توان (فیزیک)

برای دیگر کاربردها، توان را ببینید.

برای دیگر کاربردها، قدرت را ببینید.

در فیزیک، توان میزان جابه‌جایی، دگرگونی و یا استفاده‌ی انرژی در یکای زمان است. یکای این کمیت ژول بر ثانیه (J/s) یا همان وات است (به احترام جیمز وات، مخترع ماشین بخار). برای نمونه، برای یک لامپ، نرخ تبدیل انرژی الکتریکی به گرما و نور در وات شمرده می‌شود. هر چه لامپ پر توان تر باشد، انرژی الکتریکی بیشتری در یکای زمان تبدیل می‌شود. تبدیل انرژی را می‌توان برای انجام کار استفاده کرد. پس توان همچنین نرخ انجام کار در یکای زمان است.

• برای بالا بردن یک جسم از پله ها، چه بدویم و چه راه برویم کار یکسانی می‌کنیم. اما هنگام دویدن توان بیشتری مصرف می‌شود چون همان مقدار کار در مدت کمتری انجام می‌شود.
• توان خروجی یک موتور الکتریکی برابرست با حاصل‌ضرب گشتاوری که موتور میسازد در سرعت زاویه‌ایِ محور خارجی آن.
• توان مصرف شده برای جابه‌جا کردن یک اتومبیل برابرست با حاصل‌ضرب نیروی کشش چرخ ها در سرعت اتومبیل.

انتگرال توان روی زمان تعریف کار انجام شده است. چون این انتگرال به مسیر وارد کردن نیرو و گشتاور بستگی دارد، این محاسبه کار را "تابع مسیر" میخوانند.

یکاها

بعد توان انرژی بخش بر زمان است. یکای SI توان همان وات (W) است که برابر است با یک ژول بر ثانیه. از دیگر یکاهای توان می‌توان ارگ بر ثانیه (erg/s)، اسب بخار (hp)، فوت-پوند بر دقیقه و یا یکای بریتانیایی حرارت بر ساعت (BTU/h) را خاطر نشان کرد.

توان متوسط

به عنوان یک نمونه ساده، سوزاندن یک کیلوگرم زغال سنگ خیلی بیشتر از منفجر کردن یک کیلوگرم تی‌ان‌تی انرژی آزاد میکند، ولی چون واکنش تی‌ان‌تی سریع‌تر انرژی آزاد میکند توان خیلی بالاتر از زغال‌سنگ می‌رساند. اگر ΔW مقدار کار انجام شده در مدت زمان Δt باشد، آنگاه توان متوسط اینگونه تعریف میشود:

$P_{avg}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}$

پس توان لحظه‌ای مقدار حد توان متوسط است هنگامی که Δt به صفر میل می‌کند.

$P=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}P_{avg}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}$

اگر توان P ثابت باشد، مقدار کار انجام شده در مدت زمان Τ اینگونه محاسبه میشود:

$W=PT$

اگر انرژی تبدیل شده باشد، نماد E بیشتر از نماد W بکار می‌رود.

توان مکانیکی

توان در سامانه های مکانیکی، آمیزشی از نیرو ها و حرکت است. به طور خاص، توان حاصل‌ضرب نیروی وارد بر جسم در سرعت آن و یا حاصل‌ضرب گشتاور اعمال شده بر یک محور و سرعت زاویه‌ای آن است. توان مکانیکی نیز به صورت مشتق زمان کار تعریف میشود. درمکانیک، کار مکانیکی انجام داده شده توسط یک نیروی F بر روی جسمی که خم С را طی میکند را میتوان با انتگرال خطی زیر پیدا کرد:

$W_{C}=\int _{C}{\mathbf {F} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {x} }=\int _{C}{\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {v} }\mathrm {dt}$

به طوری که x متغیر مستقل خم C است و v سرعت در مسیر است. مشتق زمان این معادله، توان لحظه ای را میدهد:

$P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

در سامانه های چرخشی توان برابرست با حاصل‌ضرب گشتاور τ و سرعت زاویه‌ای ω.

