این یک مقالهٔ خوب است. برای اطلاعات بیشتر اینجا را کلیک کنید.

نسبیت عام

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
فارسیEnglish

یک سیاهچالهٔ شبیه‌سازی‌شده با ۱۰ جرم خورشیدی که از فاصلهٔ ۶۰۰ کیلومتری دیده می‌شود و در زمینه هم کهکشان راه شیری قرار دارد

نسبیت عام (به انگلیسی: General relativity) نظریه‌ای هندسی برای گرانش است که در سال ۱۹۱۵[۱] توسط آلبرت اینشتین منتشر شد و توصیف کنونی گرانش در فیزیک نوین است. این نظریه تعمیمی بر نظریهٔ نسبیت خاص و قانون جهانی گرانش نیوتون است که توصیف یکپارچه‌ای از گرانش به‌عنوان یک ویژگی هندسی فضا–زمان ارائه می‌دهد.

این نظریه، گرانش را به‌عنوان یک عامل هندسی و نه یک نیرو بررسی می‌کند. در این نظریه فضا–زمان توسط هندسهٔ ریمانی بررسی می‌شود. خمش فضازمان مستقیماً با انرژی و تکانهٔ کل ماده و تابش موجود متناسب است. این رابطه توسط سیستمی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای به نام معادلات میدان اینشتین نمایش داده می‌شوند. پایهٔ نظری گرانش در کیهان‌شناسی، این نظریه و تعمیم‌های آن است.

نظریهٔ اینشتین جنبه‌های اخترفیزیکی مهمی دارد. مثلاً این نظریه وجود سیاهچاله‌ها را به‌عنوان وضعیت پایانی ستاره‌های بزرگ پیش‌بینی می‌کند. شواهد گسترده‌ای موجود است که تابش بسیار شدید منتشرشده از برخی انواع اجسام اخترفیزیکی ناشی از وجود سیاهچاله‌ها است. مثلاً ریزاختروش‌ها و هستهٔ کهکشانی فعال، به‌ترتیب نتیجهٔ وجود سیاهچاله‌های ستاره‌وار و سیاه‌چاله‌های کلان‌جرم هستند. خم شدن نور بر اثر گرانش می‌تواند منجر به پدیدهٔ همگرایی گرانشی شود که بر اثر آن چندین تصویر از یک جسم اخترفیزیکی دوردست در آسمان دیده می‌شود. نسبیت عام همچنین وجود امواج گرانشی را پیش‌بینی می‌کند که مشاهدهٔ آن‌ها برای نخستین بار در سال ۲۰۱۶ و پس از گذشت صد سال از پیش‌بینی اینشتین درمورد وجود این امواج، به کمک تأسیسات لایگو (LIGO) صورت پذیرفت،[۲][۳] هرچند قبلاً وجود این امواج به‌طور غیرمستقیم تأیید شده‌بود.[۴] پروژه‌هایی همچون لایگو و پروژهٔ لیسایِ ناسا با هدف مشاهدهٔ مستقیم این امواج گرانشی راه‌اندازی شده‌اند. افزون بر این، نسبیت عام پایهٔ مدل‌های رایج کنونی کیهان‌شناسی، که برمبنای جهانِ در حال انبساط هستند، را تشکیل می‌دهد.

برخی از پیش‌بینی‌های نسبیت عام به میزان قابل‌توجهی با پیش‌بینی‌های فیزیک کلاسیک تفاوت دارند؛ به‌ویژه آن‌هایی که مرتبط با گذر زمان، هندسهٔ فضا، حرکت اجسام در سقوط آزاد و انتشار نور هستند. پدیده‌هایی چون اتساع زمان گرانشی، انتقال به سرخ گرانشی نور و تأخیر زمانی گرانشی که ناشی از کندتر بودن گذر زمان در نزدیکی میدان‌های گرانشی قوی است، همگرایی گرانشی که به خمیده شدن نور در یک میدان گرانشی قوی اشاره دارد و حرکت تقدیمی مدار سیارات نمونه‌هایی از این تفاوت‌ها هستند. همچنین تعریف جرم در نسبیت عام به سادگی فیزیک کلاسیک و حتی نسبیت خاص نیست، در واقع در نسبیت عام نمی‌توان تعریفی کلی برای جرم یک سامانه ارائه داد و تعریف‌های گوناگونی همچون جرم اِی‌دی‌اِم، جرم کُمار و جرم بوندی پدید آمده‌اند.

محدودیت سرعت اجسام مادی به سرعت نور در نسبیت عام، پیامدهایی درمورد ساختار سببی فضازمان دربردارد، زیرا تأثیر رویدادها و در نتیجه علّیت نیز محدود به سرعت نور می‌باشند. این محدودیت در نسبیت عام به تعریف افق‌ها می‌انجامد که مرزبندی‌هایی در فضازمان هستند. از جملهٔ افق‌ها می‌توان به افق ذره و افق رویداد اشاره کرد که به ترتیب برخی نواحی از گذشته و آینده را غیرقابل دسترسی می‌نمایند.

یکی از ویژگی‌های ابهام‌آمیز نسبیت عام تکینگی‌ها هستند که در آن‌ها هندسهٔ فضازمان تعریف نشده‌است. برخی از پاسخ‌های معادلات میدان اینشتین، مانند پاسخ شوارتزشیلد و پاسخ کر تکینگی‌های آینده (تکینگی‌های سیاهچاله‌ها) و برخی دیگر مانند پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر تکینگی‌های گذشته (تکینگی مهبانگ) را مشخص می‌کنند. ماهیت تکینگی‌ها همچنان در هالهٔ ابهام قرار دارد، هرچند که تلاش‌هایی در زمینه توصیف ساختار آن‌ها صورت گرفته‌است.

پیش‌بینی‌های نسبیت عام در تمام مشاهدات و آزمایش‌هایی که تا به امروز انجام گرفته‌است، تأیید شده‌اند. نسبیت عام تنها نظریهٔ نسبیتی موجود برای گرانش نیست، بلکه ساده‌ترین نظریه‌ای است که با داده‌های تجربی همخوانی دارد. هرچند که پرسش‌هایی هستند که هنوز بی‌پاسخ مانده‌اند و شاید پایه‌ای‌ترین آن‌ها این باشد که چگونه می‌توان نسبیت عام را با قوانین فیزیک کوانتومی آشتی داد تا بتوان به نظریه‌ای کامل و خودسازگار برای گرانش کوانتومی دست یافت.

محتویات

تاریخچه[ویرایش]

اندکی پس از انتشار نظریه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، اینشتین در این اندیشه بود که چگونه می‌تواند گرانش را در چارچوب نسبیتی جدیدش جای دهد. در سال ۱۹۰۷ با شروع از یک آزمایش فکری شامل یک مشاهده‌گر در سقوط آزاد، جستجویی هشت ساله برای دستیابی به نظریه‌ای نسبیتی برای گرانش را آغاز کرد. پس از اشتباهات و انحرافات متعدد سرانجام کار او در قالب آنچه امروزه معادلات میدان اینشتین می‌خوانیم، حاصل داد و در نوامبر ۱۹۱۵ به آکادمی علوم پروشن ارائه شد. این معادلات بیان می‌کنند که چگونه هندسهٔ فضا و زمان از کل ماده و تابش موجود تأثیر می‌پذیرد و هسته نسبیت عام اینشتین را تشکیل می‌دهند.[۵]

معادلات میدان اینشتین غیرخطی هستند و از این رو یافتن پاسخ برای آن‌ها بسیار دشوار است. در حل مسائل مربوط به اولین پیش‌بینی‌های نظریه اش، اینشتین از روش‌های تقریبی استفاده نمود. اما دیری نپایید که در سال ۱۹۱۶ اخترفیزیکدانی به نام کارل شوارتزشیلد نخستین پاسخ غیربدیهی برای معادلات اینشتین را پیدا کرد که با نام متریک شوارتزشیلد شناخته می‌شود. این پاسخ امکان توصیف مراحل نهایی رمبش گرانشی و تشکیل اجسامی که امروزه به نام سیاهچاله می‌شناسیم، را فراهم نمود. در همان سال نخستین گام‌ها برای تعمیم پاسخ شوارتزشیلد به اجسام باردار آغاز شد. نتیجه این تلاش‌ها متریک رایسنر–نوردشتروم بود که امروزه با سیاهچاله‌های دارای بار الکتریکی مرتبط است.[۶] در سال ۱۹۱۷ اینشتین نظریه‌اش را درمورد جهان به‌عنوان یک کل به کارگرفت و شاخه کیهان‌شناسی نسبیتی را پایه‌گذاری نمود. در آن زمان اینشتین در راستای اندیشهٔ غالب عصر خود جهان را ایستا می‌پنداشت و به همین دلیل پارامتر جدیدی– ثابت کیهانی – را به معادلات اولیهٔ خود افزود تا بتواند آن مشاهده را در نظریه‌اش تکرار نماید.[۷] اما تا سال ۱۹۲۹ در نتیجهٔ کار هابل و سایرین مشخص شده بود که جهان ما در حال انبساط است. انبساط جهان به خوبی توسط بسط جواب‌های کیهانی که توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ ارائه شد و نیازی به ثابت کیهانی ندارند، قابل توضیح است. با استفاده از این جوابها لومتر اولین نسخه از نظریه مهبانگ را فرمول‌بندی کرد که در آن جهان از یک حالت بی‌نهایت داغ و چگال اولیه بوجود آمده‌است.[۸] بعدها اینشتین ثابت کیهانی را بزرگترین اشتباه زندگی خود خواند.[۹]

در خلال آن دوران، نسبیت عام کنجکاوی بسیاری از فیزیک‌دانان نظری را برانگیخته بود. این نظریه به وضوح از گرانش نیوتن برتر بود زیرا با نسبیت خاص سازگار بود و از عهده توضیح بسیاری از پدیده‌هایی برمی‌آمد که نظریه نیوتنی از توضیح آن‌ها ناتوان بود. خود اینشتین در سال ۱۹۱۵ نشان داد که چگونه نظریه‌اش حرکت تقدیمی غیرعادی حضیض خورشیدی سیاره تیر را بدون استفاده از هیچ‌گونه پارامتر اختیاری توجیه می‌کند.[۱۰] به‌طور مشابهی در سال ۱۹۱۹، طی اکتشافی که توسط ادینگتون صورت گرفت، پیش‌بینی نسبیت عام درمورد انحراف نور ستاره‌ها در طی خورشیدگرفتگی ۲۹ مه ۱۹۱۹، تأیید گردید.[۱۱] و باعث شهرت فوری اینشتین شد.[۱۲] اما تنها با گسترش‌هایی که بین سال‌های ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۵ صورت گرفت این نظریه وارد جریان اصلی فیزیک نظری و اخترفیزیک شد و از این رو، این دوره را عصر طلایی نسبیت عام می‌خوانند.[۱۳] به تدریج فیزیکدانان مفهوم سیاهچاله را درک نمودند و اختروش‌ها را به‌عنوان نمونه‌ای از تجلی اخترفیزیکی این مفهوم شناسایی کردند.[۱۴] آزمایش‌هایی دقیق‌تر از همیشه بر روی منظومه شمسی قدرت پیش‌بینی نظریه را تأیید کردند[notes ۱] و گرایش‌هایی برای استفاده از کیهان‌شناسی نسبیتی برای هدایت آزمایش‌های مشاهده‌ای به‌وجود آمد.[notes ۲]

از مکانیک کلاسیک تا نسبیت عام[ویرایش]

نسبیت عام را می‌توان با بررسی شباهت‌ها و تفاوت‌هایش با فیزیک کلاسیک درک نمود. نخستین گام این است که متوجه شویم که مکانیک کلاسیک و قانون گرانش نیوتن به‌طور ضمنی یک توصیف هندسی را می‌پذیرند. با ترکیب این توصیف با قوانین نسبیت خاص به نسبیت عام می‌رسیم.[notes ۳]

هندسه گرانش نیوتنی[ویرایش]

بنا بر نسبیت عام، اجسام در یک میدان گرانشی همانند اجسام در یک محفظه بسته شتاب‌دار رفتار می‌کنند. مثلاً اگر شتاب موشک به اندازه‌ای باشد که همان نیروی نسبی گرانش زمین را داشته باشد، افتادن یک توپ در درون یک موشک (چپ) همانند افتادن یک توپ در نقطه‌ای روی زمین (راست) خواهد بود.

