توزیع احتمال

در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) و یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. توزیع تجمعی احتمال یک متغیر تصادفی تابعی است از دامنهٔ آن متغیر بر بازهٔ $[0,1]$. به طوری که احتمال رخدادن پیشامدهای با مقدار عددی کمتر از آن را نمایش می‌دهد. و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می‌شود:

$F_{X}(x)=\Pr \left[X\leq x\right]$

بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می‌گیرد.

خاصیت‌های تابع توزیع

1. همواره داریم: $F_{X}(+\infty )=1$ و $F_{X}(-\infty )=0$
2. تابع توزیع تجمعی غیر نزولی ست، یعنی: $x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})$
3. تابع توزیع همواره از راست پیوسته‌است: $\lim _{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)$

اگر تابع توزیع تجمعی پیوسته باشد مشتق ان برابر تابع چگالی متغیر مورد بررسی است و اگر تابع توزیع گسسته باشد مشتق ان برابر تابع احتمال متغیر مورد بررسی است.