تابع همانی

در ریاضیات یک تابع را همانی گویند هرگاه، همواره مقدار خروجی آن با ورودی برابر باشد، و اگر بخواهیم آن را به صورت یک معادله بنویسیم به صورت f(x) = x خواهد بود.

تعریف

اگر M یک مجموعه ناتهی باشد که تابع همانی f بر روی آن تعریف شده باشد. خواهیم گفت که دامنهٔ تابع f مجموعهٔ M است و رابطهٔ همانی یا انعکاسی زیر همواره برقرار است:

برای تمامی اعضای M داریم: f(x) = x

شکل(10) نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی

به گزاره دیگر I:X→X با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈X تابع همانی است. اگر مجموعه X را مجموعه اعداد حقیقی R در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه R به روی مجموعه R تابع f(x)=x است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است.

حال مجموعه ناتهی X و زیرمجموعه A از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی X یعنی I:X→X را مجموعه A تحدید نمود و حاصل تابع I_|A:A→X است با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈A، این تابع را که زیرمجموعه A از X را به توی X می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.