بنیان فیزیک کلاسیک بر این مفهوم استوار است که حرکت یک جسم را می‌توان ترکیبی از حرکت آزاد جسم (یا حرکت لخت) و انحراف‌هایی از این حرکت لخت دانست. این انحراف‌ها ناشی از نیروهای خارجی است که بر جسم وارد می‌شوند و بر طبق قانون حرکت دوم نیوتن عمل می‌کنند. قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که نیروی خالص وارد بر یک جسم برابر با جرم (لختی) آن ضرب در شتاب جسم است.[۱۵] نوع حرکت لخت جسم با هندسه فضا و زمان مرتبط است: در چارچوب‌های مرجع استاندارد فیزیک کلاسیک حرکت لَخت اجسام در خط مستقیم و با سرعت ثابت انجام می‌شود. در ادبیات فیزیک مدرن مسیرهای حرکت لَخت اجسام ژئودزیک نامیده می‌شوند که تعمیمی از مفهوم خط راست در هندسهٔ فیزیک کلاسیک هستند، جهان‌خط‌های مستقیم در فضازمان خمیده.[۱۶]

در روندی معکوس ممکن است این انتظار وجود داشته باشد که با مشخص کردن حرکت لخت اجسام از طریق مشاهدهٔ حرکت واقعی و حذف انحراف‌های مربوط به نیروهای خارجی (مانند الکترومغناطیس و اصطکاک)، می‌توان هندسهٔ فضا و همچنین مختصات زمان را تعریف کرد، اما وقتی پای گرانش به میان می‌آید این موضوع کمی ابهام‌آمیز می‌شود. بر طبق قانون گرانش نیوتن و تأیید آزمایش‌های مستقلی مانند آزمایش لورند اوتوو و سایرین، سقوط آزاد جهان‌شمول است (این قانون همچنین با نام اصل ضعیف هم‌ارزی یا قانون جهانی برابری جرم لختی و جرم غیرفعال گرانشی شناخته می‌شود): مسیر حرکت ذره آزمون در سقوط آزاد تنها به مکان و سرعت اولیه اش بستگی دارد و به هیچ‌یک از ویژگی‌های مادی‌اش وابسته نیست.[۱۷] نسخه‌ای ساده شده از این مفهوم را می‌توان در آزمایش آسانسور انیشتین یافت که در تصویر سمت چپ دیده می‌شود: ناظری که در یک اتاق بسته کوچک قرار گرفته غیرممکن است که تنها با بررسی مسیر سقوط آزاد جسمی مانند یک توپ بتواند بفهمد که آیا محفظه، در حال سکون و در یک میدان گرانشی قرار دارد یا اینکه در فضای آزاد سوار بر موشکی شتاب‌دار است که نیرویی به اندازه گرانش ایجاد می‌کند.[۱۸]

با توجه به جهان‌شمول بودن گرانش، تمایز قابل مشاهده‌ای بین حرکت لخت و حرکت ناشی از نیروی گرانشی وجود ندارد. این موضوع ما را بر آن می‌دارد که کلاس جدیدی از حرکت لخت برای اجسام در حال سقوط آزاد تحت تأثیر نیروی گرانش تعریف کنیم. این کلاس جدید نیز، به نوبه خود، هندسه‌ای از فضا و زمان به زبان ریاضی تعریف می‌کند که عبارت است از حرکت ژئودزیک متناظر با یک اتصال خاص که به گرادیان پتانسیل گرانشی بستگی دارد. در اینجا فضا هنوز هندسه اقلیدسی معمولی دارد. اما فضا–زمان، به‌عنوان یک کل، پیچیده‌تر است. همان‌طور که می‌توان با آزمایش‌های فکری ساده درمورد مسیرهای سقوط آزاد ذرات آزمون مختلف نشان داد، نتیجه جابجایی بردارهای فضازمان که بیانگر سرعت ذره هستند به مسیر ذره بستگی دارد؛ به زبان ریاضی، می‌توان گفت که اتصال نیوتنی انتگرال‌پذیر نیست. از این می‌توان نتیجه گرفت که فضا–زمان خمیده است. نتیجه، یک فرمول‌بندی هندسی از گرانش نیوتنی تنها با استفاده از مفاهیم هموردا است؛ یعنی توصیفی که در هر دستگاه مختصاتی معتبر است.[۱۹] در این توصیف هندسی اثرات کشندی – شتاب نسبی اجسام در سقوط آزاد – با مشتق اتصال مرتبط است که نشان می‌دهد چگونه تغییر شکل هندسی، برآمده از وجود جرم است.[۲۰]

تعمیم نسبیتی[ویرایش]

بیان هندسی گرانش نیوتنی هرچند هم که جذاب باشد، اساس آن مکانیک کلاسیک، یعنی تنها حالتی حدی از مکانیک نسبیتی است.[notes ۴] به زبان تقارن: در جایی‌که بتوان گرانش را نادیده گرفت فیزیک دارای ناوردایی لورنتز است، مانند نسبیت خاص در مقایسه با مکانیک کلاسیک که دارای ناوردایی گالیله‌ای است (تقارن تعریف‌شده در نسبیت خاص گروه پوانکاره است که انتقال و چرخش را نیز شامل می‌شود). تفاوت این دو هنگامی اهمیت می‌یابد که با سرعت‌های بالا و نزدیک به سرعت نور و پدیده‌های پرانرژی سروکار داریم.[notes ۵]

ساختارهای دیگری نیز با تقارن لورنتز به میان می‌آیند. این ساختارها توسط تعدادی مخروط نور تعریف می‌گردند. مخروط‌های نور ساختاری علیتی را تعریف می‌کنند: به ازای هر رویداد A، مجموعه‌ای از رویدادها وجود دارند که می‌توانند از طریق سیگنال‌ها و برهم‌کنش‌هایی که نیاز به سرعت بیشتر از نور ندارند، روی A تأثیر گذاشته یا از آن تأثیر بگیرند (مانند B) و مجموعه رویدادهایی که این نوع برهم‌کنش با A (با سرعت پایین‌تر از سرعت نور) برایشان امکان‌پذیر نیست (مانند C). این مجموعه‌ها مستقل از ناظر هستند.[۲۱] در ارتباط با جهان‌خط‌های ذرات در حال سقوط آزاد، مخروط‌های نوری را می‌توان برای بازسازی متریک شبه‌ریمانی فضازمان استفاده نمود. به زبان ریاضی این یک ساختار همدیس است.[۲۲]

نسبیت خاص در غیاب گرانش تعریف می‌شود و به همین دلیل در کاربردهایی عملی در مواردی که بتوان گرانش را نادیده گرفت، مدل مناسبی خواهد بود. با ورود گرانش به صحنه و با فرض اصل هم‌ارزی ضعیف، می‌توان استدلالی مانند بخش پیشین ارائه داد: چارچوب مرجع لَخت جهانی وجود ندارد. به جای آن چارچوب‌های تقریباً لختی وجود دارند که در راستای ذرات در حال سقوط آزاد حرکت می‌کنند. به زبان فضازمان: خطوط زمان‌واره مستقیمی که یک چارچوب لخت بدون گرانش را تعریف می‌کنند، تغییر شکل داده و نسبت به یکدیگر خمیدگی پیدا می‌کنند و ما را به سوی این پندار رهنمون می‌سازد که افزودن گرانش نیاز به تغییر در هندسه فضازمان دارد.[۲۳]

از پیش مشخص نیست که این چارچوب‌های جدید در حال سقوط آزاد همان چارچوب‌های مرجعی باشند که نسبیت خاص در آن‌ها حکم‌فرماست. اما با استفاده از پنداشت‌های متفاوت درمورد چارچوب‌های نسبیت خاص می‌توان به پیش‌بینی‌های متفاوتی درمورد پدیده انتقال به سرخ گرانشی، یعنی چگونگی تغییر بسامد نور در میدان گرانشی رسید. اندازه‌گیری‌های واقعی نشان داده‌اند که نور در چارچوب‌های در حال سقوط آزاد نیز مانند چارچوب‌های نسبیت خاص منتشر می‌گردد.[۲۴] تعمیم این عبارت اصل هم‌ارزی خوانده می‌شود: قوانین نسبیت خاص با تقریب خوبی در چارچوب‌های مرجع در حال سقوط آزاد (غیرچرخان) برقرارند. این اصل یک اصل هدایت‌گر مهم برای گسترش نسبیت خاص با در نظرگرفتن گرانش است.[۲۵]

همین داده‌های تجربی گواهی می‌دهند که زمانی که توسط ساعت‌های قرار گرفته در یک میدان گرانشی اندازه‌گیری می‌شود – اصطلاح تخصصی آن زمان ویژه است –، از قوانین نسبیت خاص پیروی نمی‌کند یا به بیان هندسه فضازمان، با متریک مینکوفسکی قابل اندازه‌گیری نمی‌باشند. همان‌گونه که درمورد مکانیک نیوتنی اتفاق افتاد در اینجا نیز نیازمنده هندسه کلی‌تری هستیم. در مقیاس‌های کوچک، تمام چارچوب‌های مرجع در حال سقوط آزاد هم‌ارز و تقریباً مینکوفسکی وار هستند. متعاقباً ما با تعمیمی خمیده از فضای مینکوفسکی روبه‌رو هستیم. تنسور متریک که هندسه را تعریف می‌کند – به بیان دقیق‌تر چگونگی اندازه‌گیری طول‌ها و زاویه ها–، متریک مینکوفسکی نسبیت خاص نیست؛ بلکه تعمیم یافته آن است که به نام متریک شبه–ریمانی شناخته می‌شود. همچنین هر متریک ریمانی به‌طور طبیعی با یک نوع خاص اتصال به نام اتصال لوی–چیویتا مرتبط است و این اتصال در واقع اتصالی است که اصل هم‌ارزی را ارضا کرده و فضا را به‌طور محلی، مینکوفسکی وار می‌سازد (یعنی در چارچوب‌های محلی لخت مناسب، متریک، مینکوفسکی وار است و مشتقات جزئی مرتبه اول آن و نیز ضرایب اتصال صفر هستند).[۲۶]

معادلات میدان اینشتین[ویرایش]

با وجود فرمول‌بندی نسخه نسبیتی و هندسی آثار گرانش، پرسش دربارهٔ سرچشمه گرانش همچنان پابرجاست. در گرانش نیوتنی سرچشمه گرانش، جرم است. در نسبیت خاص، جرم پاره‌ای از کمیتی بزرگتر به نام تنسور انرژی–تکانه است که شامل چگالی‌های انرژی و تکانه و تنش (که عبارت است از فشار و برش) می‌شود.[۲۷] با استفاده از اصل هم‌ارزی می‌توان این تنسور را به فضازمان خمیده تعمیم داد. چنانچه با گرانش هندسی نیوتنی مقایسه کنیم، طبیعی خواهد بود که بپنداریم معادله میدان گرانش، این تنسور را به تنسور ریچی مرتبط سازد. تنسور ریچی رده ویژه‌ای ازاثرات کشندی را توصیف می‌کند: تغییر در حجم ابرهای کوچکی از ذرات آزمون که ابتدا ساکن هستند و سپس سقوط آزاد می‌کنند. در نسبیت خاص پایستگی انرژی–تکانه متناظر با این عبارت است که تنسور انرژی–تکانه بدون واگرایی است. این فرمول را نیز می‌توان با جایگزینی مشتقات پاره‌ای با خَمینه‌های همتایشان یعنی مشتقات هَموَردای هندسه دیفرانسیل، به سادگی به فضازمان خمیده تعمیم داد. با این شرط اضافی – واگرایی هموردای تنسور انرژی–تکانه صفر است و در نتیجه هرآنچه در سوی دیگر معادله است نیز صفر خواهد شد – ساده‌ترین مجموعه معادلات، معادلاتی هستند که به نام معادلات میدان انیشتین خوانده می‌شوند.