$P(t)={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$

در سامانه های سیال مانند محرک های هیدرولیکی (اَکتواتُر ها) توان برابرست با حاصل‌ضرب فشار p به پاسکال (N/m²) در آهنگ شارش حجمی Q در متر مکعب بر ثانیه (m³/s):

$P(t)=pQ$

مزیت مکانیکی

اگر سامانه مکانیکی هیچ تلفاتی نداشته باشد، توان ورودی با توان خروجی برابر است. این اصل به ما فرمول ساده‌ای برای مزیت مکانیکی سامانه میدهد. اگر توان ورودی سامانه، نیروی F_A وارد بر نقطه ای با سرعت v_A و توان خروجی سامانه نیروی F_B وارد بر نقطه ای با سرعت v_B باشد و هیچ تلفاتی در سامانه نداشته باشیم، آنگاه:

$P=F_{A}v_{A}=F_{B}v_{B}$

و مزیت مکانیکی سامانه اینگونه بدست می‌آید:

$\mathrm {MA} ={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}$

روابط مشابهی برای سامانه های چرخشی موجودند:

اگر توان ورودی سامانه دارای گشتاور T_A و سرعت زاویه‌ای ω_A باشد و توان خروجی سامانه دارای گشتاور T_B و سرعت زاویه‌ای ω_B باشد و سامانه هیچ تلفاتی نداشته باشد، آنگاه داریم:

$P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B}$

و مزیت مکانیکی سامانه اینگونه بدست می‌آید:

$\mathrm {MA} ={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}$

این روابط برای تعریف کارایی بیشینه سیستم از لحاظ نسبت سرعت ها مفیدند. برای فهم بهتر اهمیت آنها این ویکی را بخوانید.

توان در نورشناسی

در نورشناسی، یا رادیومتری، واژه توان گاهی به معنی شار تابشی است (نسبت متوسط جابه‌جایی انرژی توسط امواج الکترومغناطیسی که یکای آن وات است) و یا به توان دیوپتری یک عدسی یا آینه (مقیاسی از توانایی فوکوس کردن نور که یکای آن دیوپتر (m^-1)است: P=1/f) اشاره دارد.

توان الکتریکی

توان لحظه‌ای الکتریکی ای که به مولفه‌ای از مدار میرسد برابرست با:

$P(t)=I(t)\cdot V(t)$

به طوری که: $P(t)$ توان لحظه‌ای است به وات. $V(t)$ اختلاف پتانسیل الکتریکی (یا تغییر ولتاژ) بین دو سر مولفه به ولت است. $I(t)$ جریان الکتریکی در آمپر است که از مولفه میگزرد.

اگر مولفه یک مقاومت است که نسبت ولتاژ به شدت جریان آن زمان-ناوردا است، آنگاه داریم:

$P=I\cdot V=I^{2}\cdot R={\frac {V^{2}}{R}}$

به طوری که $R={\frac {V}{I}}$ مقاومت الکتریکی به اهم است.

توان اوج و چرخه کار

در زنجیره‌ای از پالس های یک‌ریخت، توان لحظه ای، تابعی متناوب از زمان است. نسبت زمان پالس به دوره برابرست با نسبت توان متوسط به توان اوج که به آن چرخه کار میگویند.

در مورد سیگنال متناوب $s(t)$ با دوره‌ی $T$، مانند زنجیره‌ای از پالس های یک‌ریخت، توان لحظه‌ای $p(t)=|s(t)|^{2}$ نیز تابعی متناوب با دوره $T$ است. توان اوج به صورت $P_{0}=\max[p(t)]$ تعریف میشود. توان اوج همیشه به سادگی قابل اندازه‌گیری نیست، اما اندازه‌گیری توان متوسط معمول تر است. اگر انرژیِ هر پالس را به صورت زیر تعریف کنیم:

$\epsilon _{\mathrm {pulse} }=\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t$

آنگاه توان متوسط اینگونه بدست می‌آید:

$P_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t={\frac {\epsilon _{\mathrm {pulse} }}{T}}$

میتوانیم طول پالس τ را طوری تعریف کنیم که: $P_{0}\tau =\epsilon _{\mathrm {pulse} }$ تا نسبت زیر برقرار باشد. به این نسبت چرخه‌ی کار زنجیره پالس ها میگویند.

${\frac {P_{\mathrm {avg} }}{P_{0}}}={\frac {\tau }{T}}$