که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی‌های متفاوت) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می‌شود.
ویژه مقادیر انرژی از این معادله یک طیف مجزا دارد؛ بنابراین انرژی باید کوانتیده باشد. به طوربه‌طور خاص ویژه حالت انرژی یک پایه - هر تابع موج ممکن است به صورت جمع حالت‌های انرژی مجزا یا انتگرال حالت‌های انرژی پیوسته نوشته شود این نظریه طیف در ریاضیات نامیده می‌شود.
 
== منابع ==
۱۳۳٬۲۴۲

ویرایش