عبارت سمت چپ تنسور اینشتین است، ترکیب ویژه بدون واگرایی از تنسور ریچی و متریک. به‌طور خاص:

خمش نرده‌ای است. خود تنسور ریچی نیز با تنسور کلی‌تر خمش ریمان به شکل زیر در ارتباط است

در سمت راست Tab تنسور انرژی–تکانه است. تمام تنسورها در شکل نمادگذاری نمایه انتزاعی نوشته شده‌اند.[۲۸] برای اینکه پیش‌بینی‌های نظریه با نتایج تجربی مشاهدات مدارهای سیاره‌ها، سازگار باشند، ثابت تناسب را می‌توان به شکل κ = ۸πG/c۴ اصلاح نمود که در آن G ثابت گرانش و c سرعت نور است.[۲۹] هرگاه هیچ ماده‌ای موجود نباشد، به گونه‌ای که تنسور انرژی تکانه ناپدید گردد، معادلات خلاء انیشتین به دست می‌آیند:

نظریه‌های جایگزینی برای نسبیت عام بر پایه پندارهای یکسان شکل گرفته‌اند. این نظریه‌ها شامل قوانین و محدودیت‌های اضافی‌ای هستند که باعث به‌وجود آمدن شکل‌های دیگری از معادلات میدان می‌شوند. برای نمونه می‌توان به نظریه برانس دیکی، دورهمسانی یا نظریه اینشتین–کارتان اشاره کرد.[۳۰]

تعریف و کاربردهای پایه‌ای[ویرایش]

نتیجه‌گیری‌های بخش قبلی همه اطلاعات لازم برای تعریف و توصیف ویژگی‌های کلیدی نسبیت عام را شامل می‌شود و اکنون می‌توان به سراغ چگونگی استفاده از این نظریه برای مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی رفت.

تعریف و ویژگی‌های پایه‌ای[ویرایش]

نظریهٔ نسبیت، یک نظریه متریک برای گرانش است. در هستهٔ این نظریه معادلات اینشتین قرار می‌گیرند که رابطهٔ بین هندسهٔ یک خَمینهٔ شبه‌ریمانی چهاربعدی به‌عنوان فضازمان و انرژی–تکانه موجود در آن فضازمان را توصیف می‌کنند.[۳۱]

پدیده‌هایی که در مکانیک کلاسیک به عملکرد نیروی گرانش تعبیر می‌شوند (مانند سقوط آزاد، حرکت مداری، مسیر حرکت فضاپیما)، در نسبیت عام به حرکت‌های لخت در هندسه خمیدهٔ فضازمان نسبت داده می‌شوند. در نسبیت عام، گرانش نیرویی نیست که اجسام را از مسیر مستقیم طبیعی‌شان منحرف می‌کند، بلکه تغییری در ویژگی‌های فضا و زمان است که باعث تغییر مستقیم‌ترین مسیرهایی که اجسام به‌طور طبیعی انتخاب می‌کنند می‌شود.[notes ۶] خمش به نوبه خود توسط انرژی–تکانه ماده به‌وجود می‌آید. جان ویلر این موضوع را این گونه بیان می‌کند که فضازمان به ماده می‌گوید که چه‌طور حرکت کند و ماده نیز به فضازمان می‌گوید که چگونه خمیده شود.[۳۲]

با وجود اینکه نسبیت عام، پتانسیل گرانشی نرده‌ای فیزیک کلاسیک را با یک تنسور مرتبه دو جایگزین می‌کند، در برخی شرایط محدودتر، تنسور به میدان نرده‌ای کاهش می‌یابد. برای میدان‌های گرانشی ضعیف و سرعت‌های پایین (نسبت به سرعت نور)، پیش‌بینی‌های این نظریه به پیش‌بینی‌های قانون جهانی گرانش نیوتن همگرا می‌شوند.[۳۳]

از آنجایی‌که نسبیت عام برپایه تنسورها بنا شده‌است، هموردایی عام را به نمایش می‌گذارد: یعنی قوانین آن – و دیگر قوانینی که در چارچوب نسبیت عام فرمول‌بندی می‌شوند – در همه دستگاه‌های مختصات یک شکل خواهند داشت.[۳۴] علاوه براین، نظریه شامل هیچ ساختار پس زمینه‌ای هندسی ناوردایی نیست، یعنی مستقل از پس زمینه است. از این رو از اصل قوی تری به نام اصل نسبیت عام پیروی می‌نماید؛ این اصل بیان می‌کند که قوانین فیزیکی برای همه ناظرها یکسان هستند.[notes ۷] درمورد ساختارهای محلی، همان‌گونه که در اصل هم‌ارزی اشاره شد، فضازمان مینکوفسکی وار است و قوانین فیزیکی دارای ناوردایی محلی لورنتس هستند.[۳۵]

مدل‌سازی[ویرایش]

هدف اصلی در مدل‌سازی با استفاده از نسبیت عام، یافتن پاسخی برای معادلات میدان اینشتین می‌باشد. با داشتن معادلات اینشتین و همچنین معادلات مناسب دیگر برای توصیف ویژگی‌های ماده، پاسخ معادلات یک خمینه شبه ریمانی (که معمولاً با استفاده از یک متریک در یک مختصات خاص تعریف می‌شود) به همراه میدان‌های ماده‌ی خاصی روی آن خمینه خواهد بود. ماده و هندسه باید در معادلات انیشتین صدق کنند، پس به‌طور خاص تنسور انرژی–تکانه باید بدون واگرایی باشد. البته ماده باید در معادلات دیگری که از طریق ویژگی‌هایش تحمیل می‌شوند نیز صدق کند. در مجموع چنین پاسخی برای این معادلات در حقیقت مدلی از جهان را نمایش خواهد داد که نسبیت عام و قوانین محتمل دیگری که بر ماده موجود حاکمند را ارضا می‌نماید.[۳۶]

معادلات اینشتین معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات پاره‌ای هستند و به همین سبب یافتن پاسخ دقیق برای این معادلات دشوار است.[notes ۸] با این حال چند پاسخ دقیق برای این معادلات پیدا شده‌است؛ اگر چه که تنها برخی از این پاسخ‌ها کاربرد مستقیم فیزیکی دارند.[notes ۹] بهترین پاسخ‌های دقیق کشف شده که از دیدگاه فیزیکی نیز جالب‌ترند، عبارتند از: پاسخ شوارتزشیلد، پاسخ رایسنر–نوردشتروم و متریک کِر که هرکدام با یک نوع خاص سیاه‌چاله در جهانی که تنها شامل این سیاه‌چاله است، در تناظر هستند،[۳۷] و متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و جهان دو سیتر که هر دو جهان در حال انبساط را توصیف می‌کنند.[۳۸] پاسخ‌هایی که اهمیت نظری دارند عبارتند از متریک گودل (که احتمال سفر در زمان در فضازمان خمیده را مطرح می‌کند)، پاسخ تاب–نات (مدلی از جهان که همگن است اما همسانگرد نیست) و فضای پاد–دوسیتر (که به تازگی در زمینه حدس مالداسنا مورد توجه قرار گرفته‌است).[notes ۱۰]

به دلیل دشواری یافتن پاسخ‌های دقیق، معادلات میدان اینشتین را اغلب با استفاده از انتگرال‌گیری عددی به کمک رایانه یا با استفاده از روش‌های اختلالی با ایجاد انحرافات کوچک از جواب اصلی حل می‌کنند. در شاخه «نسبیت عددی»، رایانه‌های توانمندی به خدمت گرفته می‌شوند تا معادلات اینشتین را برای شرایط خاصی مثل برخورد سیاه‌چاله‌ها حل کنند.[۳۹] در اصل، چنین روش‌هایی را با در دست داشتن توان پردازشی کافی می‌توان برای هر سامانه‌ای به‌کار برد و به دنبال پاسخ برای پرسش‌هایی بنیادی همچون تکینگی‌های برهنه بود. جواب‌های تقریبی را همچنین می‌توان از طریق نظریه‌های اختلال یافت، مانند گرانش خطی‌شده[۴۰] و تعمیم آن، بسط پسانیوتنی که هردو توسط اینشتین به‌وجود آمده‌اند. بسط پسانیوتنی روش حلی سیستماتیک برای فضازمانی ارائه می‌کند که شامل توزیعی از ماده در حال حرکت با سرعتی کم نسبت به سرعت نور می‌باشد. این بسط شامل یک سری از جملات است که جمله اول نماینده گرانش نیوتنی است و جمله‌های بعدی نماینده اصلاحاتی هستند که به واسطه نسبیت عام بر گرانش نیوتنی وارد می‌شوند که مقدارشان در جملات متوالی کاهش می‌یابد.[۴۱] نسخه گسترش‌یافته این بسط، صورت‌گرایی پسا-نیوتنی پارامتری است که امکان مقایسه کمّی بین پیش‌بینی‌های نسبیت عام و نظریه‌های جایگزین را به‌وجود می‌آورد.[۴۲]

پیامدهای نظریه اینشتین[ویرایش]

نسبیت عام پیامدهای فیزیکی چندی را به دنبال دارد. برخی از آن‌ها مستقیماً از اصول نظریه ناشی می‌شوند در حالیکه سایر آن‌ها تنها در طول نود سال پژوهشی که به دنبال انتشار نخستین نظریه توسط اینشتین آغاز شد، مشخص گشته‌اند.

اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد[ویرایش]

نمایش شماتیک انتقال به سرخ یک موج نور که از سطح یک جسم بسیار پرجرم می‌گریزد.

