از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در ریاضیات ، هماهنگ‌های کروی بخش زاویه‌ای مجموعه‌ای از جواب‌های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ‌های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم‌ها ، نمایش میدان‌های گرانشی ، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی . در گرافیک رایانه‌ای سه‌بعدی، هماهنگ‌های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می‌کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه‌بعدی.
هماهنگ‌های کروی حقیقی، Ylm ، برای l=0 تا l=4 (بالا به پایین) و m=0 تا m=4 (چپ به راست). معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:
∇
2
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}
با تبدیل
f (r ,θ،φ)=R (r )Θ(θ)Φ(φ)
، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:
Φ
(
φ
)
sin
θ
d
d
θ
(
sin
θ
d
Θ
d
θ
)
+
Θ
(
θ
)
sin
2
θ
d
2
Φ
d
φ
2
+
l
(
l
+
1
)
Θ
(
θ
)
Φ
(
φ
)
=
0.
{\displaystyle {\Phi (\varphi ) \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{\Theta (\theta ) \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )=0.}
با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:
1
Φ
(
φ
)
d
2
Φ
(
φ
)
d
φ
2
=
−
m
2
{\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}
l
(
l
+
1
)
sin
2
(
θ
)
+
sin
(
θ
)
Θ
(
θ
)
d
d
θ
[
sin
(
θ
)
d
Θ
d
θ
]
=
m
2
{\displaystyle l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}}
برای هر m و l . بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
=
N
e
i
m
φ
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
,
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta }),}
که در آن
Y
ℓ
m
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}}
ℓ
{\displaystyle \ell }
m خوانده می‌شود و
P
ℓ
m
{\displaystyle P_{\ell }^{m}}
تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی ) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی ) هستند.
E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics , (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3 .
![{\displaystyle l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a83b2c1c1a7a02f0dc8591b81d2b5303e2e881)