بافرض درستی اصل هم‌ارزی،[۴۳] گرانش بر گذر زمان اثر می‌گذارد. نوری که به درون یک چاه گرانش فرستاده می‌شود، منتقل به آبی می‌گردد. در حالی‌که نوری که در جهت مخالف فرستاده می‌شود؛ یعنی از چاه گرانش بالا می‌آید منتقل به سرخ می‌گردد. این پدیده‌ها را انتقال بسامد گرانشی می‌نامند. به‌طور کلی، فرایندهایی که در نزدیکی یک جسم پرجرم صورت می‌گیرند کندتر از فرایندهایی که در فواصل دورتر قرار دارند پیش می‌روند. این پدیده را اتساع زمان گرانشی می‌گویند.[۴۴]

انتقال به سرخ گرانشی در آزمایشگاه[notes ۱۱] و با بهره‌گیری از مشاهدات اخترفیزیکی[۴۵] اندازه‌گیری شده‌است. اتساع زمان گرانشی در میدان گرانشی زمین دفعات زیادی با بهره‌گیری از ساعت‌های اتمی بررسی شده‌است.[notes ۱۲] و به‌عنوان کاربردی جانبی برای پروژهٔ سامانه موقعیت‌یاب جهانی (GPS) این نتایج پیوسته در حال ارزیابی هستند.[۴۶] آزمونی در میدان گرانشی قوی‌تر را می‌توان با استفاده از مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی انجام داد.[۴۷] تمام نتایج با نسبیت عام همخوانی دارند[notes ۱۳] اما در سطح دقت کنونی این آزمایش‌ها نمی‌توانند بین نسبیت عام و سایر نظریه‌هایی که در آن‌ها اصل هم‌ارزی معتبر است تمایزی قائل شوند.[۴۸]

شکست نور و تأخیر زمانی گرانشی[ویرایش]

شکست نور (فرستاده شده از مکان آبی رنگ) نزدیک یک جسم فشرده (به رنگ خاکستری)

نسبیت عام پیش‌بینی می‌کند که مسیر نور در میدان گرانشی خم می‌شود. نوری که از نزدیکی یک جسم پرجرم می‌گذرد به سوی آن جسم خمیده می‌شود. این اثر با مشاهده نور ستارگان دور و اختروش‌ها که با گذر از کنار خورشید خمیده می‌شود، تأیید شده‌است.[notes ۱۴]

این پیش‌بینی و پیش‌بینی‌های مرتبط از این واقعیت پیروی می‌کنند که نور مسیری را که به آن نورواره (نور–مانند) یا ژئودزیک پوچ (که تعمیمی بر خطوط مستقیمی در فیزیک کلاسیک هستند که نور در راستای آن‌ها منتشر می‌شود) می‌گویند، دنبال می‌کند. چنان ژئودزیک‌هایی در واقع تعمیم ناوردایی سرعت نور در نسبیت خاص هستند.[notes ۱۵] چنانچه مدل‌های فضازمان را بررسی کنیم (چه مدل خارجی جواب شوارتزشیلد، چه مدلهایی که بیش از یک جرم دارند مثل بسط پسانیوتنی)[۴۹] آثار متعددی از گرانش بر نور جلوه خواهند نمود. اگرچه می‌توان خمش نور را از تعمیم جهانشمول بودن سقوط آزاد به نور نتیجه گرفت،[۵۰] زاویه شکستی که از نتیجه چنین محاسباتی به دست می‌آید تنها نیمی از مقداری است که از نسبیت عام به دست می‌آید.[۵۱]

تأخیر زمانی گرانشی (یا تأخیر شاپیرو) ارتباط تنگاتنگی با شکست گرانشی نور دارد. تأخیر زمانی گرانشی به پدیده‌ای اشاره دارد که طی آن گذر نور در یک میدان گرانشی مدت زمان بیشتری از گذر نور در غیاب آن میدان به طول می‌انجامد. آزمون‌های موفق بی‌شماری برای این پیش‌بینی انجام شده‌اند.[notes ۱۶] در صورت‌گرایی پارامتری پسانیوتنی (PPN)، اندازه‌گیری هر دو پدیده شکست نور و تأخیر زمانی گرانشی پارامتری به نام γ را مشخص می‌سازد، که تأثیر گرانش بر هندسه فضازمان در آن به رمز درآمده‌است.[۵۲]

امواج گرانشی[ویرایش]

حلقه ذرات آزمون تحت تأثیر گرانش

یکی از تشابه‌های متعدد میدان گرانشی ضعیف و میدان الکترومغناطیس این است که همانند امواج الکترومغناطیسی، امواج گرانشی نیز وجود دارند: امواجی در متریک فضازمان که با سرعت نور منتشر می‌شوند.[notes ۱۷] ساده‌ترین نوع چنین موجی را می‌توان با عمل آن بر روی حلقه‌ای از ذرات که آزادانه شناورند نمایش داد. موج سینوسی که از درون چنین حلقه‌ای به سمت خواننده منتشر می‌شود به صورت ریتمیک حلقه را دچار اعوجاج می‌نماید (شکل سمت چپ را ببینید).[notes ۱۸] از آنجا که معادلات اینشتین غیرخطی هستند، امواج گرانشی که به اندازه کافی قوی باشند، از اصل برهم‌نهی پیروی نمی‌کند و این باعث دشواری توصیف آن‌ها می‌شود؛ درحالیکه برای میدان‌های ضعیف می‌توان از یک تقریب خطی استفاده نمود. این‌گونه امواج گرانشی خطی شده از دقت کافی برای توصیف امواج گرانشی بسیار ضعیفی را که انتظار می‌رود از رویدادهای کیهانی بسیار دور به ما برسد، برخوردار هستند. در روش‌های تحلیل داده‌های مربوط به این امواج، استفاده‌های فراوانی از این واقعیت می‌شود که می‌توان امواج گرانشی خطی شده را با استفاده از سری فوریه بسط داد.[۵۳]

برخی از پاسخ‌های دقیق معادلات اینشتین امواج گرانشی را بدون هیچ تقریبی توصیف می‌کنند، مثلاً قطار موجی که در فضای خالی سفر می‌کند[۵۴] یا آنچه به نام جهانهای گودی شناخته می‌شود که نسخه‌های مختلفی از یک کیهان در حال انبساط پر شده با امواج گرانشی است.[۵۵] اما برای امواج گرانشی که در موارد مربوط به اخترفیزیک، مانند ادغام دو سیاه‌چاله تولید می‌شوند، تنها راه ساخت مدل‌های مناسب در حال حاضر روشهای عددی هستند.[۵۶]

تأثیرات مداری و نسبیت جهت[ویرایش]

نسبیت عام و مکانیک کلاسیک در شماری از پیش‌بینی‌هایشان درمورد اجسام در حرکت مداری، با یکدیگر تفاوت دارند. نسبیت عام یک چرخش کلی (حرکت تقدیمی) مدار سیارات، کاهش یافتن مدار در نتیجهٔ منتشر کردن امواج گرانشی و نیز آثار مربوط به نسبیت جهت را درمورد این مدارها پیش‌بینی می‌کند.

حرکت تقدیمی نقاط حضیض[ویرایش]

مدار نیوتنی (قرمز) در مقابل مدار اینشتینی (آبی) یک سیاره تنها که به دور ستاره‌ای می‌گردد

در نسبیت عام، نقطه حضیض هر مدار (یعنی نقطه‌ای که در آن، جسم در حرکت مداری نزدیکترین فاصله را با گرانیگاه سامانه دارد) حرکتی تقدیمی خواهد داشت – همان‌طور که در شکل مشخص است، شکل مدار بیضی نیست بلکه شبیه به بیضی است که روی کانونش می‌چرخد و یک منحنی رز پدیدمی‌آورد –. اینشتین برای نخستین بار این نتیجه را با استفاده از یک متریک تقریبی به‌عنوان نمایندهٔ حد نیوتنی و یک ذره آزمون به‌عنوان جسم در حرکت مداری استنتاج نمود. برای او دانستن این واقعیت که نظریه‌اش توضیح مستقیمی دربارهٔ حرکت تقدیمی حضیض خورشیدی سیاره تیر – که در سال ۱۸۵۹ توسط اوربن لاوریه کشف شده بود – ارائه می‌کند، گواه مهمی بود بر اینکه او شکل درستی از معادلات میدان گرانشی را یافته‌است.[۵۷]

این اثر را می‌توان با استفاده از متریک دقیق شوارتزشیلد (که فضازمان اطراف یک جسم کروی را توصیف می‌کند).[۵۸] یا صورت‌گرایی پسا–نیوتنی نیز استنتاج نمود.[۵۹] این پدیده ناشی از تأثیر گرانش بر هندسه فضا و نقش خود–انرژی در گرانش یک جسم (که نمود آن را در غیرخطی بودن معادلات انیشتین می‌توان دید) می‌باشد.[notes ۱۹] حرکت تقدیمی نسبیتی برای تمام سیاراتی که می‌توان در آن‌ها به دقت حرکت تقدیمی را اندازه گرفت(تیر، ناهید و زمین)، مشاهده شده‌اند.[notes ۲۰] حرکت تقدیمی در تپ‌اخترهای دوتایی نیز اندازه‌گیری شده‌است که مقدار آن به اندازه پنج مرتبه بزرگی بیشتر است.[۶۰]

افت مداری[ویرایش]

افت مداری برای پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶: تغییر زمان برحسب ثانیه که در طول سه دهه ردگیری شده‌است.[notes ۲۱]

بنابر نظریه نسبیت عام یک منظومه دوتایی امواج گرانشی منتشر می‌کند و از این رو انرژی از دست خواهد داد. در نتیجه این کاهش انرژی فاصله بین دو جسم در حال چرخش کاهش می‌یابد؛ و بنابراین دوره تناوب چرخش آن‌ها نیز کاهش می‌یابد. در درون منظومه شمسی یا برای جفت ستاره‌های معمولی این اثر آنقدر کوچک است که قابل مشاهده نیست. اما برای یک تپ‌اختر دوتایی که در فاصله نزدیکی قرار دارد، وضعیت این‌گونه نیست. یک تپ‌اختر دوتایی از دو ستاره نوترونی در حرکت مداری هستند تشکیل شده‌است که یکی از آن‌ها تپ‌اختر است. ناظرین روی زمین، سری منظمی از پالس‌های رادیویی از یک تپ‌اختر دریافت می‌کنند که می‌توان از آن‌ها به‌عنوان یک ساعت بسیار دقیق استفاده نمود و بدین وسیله دورهٔ تناوب مداری را اندازه گرفت. از آنجا که ستاره‌های نوترونی بسیار فشرده هستند انرژی قابل توجهی از آن‌ها به‌صورت تابش گرانشی منتشر می‌شود.[۶۱]

اولین مشاهده کاهش در دوره تناوب مداری بر اثر انتشار امواج گرانشی توسط هالس و تیلور، با استفاده از تپ‌اختر دوتایی پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶ که در سال ۱۹۷۴ کشف کرده بودند، انجام شد. این نخستین آشکارسازی امواج گرانشی بود که البته غیرمستقیم بود. آن‌ها به خاطر این مشاهده در سال ۱۹۹۳ موفق به کسب جایزه نوبل فیزیک شدند.[۶۲] ازآن زمان به بعد تپ‌اخترهای دوتایی متعددی مانند پی‌اس‌آر جی۰۷۳۷–۳۰۳۹ کشف شده‌اند که در ان هر دو ستاره تپ‌اختر هستند.[۶۳]

حرکت تقدیمی ژئودتیک و کشش چارچوب[ویرایش]

شماری از آثار نسبیتی مستقیماً به نسبیت جهت مربوط می‌شوند.[۶۴] یکی از آن‌ها حرکت تقدیمی ژئودتیک است: محور جهت یک ژیروسکوپ در حال سقوط آزاد در فضازمان خمیده، وقتی که مثلاً با جهت نور دریافت شده از ستاره‌های دوردست مقایسه می‌شود تغییر می‌کند–حتی با اینکه در اینجا ژیروسکوپ در واقع به‌عنوان نمایندهٔ روشی برای ثابت نگه‌داشتن جهت (انتقال موازی) درنظر گرفته شده‌است.[۶۵] برای سیستم ماهزمین، این اثر با کمک محدوده بندی لیزری قمری اندازه‌گیری شده‌است.[۶۶] به تازگی برای جرم‌های آزمون سوار بر ماهواره حسگر گرانش بی با دقتی بهتر از۰٫۳٪ اندازه‌گیری شده‌است.[۶۷][notes ۲۲]

در نزدیکی یک جسم چرخنده آثاری که به نام گرانش مغناطیسی یا کشش چارچوب نامیده می‌شوند، وجود دارند. یک ناظر دور خواهد دید که اجسام نزدیک به جرم چرخنده کشیده می‌شوند. این اثر درمورد سیاهچاله‌های چرخان پررنگ‌تر است، زیرا در آن‌ها برای هر جسمی که وارد ناحیه‌ای به نام ارگوسفر می‌شود، چرخش اجتناب‌ناپذیر است.[۶۸] چنین آثاری را می‌توان با تأثیرشان بر جهت‌گیری ژیروسکوپ در حال سقوط، آزمود.[۶۹] آزمونهای تاحدودی بحث‌انگیز نیز توسط ماهواره‌های ژئودینامیک لیزری نیز پیش‌بینی‌های نسبیت را تأیید می‌کنند.[۷۰] همچنین کاوش‌های نقشه‌بردار سراسر مریخ در اطراف مریخ نیز مورد استفاده قرارگرفته‌اند.[۷۱][۷۲]

کاربردهای اخترفیزیکی[ویرایش]

همگرایی گرانشی[ویرایش]

صلیب اینشتین: چهار تصویر از یک جسم نجومی که بر اثر همگرایی گرانشی بوجود آمده‌اند.

شکست نور توسط گرانش مسبب رده جدیدی از پدیده‌های اخترفیزیکی است. اگر یک جسم پرجرم بین اخترشناس و یک شی هدف در دوردست با جرم و فاصله نسبی مناسب قرار گیرد، اخترشناس چندین تصویر معوج از آن را می‌بیند. چنین آثاری را همگرایی گرانشی می‌خوانند.[notes ۲۳] بسته به پیکربندی، مقیاس و توزیع جرم، ممکن است دو تصویر یا بیشتر، یک حلقه روشن به نام حلقه اینشتین یا چندین حلقه جزئی به نام کمان دیده شوند.[notes ۲۴] اولین نمونه همگرایی گرانشی اختروش دوقلو بود که در سال ۱۹۷۹ کشف شد.[۷۳] از آن پس بیش از صد مورد همگرایی گرانشی مشاهده شده‌است.[notes ۲۵] حتی اگر تصاویر ایجاد شده آنقدر به هم نزدیک باشند که قابل تشخیص نباشند نیز می‌توان این تأثیر را اندازه گرفت، مثلاً روشن شدن کلی جسم دور؛ چندین نمونه از این ریزهمگرایی‌های گرانشی نیز مشاهده شده‌اند.[۷۴]

همگرایی گرانشی به صورت ابزاری برای ستاره‌شناسی رصدی درآمده‌است. از همگرایی گرانشی در آشکارسازی حضور و توزیع ماده تاریک، به‌عنوان «تلسکوپ طبیعی» برای مشاهدهٔ کهکشانهای دور و به‌دست‌آوردن تخمین مستقلی از ثابت هابل استفاده می‌کنند. ارزیابی آماری داده‌های همگرایی، بینش‌های ارزشمندی درمورد تکامل ساختاری کهکشانها عرضه می‌دارد.[۷۵]

اخترشناسی امواج گرانشی[ویرایش]

تصویر هنری از آشکارساز موج گرانشی فضایی لیسا

مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی شواهد غیرمستقیم محکمی برای وجود امواج گرانشی به دست می‌دهند. مشاهدهٔ مستقیم امواج گرانشی یکی از اهداف اصلی پژوهش‌های نسبیتی کنونی است.[۷۶] تعداد زیادی از آشکارسازهای موج گرانشی واقع بر روی زمین، هم‌اکنون در حال کار هستند که مهم‌ترین آن‌ها آشکارسازهای تداخل سنجی ژئو۶۰۰، لیگو (۳ آشکارساز)، تاما ۳۰۰ و ویرگو هستند.[۷۷] آرایه‌های زمان‌سنجی تپ‌اختر مختلفی با بهره‌گیری از تپ‌اخترهای میلی‌ثانیه‌ای برای آشکارسازی امواج گرانشی در طیف −۹۱۰ تا ۱۰−۶ هرتز (که از سیاهچاله‌های پرجرم دوتایی سرچشمه می‌گیرند) ساخته شده‌اند.[۷۸] آشکارساز فضایی اروپایی، الیسا / ان جی اُ هم‌اکنون در حال ساخت است[۷۹] و یک مأموریت آزمایشی (رهیاب لیسا) برای این پروژه نیز قرار است در سال ۲۰۱۵ به فضا پرتاب شود.[۸۰]

مشاهدهٔ امواج گرانشی در سال ۲۰۱۶[ویرایش]

در ۱۱ فوریه ۲۰۱۶ پژوهشگران در LIGO موفق به مشاهده مستقیم امواج گرانشی برای نخستین بار شدند.[۳] موج مشاهده شده ناشی از ترکیب دو سیاه‌چاله با جرم‌های تقریبی ۳۶ و ۲۹ برابر جرم خورشید، و در فاصلهٔ تقریبی ۴۱۰ مگاپارسک (حدود ۱/۳ میلیارد سال نوری) از زمین بود.[۲] موج گرانشی ناشی از تبدیل جرمی معادل با سه برابر جرم خورشید به انرژی در هنگام ترکیب دو سیاه‌چاله با یکدیگر بود. این اولین مشاهده از ترکیب دو سیاه‌چاله با یکدیگر نیز به حساب می‌آید.

مشاهدات امواج گرانشی نویدبخش تکمیل مشاهدات مربوط به طیف الکترومغناطیسی هستند.[۸۱] انتظار می‌رود این مشاهدات بتوانند درمورد سیاهچاله‌ها و سایر اجسام چگال مانند ستاره‌های نوترونی و کوتوله‌های سفید، انواع خاصی از انفجارهای اَبَرنواختری و همچنین فرایندهایی در جهان بسیار جوان اولیه مانند امضاهای انواع خاصی از رشته‌های کیهانی فرضی، اطلاعاتی به ما بدهند.[۸۲]

سیاهچاله‌ها و سایر اجسام پرجرم[ویرایش]

هرگاه نسبت جرم یک جسم به شعاعش به اندازه کافی بزرگ شود، بنا بر پیش‌بینی نسبیت عام، یک سیاهچاله تشکیل می‌شود. منطقه‌ای از فضا که هیچ چیز، حتی نور نمی‌تواند ازآن بگریزد. در مدل‌های پذیرفته‌شدهٔ کنونی تکامل ستارگان، گمان می‌رود که حالت پایانی تکامل ستارگان بزرگ، ستاره‌های نوترونی با جرمی در حدود ۱٫۴ جرم خورشیدی یا سیاهچاله‌های ستاره‌ای با جرمی بین چند تا چند دوجین جرم خورشیدی هستند.[۸۳] معمولاً هر کهکشان در مرکز خود یک سیاهچاله پرجرم با جرمی از چند میلیون تا چند میلیارد جرم خورشیدی دارد[۸۴] و گمان می‌رود که حضور آن‌ها نقش مهمی در شکل‌گیری کهکشانها و ساختارهای کیهانی بزرگ‌تر داشته‌است.[۸۵]

شبیه‌سازی برپایه معادلات نسبیت عام: یک ستاره در حالی که امواج گرانشی منتشر می‌کند فرو می‌ریزد (رمبش گرانشی) و به سیاهچاله تبدیل می‌شود

از دید اخترشناسی مهم‌ترین ویژگی اجسام فشرده این است که مکانیزم بسیار کارایی برای تبدیل انرژی گرانشی به تابش الکترومغناطیسی ارائه می‌دهند.[۸۶] گمان می‌رود که برافزایش ماده، یعنی افتادن غبار یا مواد گازی به درون سیاهچاله‌های ستاره‌ای یا سیاهچاله‌های پرجرم؛ مسبب پیدایش اجسام فوق‌العاده درخشنده نجومی مانند هسته‌های کهکشانی فعال در مقیاس کهکشانی و اجسام در مقیاس ستاره‌ای مانند ریزاختروش‌ها، هستند.[۸۷] به‌طور خاص، برافزایش ماده می‌تواند منجر به پیدایش پدیده فواره‌های نسبیتی شود؛ پرتوهای بسیار پرانرژی از ذرات با سرعت‌هایی تقریباً برابر با سرعت نور به فضا پرتاب می‌شوند.[۸۸] نسبیت عام نقشی محوری در مدلسازی این پدیده‌ها دارد[۸۹] و مشاهدات تجربی نیز مدارک مستحکمی برای وجود سیاهچاله‌ها با خصوصیات پیش‌بینی شده در نسبیت عام، ارائه می‌کنند.[۹۰]

سیاهچاله‌ها یکی از اهدافی هستند که در کنکاش برای آشکارسازی امواج گرانشی مورد جستجو قرار می‌گیرند. ادغام سیاهچاله‌های دوتایی می‌بایست منجر به تولید امواج گرانشی بسیار قوی شود که توسط آشکارسازها در زمین قابل دریافت باشند و از فازی که دقیقاً پیش از ادغام رخ می‌دهد نیز می‌توان به‌عنوان یک شمع استاندارد استفاده نمود تا فاصله با محل رویداد ادغام به‌دست آید و بدین ترتیب می‌توان انبساط کیهانی را در فواصل بزرگ سنجید.[۹۱] امواج گرانشی تولید شده در هنگام فرورفتن یک سیاهچاله ستاره‌ای در یک سیاهچالهٔ پرجرم، می‌توانند اطلاعات مستقیمی دربارهٔ هندسهٔ سیاهچاله‌های پرجرم ارائه دهند.[۹۲]

کیهان‌شناسی[ویرایش]

این نعل اسب آبی رنگ، یک کهکشان دور است که توسط کشش گرانشی بسیار قوی کهکشان قرمز درخشان زمینه بزرگ‌نمایی شده و به صورت یک حلقه تقریباً کامل درآمده‌است.

مدل‌های کنونی کیهان‌شناسی برپایهٔ آن دسته از معادلات میدان اینشتین که شامل ثابت کیهانی Λ هستند، بنا می‌شوند؛ زیرا ثابت کیهانی اثر مهمی در دینامیک بزرگ‌مقیاس کیهان دارد.

که در آن gab متریک فضازمان است.[۹۳] پاسخ‌های همگن و همسانگرد این معادلات بهبودیافته (متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر) به فیزیکدان‌ها اجازه می‌دهد که جهانی را مدل کنند که در طول ۱۴ میلیارد سال گذشته از یک حالت بسیار داغ و چگال اولیه طی مرحله مهبانگ پدید آمده و تکامل یافته‌است.[۹۴] هرگاه اندکی از پارامترها را (مثلاً میانگین چگالی ماده در جهان) با استفاده از داده‌های مشاهدات اخترشناسی[notes ۲۶] ثابت نگه داریم، می‌توان از دیگر داده‌های مشاهداتی برای آزمودن مدل‌ها بهره بجوییم.[notes ۲۷] پیش‌بینی‌هایی که همه درست از آب درآمده‌اند عبارتند از: فراوانی اولیه عناصر شیمیایی که در جریان هسته زایی نخستین به‌وجود آمده‌اند،[۹۵] ساختار بزرگ‌مقیاس جهان[۹۶] و وجود ویژگی‌های یک «اکوی گرمایی» از کیهان اولیه به نام تابش زمینه کیهانی.[۹۷]

مشاهدات نجومی مربوط به نرخ انبساط کیهانی اجازه می‌دهند که کل مقدار ماده موجود در جهان را به دست آوریم، البته ماهیت این ماده تا حدودی اسرارآمیز است. به نظر می‌رسد که در حدود ۹۰٪ از کل ماده، از آنچه ماده تاریک خوانده می‌شود تشکیل شده‌است که جرم (یا هم ارز آن، تأثیر گرانشی) دارد اما برهمکنش الکترومغناطیسی ندارد و از این روی نمی‌توان آن را مستقیماً مشاهده نمود.[notes ۲۸] در چارچوب فیزیک ذرات یا هرشاخه دیگری، هیچ توصیفی از این نوع جدید ماده که مورد پذیرش عموم باشد، وجود ندارد.[۹۸][notes ۲۹] علاوه بر این، شواهد تجربی از انتقال به سرخ‌های ابرنواخترهای دوردست و اندازه‌گیری‌های تابش زمینه کیهانی نشان می‌دهند که تکامل جهان ما به میزان قابل توجهی متأثر از یک ثابت کیهانی است که باعث شتاب‌دار بودن انبساط کیهان می‌شود. ویا به‌طور معادل می‌توان گفت که تکامل جهان متأثر از شکلی از انرژی با معادله حالت غیرمعمول به نام انرژی تاریک است که ماهیت آن نامعلوم است.[۹۹]

در سال ۱۹۸۰ فرضیه‌ای به نام تورم کیهانی مطرح گردید که یک دوره انبساط بسیار پرشتاب در زمان کیهانی حدود ثانیه را برای جهان در نظر می‌گرفت.[۱۰۰] این فرضیه به این دلیل ارائه شد که توجیه‌کننده بسیاری از مشاهدات گیج‌کننده‌ای باشد که توسط مدل‌های کیهان‌شناسی کلاسیک قابل توضیح نبودند؛ مانند همگنی کامل تابش زمینه کیهانی.[notes ۳۰] اندازه‌گیری‌های جدید تابش زمینه کیهانی اولین مدرک برای این سناریو است.[۱۰۱] هرچند که تعداد بسیار متنوعی از سناریوهای تورمی ممکن موجود است که نمی‌توان بر مبنای مشاهدات کنونی آن‌ها را محدود نمود.[۱۰۲] فیزیک جهان اولیه پیش از فاز تورمی و نزدیک به زمانی که بنا بر پیش‌بینی‌های مدل‌های کلاسیک، در آن با تکینگی گرانشی مهبانگ روبه رو می‌شویم، خود پرسش بزرگتری است. یافتن یک جواب قطعی در گرو وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی است که هنوز ایجاد نشده‌است.[۱۰۳]

مفاهیم پیشرفته[ویرایش]

ساختار سببی و هندسه سراسری[ویرایش]

دیاگرام پنروز–کارتر جهان مینکوفسکی بی‌نهایت.

در نسبیت عام هیچ جسم مادی نمی‌تواند به سرعت نور برسد یا از آن پیشی بگیرد. از طرفی هیچ تأثیری از رویداد A نمی‌تواند به هیچ مکان X دیگری برسد، مگر آنکه قبلاً نوری از A به X رفته باشد. در نتیجه این امر، بررسی جهان‌خط‌های نور (ژئودزیک‌های پوچ) اطلاعات کلیدی را درمورد ساختار سببی فضازمان در اختیارمان قرار می‌دهد. این ساختار را با نمودارهای پنروز–کارتر نمایش می‌دهند که در آن نواحی بینهایت بزرگ و بازه‌های زمانی بینهایت فشرده می‌شوند تا در یک نقشه متناهی جای گیرند. اما نور همانند نمودارهای استاندارد فضازمان، در راستای قطرها حرکت می‌کند.[۱۰۴]

با آگاهی از اهمیت ساختار سببی، راجر پنروز و دیگران آنچه را که امروز هندسه سراسری خوانده می‌شود بنا نهادند. در هندسه سراسری موضوع مطالعه یک پاسخ یا خانواده‌ای از پاسخ‌ها برای معادلات اینشتین نیست بلکه یافتن روابطی است که برای تمام ژئودزیک‌ها صادق اند، مانند معادله ریچادوری؛ و فرضیات غیر مشخص اضافی دربارهٔ ماهیت ماده (معمولاً در شکل آنچه شرایط انرژی خوانده می‌شود) برای تولید نتایج مورد استفاده قرار می‌گیرند.[۱۰۵]

افق‌ها[ویرایش]

با استفاده از هندسه سراسری می‌توان نشان داد که برخی از فضازمانها شامل افق هستند که یک ناحیه را از بقیه فضازمان جدا می‌کند. بهترین مثال شناخته شده سیاهچاله‌ها هستند: اگر جرم در ناحیه‌ای از فضا به اندازه کافی فشرده شود (آن گونه که در حدس حلقه مشخص شده‌است، مقیاس طول مرتبط، شعاع شوارتزشیلد است[۱۰۶]) هیچ نوری از داخل نمی‌تواند به بیرون بگریزد و چون هیچ جسمی نمی‌تواند از یک پالس نوری سبقت بگیرد تمام ماده داخل افق نیز در آن محبوس‌اند. گذر از بیرون به درون هنوز امکانپذیر است که نشان می‌دهد افق سیاهچاله یک مانع فیزیکی نیست.[۱۰۷]

مطالعات اولیه در زمینه سیاهچاله‌ها بر پاسخهای کامل معادلات اینشتین تکیه داشتند. مثلاً می‌توان به پاسخ متقارن کروی شوارتزشیلد (برای توصیف یک سیاهچاله ایستا) و پاسخ متقارن محوری کر (برای توصیف سیاهچاله‌های ثابت چرخان و معرفی ویژگی‌های جالبی مانند کارکره) اشاره نمود. مطالعات بعدی با بهره‌گیری از هندسه سراسری، ویژگی‌های عمومی تری از سیاهچاله‌ها را آشکار ساخت. در دراز مدت آن‌ها اجسام نسبتاً ساده‌ای هستند که می‌توان آن‌ها را با یازده پارامتر که مشخص‌کننده انرژی، تکانه خطی، تکانه زاویه‌ای، مکان در زمان مشخص شده و بار الکتریکی هستند تعریف می‌گردند. نظریه بدون مو بیان می‌کند که «سیاهچاله‌ها مو ندارند»، این عبارت کنایه از این دارد که یک سیاهچاله هیچ علامت مشخصه‌ای مانند مدل مو در انسان ندارد. با وجود پیچیدگی رمبش گرانشی یک جسم که منجر به تشکیل سیاهچاله می‌شود، سیاهچاله ایجاد شده جسم بسیار ساده‌ای است.[۱۰۸]

مجموعه عمومی از قوانین به نام مکانیک سیاهچاله‌ها موجودند که مشابه قوانین ترمودینامیک هستند. مثلاً بنا بر قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها، مساحت افق رویداد هرگز با زمان کاهش نمی‌یابد که قابل مقایسه با آنتروپی یک سیستم ترمودینامیکی است. این موضوع میزان انرژی را که می‌توان با روش‌های کلاسیک از یک سیاهچاله چرخان استخراج نمود (مثلاً از راه فرایند پنروز) محدود می‌سازد.[۱۰۹] شواهد قوی در دسترس است که قوانین مکانیک سیاهچاله‌ها در حقیقت زیرمجموعه‌ای از قوانین ترمودینامیک هستند و مساحت سیاهچاله با آنتروپی اش مرتبط است.[۱۱۰] این منجر به تغییراتی در قوانین اصلی مکانیک سیاهچاله‌ها می‌شود: مثلاً چنان‌که قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها بخشی از قانون دوم ترمودینامیک می‌شود، مساحت سیاهچاله می‌تواند کاهش یابد به شرط آنکه فرایندهای دیگری اطمینان حاصل کنند که آنتروپی کل افزایش می‌یابد. مانند تمام اجسام ترمودینامیکی که دمای غیر صفر دارند، سیاهچاله‌ها نیز باید تابش گرمایی داشته باشند. محاسبات نیمه‌کلاسیک نشان می‌دهند که در حقیقت سیاهچاله‌ها تابش دارند و گرانش سطحی نقش دما را در قانون پلانک به عهده دارد. این تابش را به نام تابش هاوکینگ می‌خوانند.[۱۱۱]

انواع دیگری از افق‌ها نیز موجودند. در یک جهان در حال انبساط یک ناظر ممکن است نواحی از گذشته را غیرقابل مشاهده بیابد ("افق ذره")، و همچنین بعضی از نواحی آینده را نیز نمی‌توان تحت تأثیر قرارداد (افق رویداد)[۱۱۲] حتی در فضای تخت مینکوفسکی، وقتی که از دید ناظر شتابداری توصیف شود (فضای ریندلر)، افقهایی وجود خواهند داشت که با یک تابش نیمه‌کلاسیک به نام تابش اونروه مرتبط‌اند.[۱۱۳]

تکینگی‌ها[ویرایش]

یکی از ویژگی‌های عمومی نسبیت عام پیدایش مرزهایی در فضازمان به نام تکینگی است. فضازمان را می‌توان با دنبال کردن ژئودزیک‌های زمان‌واره و نورواره اکتشاف کرد– تمام مسیرهای ممکن که نور و ذرات در سقوط آزاد می‌توانند بپیمایند. اما برخی از پاسخهای معادلات اینشتین "لبه‌های پاره‌پاره" دارند – نواحی‌ای که به نام تکینگی‌های فضازمان شناخته می‌شوند و در آن‌ها مسیرهای نور و ذرات در حال سقوط به‌طور ناگهانی به پایان می‌رسد و هندسه تعریف نشده‌است. در موارد جالبتر این تکینگی‌ها، "تکینگی‌های خمش" هستند که در آن‌ها کمیتهای هندسی که ویژگی‌های خمش فضازمان را توصیف می‌کنند (مانند کمیت نرده‌ای ریچی) مقدار بی‌نهایت می‌گیرند.[۱۱۴] مثال‌های شناخته شده از فضازمان‌های دارای تکینگی آینده – که در آن جهان‌خط‌ها به پایان می‌رسند – عبارتند از پاسخ شوارتزشیلد که یک تکینگی را در درون یک سیاهچاله ایستا توصیف می‌کند،[۱۱۵] یا پاسخ کِر که یک تکینگی حلقوی را در درون یک سیاهچاله چرخان توصیف می‌کند.[۱۱۶] پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و سایر فضازمان‌هایی که جهان‌ها را توصیف می‌کنند، تکینگی‌های گذشته دارند که در آن‌ها جهان‌خط‌ها آغاز می‌شوند مانند تکینگی مه بانگ. برخی تکینگی‌های آینده نیز دارند (مانند مه‌رمب).[۱۱۷]

با دانستن اینکه این مثال‌ها همه بسیار متقارن هستند کاملاً وسوسه‌برانگیز است که نتیجه بگیریم که تکینگی مصنوع ایده‌آل گرایی است، اما نظریه‌های مشهور تکینگی که با استفاده از روش‌های هندسه سراسری ثابت می‌شوند نظر دیگری دارند: تکینگی‌ها ویژگی عمومی نسبیت عام هستند و در مواردی که رمبش اجسام با ویژگی‌های مادی واقعی از حدی فراتر رود[۱۱۸] و یا در ابتدای بسیاری از جهان‌های در حال انبساط[۱۱۹] اجتناب‌ناپذیر هستند. اما این نظریه‌ها چیز زیادی درمورد ویژگی تکینگی‌ها بیان نمی‌کنند و بسیاری از پژوهش‌های کنونی به مشخص کردن ساختار عمومی تکینگی‌ها اختصاص یافته‌است (مانند فرضیه تکینگی بی کی ال)[۱۲۰] فرضیه سانسور کیهانی بیان می‌کند که تکینگی‌های آینده پشت یک افق پنهان شده‌اند و از دیدرس ناظر دوردست مخفی هستند. در حالی‌که هیچ اثبات رسمی برای آن اعلام نشده‌است شبیه‌سازی‌های عددی پیشنهاد بر درستی آن می‌دهند.[۱۲۱]

معادلات تکامل[ویرایش]

هر پاسخ به معادلات اینشتین دربرگیرنده تاریخ کامل یک جهان است و حالت ماده و هندسه را در هر جایی و هر زمانی در آن جهان توصیف می‌کند. نظریه اینشتین به دلیل هموردایی عام آن، به تنهایی برای مشخص کردن تکامل زمانی تنسور متریک کافی نیست بلکه باید با یک شرط مختصات (که قابل مقایسه با تثبیت پیمانه در سایر نظریه‌های میدان است) ترکیب شود.[۱۲۲]

برای کمک در فهمیدن معادلات اینشتین به‌عنوان معادلات دیفرانسیل پاره‌های می‌توان آن‌ها را به گونه‌ای فرمول‌بندی کرد که تکامل جهان در طول زمان را نشان دهند. این کار را به روش فرمول‌بندی که به نام "۳+۱" شناخته می‌شود انجام می‌دهند که در آن سه بُعد فضا و یک بُعد زمان وجود دارد. بهترین مثال شناخته‌شده صورت‌گرایی ای دی ام است.[۱۲۳] این تجزیه‌ها نشان می‌دهد که معادلات تکامل فضازمان در نسبیت عام به درستی رفتار می‌کنند: پاسخ‌ها همواره موجودند و اگر شرایط اولیه مشخص شوند به گونه منحصربه فردی تعریف می‌شوند.[۱۲۴] این‌طور فرمول‌بندی‌های معادلات اینشتین اساس نسبیت عددی را تشکیل می‌دهند.[۱۲۵]

کمیت‌های شبه محلی و سراسری[ویرایش]

مفهوم معادلات تکامل با یکی دیگر از جنبه‌های نسبیت عام گره خورده است. در نظریه اینشتین مشخص می‌گردد که غیرممکن است که بتوان یک تعریف عمومی برای ویژگی ظاهراً ساده‌ای مانند جرم (انرژی) کل یک سیستم ارائه داد. دلیل این امر آن است که میدان گرانشی – مانند هر میدان فیزیکی دیگری– باید به یک انرژی خاص نسبت داده شود اما ثابت شده که اساساً غیرممکن است که بتوان آن انرژی را محلی کرد.[۱۲۶]

با این وجود هنوز راه‌هایی برای تعریف جرم کل یک سیستم وجود دارد، مثلاً از طریق یک ناظر فرضی بی‌نهایت دور (جرم ای دی ام) یا از طریق تقارن‌های مناسب (جرم کُمار).[۱۲۷] اگر انرژی که از طریق امواج گرانشی به بی‌نهایت منتقل می‌شود را از جرم کل سیستم کم کنیم، حاصل آن جرم بوندی در بی‌نهایت پوچ نامیده می‌شود.[۱۲۸] همانند فیزیک کلاسیک می‌توان نشان داد که این جرم‌ها مثبت هستند.[۱۲۹] تعاریف عمومی متناظری نیز برای تکانه و تکانه زاویه‌ای وجود دارند.[۱۳۰] همچنین تلاش‌هایی در زمینه تعریف کمیتهای شبه محلی صورت گرفته‌است، مثلاً جرم یک سیستم منزوی، تنها با استفاده از کمیتهایی که در یک ناحیه متناهی از فضای دربرگیرنده آن سیستم تعریف می‌شود، فرمول‌بندی می‌گردد. امید آن می‌رود که کمیتی به دست آید که برای بیان گزاره‌های عمومی درمورد سیستم‌های منزوی سودمند باشد، مانند یک فرمول‌بندی دقیقتر برای حدس حلقه[notes ۳۱]

رابطه با نظریهٔ کوانتومی[ویرایش]

اگر نسبیت عام را به‌عنوان یکی از دو ستون فیزیک نوین بدانیم، ستون دیگر نظریه کوانتومی است که پایهٔ فهمیدن ماده، از ذرات بنیادی تا فیزیک جامدات است.[notes ۳۲] اما اینکه چگونه می‌توان مفاهیم فیزیک کوانتومی را با نسبیت عام سازش داد، پرسشی است که هنوز بی پاسخ مانده‌است.

نظریه میدان کوانتومی در فضازمان خمیده[ویرایش]

نظریه‌های میدان‌های کوانتومی معمولی، که پایه فیزیک ذرات بنیادی مدرن را تشکیل می‌دهند همگی در فضای تخت مینکوفسکی تعریف می‌شوند که تقریب بسیار مناسبی برای موردی است که بخواهیم رفتار ذرات میکروسکوپی را در میدان‌های گرانش ضعیف مانند میدانهای موجود در روی زمین مطالعه کنیم.[۱۳۱] برای توصیف شرایطی که در آن گرانش به اندازه‌ای نیرومند هست که بر ماده تأثیر داشته باشد اما نه تا اندازه‌ای که خود نیاز به کوانتایی‌سازی داشته باشد، فیزیکدانان نظریه‌های میدان کوانتومی برای فضازمان خمیده را پیشنهاد داده‌اند. این نظریه‌ها با بهره‌گیری از نسبیت عام، یک فضای پس زمینه خمیده را توصیف می‌کنند و نظریه میدان کوانتومی تعمیم یافته‌ای را تعریف می‌کنند که رفتار ماده کوانتومی را در آن فضازمان بررسی می‌کند.[۱۳۲] با بهره‌گیری از این صورت‌گرایی[notes ۳۳] می‌توان نشان داد که سیاهچاله‌ها یک طیف جسم سیاه از ذرات منتشر می‌کنند که تابش هاوکینگ نامیده می‌شود و به تبخیر سیاهچاله در گذر زمان می‌انجامد.[notes ۳۴] همان‌طور که به اختصار در بالا اشاره شد، این تبخیر نقش مهمی در ترمودینامیک سیاهچاله‌ها بازی می‌کند.[۱۳۳]

گرانش کوانتومی[ویرایش]

نیاز به سازگاری بین یک توصیف کوانتومی از ماده و یک توصیف هندسی از فضا،[notes ۳۵] و همچنین بروز تکینگی‌ها (در جاهایی که مقیاس طول خمش میکروسکوپیک می‌شود)، از جمله دلایل نیاز به وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی هستند: برای توضیح کافی درمورد ساختار داخلی سیاه‌چاله‌ها و جهان بسیار جوان نخستین، یک نظریه مورد نیاز است که در آن گرانش و هندسه فضازمان مرتبط با آن به زبان فیزیک کوانتومی بیان گردند.[۱۳۴] با وجود تلاش‌های فراوان، هنوز هیچ نظریه کامل و سازگاری برای گرانش کوانتومی به دست نیامده است. اگرچه چند نامزد بالقوه برای چنین نظریه‌ای موجود است.[۱۳۵]

تصویرسازی از یک خمینه کالابی–یائو، یکی از راه‌های فشرده‌سازی ابعاد اضافی که توسط نظریه ریسمان عرضه می‌شود.

تلاش‌ها برای تعمیم نظریه‌های میدان کوانتومی معمولی – که برای توصیف برهمکنش‌های بنیادی در فیزیک بنیادی کاربرد دارند –، از طریق گنجاندن گرانش در این نظریه‌ها با مشکلات جدی روبه رو شده‌اند. در انرژی‌های پایین این دیدگاه موفق است و این نظریه‌ها در این شرایط نظریه‌های میدانی مؤثری برای گرانش هستند.[۱۳۶] اما در انرژی‌های بالا نتایج دست‌یافته، مدل‌هایی هستند که فاقد هرگونه قدرت پیش‌بینی می‌باشند("غیرقابل بازبه‌هنجارسازی").[notes ۳۶]

گونه‌ای از شبکه اسپین ساده که در گرانش کوانتومی حلقه استفاده می‌شود.

یکی از تلاش‌ها برای غلبه بر این محدودیت‌ها نظریه ریسمان است، یک نظریه کوانتومی که دربارهٔ ذرات نقطه‌ای نیست بلکه از اجسام یک بعدی دراز بسیار ریز سخن می‌گوید.[notes ۳۷] این نظریه نوید آن را می‌دهد که می‌تواند یک توصیف یکپارچه برای همه ذرات و برهمکنش‌ها (از جمله گرانش) باشد.[notes ۳۸] بهایی که باید در این راه پرداخت شود، پذیرش ویژگی‌های غیرمعمولی مانند شش بعد اضافی برای فضا در کنار سه بعد موجود است.[۱۳۷] درخلال دوران انقلاب دوم اَبَرریسمان گمان برآن رفت که نظریه ریسمان و یک نظریه دربارهٔ یکپارچه‌سازی نسبیت عام و اَبَرتقارن به نام اَبَرگرانش،[۱۳۸] هردو بخشی از یک مدل پیشنهادی یازده–بعدی به نام نظریه اِم هستند که سرانجام یک نظریه سازگار و از نظر تعریفی یکتا از گرانش کوانتومی را ارائه خواهد داد.[۱۳۹]

دیدگاه دیگری نیز وجود دارد که از روش‌های کوانتیزه کردن کانونیک نظریه کوانتومی آغاز می‌شود. با استفاده از فرمول‌بندی مقدار اولیه نسبیت عام (به معادلات تکامل در بالا مراجعه کنید) معادله ویلر–دوگانگی (نظیر معادله شرودینگر) حاصل می‌شود که متأسفانه مشخص شده که به درستی تعریف نشده‌است.[۱۴۰] اما با معرفی آنچه امروز به نام متغیر اَشتِکار شناخته می‌شود،[۱۴۱] این معادله به مدلی نویدبخش به نام گرانش کوانتومی حلقه منجر می‌شود. فضا با ساختاری تارعنکبوت مانند به نام شبکه اسپین نمایش داده می‌شود که در گام‌های گسسته با گذر زمان تکامل می‌یابد.[۱۴۲]

با اختلاف در اینکه کدام یک از ویژگی‌های نسبیت عام و نظریه کوانتومی بدون تغییر پذیرفته شوند و اینکه تغییرات در چه سطحی اعمال شوند، تلاش‌های متعدد مختلفی برای رسیدن که یک نظریه قابل قبول گرانش کوانتومی صورت گرفته‌اند که برخی نمونه‌های آن‌ها مثلثی‌سازی دینامیکی،[۱۴۳] مجموعه‌های سببی،[۱۴۴] مدلهای توئیستر[۱۴۵] یا مدل‌های کیهان‌شناسی‌های کوانتومی بر پایه انتگرال مسیر هستند.[۱۴۶]

تمام نظریه‌های نامزد همچنان مشکلات صوری و مفهومی دارند که باید برآن فایق آیند. این نظریه‌ها از این مشکل عمومی نیز برخوردارند که هنوز هیچ راهی برای آزمودن پیش‌بینی‌های گرانش کوانتومی وجود ندارد، هرچند که امید است این امر با داده‌های آینده دربارهٔ مشاهدات کیهان‌شناسی و آزمایش‌های فیزیک ذرات میسر شود.[۱۴۷]

وضعیت کنونی[ویرایش]

نسبیت عام به‌عنوان نظریه‌ای بسیار موفق پدیدار شده و آزمون‌های مشخص آزمایشگاهی و مشاهدات بسیاری را پشت سر گذارده است، اما شواهد محکمی نیز حاکی از آنند که این نظریه کامل نیست.[۱۴۸] مسئله گرانش کوانتومی و واقعیت تکینگی‌های فضازمان هنوز بدون پاسخ مانده‌اند.[notes ۳۹] شواهدی درداده‌های مشاهداتی که به‌عنوان گواهی برای وجود انرژی تاریک و ماده تاریک در نظر گرفته می‌شوند ممکن است در حقیقت شواهدی برای نیاز به دانشی جدید در فیزیک باشند.[notes ۴۰] حتی اگر نسبیت را همان‌گونه که هست بپذیریم، این نظریه پر از احتمالات اکتشاف بیشتر است. پژوهشگران نسبیت ریاضیاتی در جستجوی فهم ماهیت تکینگی‌ها و ویژگی‌های اصلی معادلات اینشتین هستند.[۱۴۹] و شبیه‌سازی‌های رایانه‌ای با قدرت روزافزون (مانند آنهایی که ادغام سیاهچاله‌ها را شبیه‌سازی می‌کنند) در حال اجرا هستند.[۱۵۰] با مشاهدهٔ امواج گرانشی در سال ۲۰۱۶، تلاش‌ها برای مطالعهٔ کیهان به کمک امواج گرانشی شتاب گرفته‌است[notes ۴۱] ، تا امکان آزمودن نظریه در میدان‌های گرانشی بسیار قوی تر فراهم آید.[notes ۴۲] با وجود گذشت بیش از نود سال از انتشار، نسبیت عام هنوز به‌عنوان زمینه‌ای فعال در پژوهش به‌شمار می‌رود.[۱۵۱]

جستارهای وابسته[ویرایش]

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. بخش‌های اثرات مداری و نسبیت جهت، اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد و انحراف نور و تأخیر زمانی گرانشی،
  2. بخش کیهان‌شناسی و مراجع معرفی شده؛ تکامل تاریخی درOverbye ۱۹۹۹
  3. شرح زیر ردگیری مجدد آنچه درEhlers ۱۹۷۳, sec. 1 آمده‌است می‌باشد
  4. مقدمه‌های خوبی به ترتیب افزایش دانش ریاضی مورد نیاز عبارتند از، Giulini ۲۰۰۵، Mermin ۲۰۰۵ و Rindler ۱۹۹۱؛ بخش چهارم Ehlers & Lämmerzahl ۲۰۰۶ برای آزمایش‌های دقت
  5. مقایسه‌ای ژرف بین دو گروه تقارن را در Giulini 2006a ببینید
  6. حداقل به‌طور تقریبی. با Poisson ۲۰۰۴ مقایسه کنید
  7. برای مشکلات مفهومی و تاریخی تعریف یک «اصل نسبیت عام» و جداسازی آن از مفهوم هموردایی عام، Giulini 2006b را ببینید.
  8. Geroch ۱۹۹۶
  9. برای اطلاعات جانبی و لیستی از پاسخ‌ها، Stephani et al. ۲۰۰۳ را ببینید؛ یک بررسی جدیدتر نیز در MacCallum ۲۰۰۶ یافت می‌شود.
  10. توصیف مختصری از این پاسخ‌ها و پاسخ‌های جالب دیگر را می‌توان در Hawking & Ellis ۱۹۷۳, ch. 5 یافت.
  11. آزمایش پوند–ربکا را ببینید Pound & Rebka ۱۹۵۹، Pound & Rebka ۱۹۶۰؛ Pound & Snider ۱۹۶۴; فهرستی از آزمایش‌های بیشتری نیز در Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, جدول ۴٫۱ در صفحه ۱۸۶ آمده‌است.
  12. با شروع از آزمایش هیفل–کیتینگ، Hafele & Keating 1972a وHafele & Keating 1972b، و شکوفایی در کاوشگر گرانش ای آزمایش مروری بر آزمایش‌ها را در Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, جدول ۴٫۱ در ص. ۱۸۶ ببینید
  13. بررسی‌های عمومی در بخش ۲٫۱ از Will 2006; Will 2003, ص. 32–36؛ Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, بخش ۴٫۲
  14. برای اندازه‌گیری‌های کلاسیک اولیه توسط اکتشافات ادینگتون Kennefick ۲۰۰۵ را ببینید؛ برای مرور اندازه‌گیری‌های جدیدتر، Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, ch. 4.3 را ببینید. برای دقیق‌ترین مشاهدات مستقیم مدرن توسط اختروش‌ها، Shapiro et al. ۲۰۰۴ را ببینید.
  15. این یک اصل مستقل نیست؛ می‌توان آن را از معدلات اینشتین و لاگرانژین ماکسول با استفاده از یک تقریب دبلیو کی بی به دست آورد، ببینید Ehlers ۱۹۷۳, sec. 5
  16. برای میدان گرانشی خورشید با استفاده از سیگنال‌های رادار بازتابیده شده از سیاراتی چون ناهید و تیر، Shapiro ۱۹۶۴را ببینید، Weinberg ۱۹۷۲, ch. 8, sec. ۷؛ برای سیگنال‌هایی که توسط کاوشگرهای فضایی فرستاده شده‌اند (اندازه‌گیریهای ترانسپوندرBertotti, Iess & Tortora ۲۰۰۳ را ببینید؛ برای مرور کلی، Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, table 4.4 on p. ۲۰۰ را ببینید؛ برای اندازه‌گیری‌های جدیدتر با استفاده از سیگنال‌های دریافت شده از یک تپ‌اختر که بخشی از یک منظومه دوتایی است، میدان گرانش باعث تأخیر زمانی می‌شود، Stairs ۲۰۰۳, sec. ۴٫۴ را ببینید.
  17. این امواج به‌طور غیرمستقیم از طریق انرژی گمشده در منظومه‌های دوتایی تپ‌اخترهایی مانند دوتایی هالس–تیلور –موضوع جایزه نوبل ۱۹۹۳ در فیزیک – مشاهده شده‌اند، پروژه‌هایی برای مشاهده مستقیم آن‌ها نیز در راه‌اند. برای یک مرور کلی Misner, Thorne & Wheeler ۱۹۷۳, part VIII را ببینید. برخلاف امواج الکترومغناطیسی، منشأ امواج گرانشی دوقطبی نیست، بلکه چهار قطبی است؛ Schutz ۲۰۰۱ را ببینید
  18. بیشتر کتب پیشرفته دربارهٔ نسبیت عام چنین ویژگی‌هایی را توصیف نموده‌اند، مثلاً Schutz ۱۹۸۵, ch. 9
  19. در نتیجه، در صورت‌گرایی پسا–نیوتنی پارامتری، اندازه‌گیری‌های این اثر ترکیبی خطی از عبارتهای β وγ را مشخص می‌کند، Will ۲۰۰۶, sec. 3.5 و Will ۱۹۹۳, sec. 7.3 را ببینید
  20. دقیقترین اندازه‌گیری‌ها، اندازه‌گیری‌های VLBI موقعیت‌های سیاره‌هاست؛ ببینید Will ۱۹۹۳, ch. 5، Will ۲۰۰۶, sec. 3.5، Anderson et al. ۱۹۹۲; for an overview, Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, pp. ۴۰۶–۴۰۷
  21. شکلی که شامل میله‌های خطا نیز می‌باشد را در شکل ۷ در Will ۲۰۰۶, بخش ۵٫۱ ببینید
  22. توصیف مأموریت را در Everitt et al. ۲۰۰۱ ببینید؛ یک ارزیابی اولیه بعد از پرواز در Everitt, Parkinson & Kahn ۲۰۰۷ آمده‌است؛ به روز رسانی‌های جدیدتر را در وبگاه مأموریت ببینید Kahn & ۱۹۹۶–۲۰۱۲.
  23. برای مرور همگرایی گرانشی و کاربردهایش، Ehlers, Falco & Schneider ۱۹۹۲ و Wambsganss ۱۹۹۸ را ببینید.
  24. برای یک نتیجه‌گیری سادهSchutz ۲۰۰۳, ch. 23 را ببینید؛ مراجعه کنید به Narayan & Bartelmann ۱۹۹۷, sec. 3
  25. تصاویر همه همگرایی‌های شناخته شده را می‌توان در صفحات پروژه CASTLES پیدا نمود Kochanek et al. ۲۰۰۷
  26. مثلاً با داده‌های دبلیومپ، اینجا را ببینید Spergel et al. ۲۰۰۳
  27. این آزمونها شامل مشاهدات مجزایی هستند که شرح جزئیات آن‌ها در شکل دو در Bridle et al. ۲۰۰۳ آمده‌است.
  28. شواهدی برای این موضوع را می‌توان با تعیین پارامترهای کیهانی و مشاهدات بیشتر کهکشان‌ها و خوشه‌های کهکشانی یافت، Peebles ۱۹۹۳, ch. 18 را ببینید، شواهدی برای همگرایی گرانشی، رجوع کنید به Peacock ۱۹۹۹, sec. 4.6، و شبیه سازیهای ساختار بزرگ مقیاس، اینجا را ببینیدSpringel et al. ۲۰۰۵
  29. برخی از فیزیکدان‌ها به این اندیشیده‌اند که ممکن است شواهد دال بر وجود ماده تاریک در حقیقت شواهدی بر ناتوانی مکانیک نسبیتی و نیوتنی در توصیف گرانش باشد. مرور کلی در Mannheim ۲۰۰۶, sec. 9
  30. به‌طور دقیق‌تر این‌ها مسائل تخت بودن مسئله افق، و مسئله تک قطبی هستند؛ مقدمه‌ای در Narlikar ۱۹۹۳, sec. 6.4، موجود است. همچنین Börner ۱۹۹۳, sec. 9.1 را ببینید
  31. نمونه چنین تعریف‌های شبه محلی جرم–انرژی عبارتند از انرژی هاوکینگ، انرژی گراچ، یا پنروز انرژی–تکانه شبه محلی براساس روش‌های توئیستر؛ مرور مقاله Szabados ۲۰۰۴ را ببینید.
  32. مروری بر فیزیک کوانتومی را می‌توان در کتاب‌های مرجع کلاسیک مانند Messiah ۱۹۹۹ یافت؛ ویا در سطح مقدماتی تر در Hey & Walters ۲۰۰۳ ببینید.
  33. (به انگلیسی: formalism)
  34. برای تابش هاوکینگ Hawking ۱۹۷۵ را ببینید، Wald ۱۹۷۵; مقدمه‌ای قابل فهم درمورد تبخیر سیاهچاله‌ها را می‌توان در Traschen ۲۰۰۰ یافت.
  35. به زبان ساده ماده منشأ خمش فضازمان است، و اگر ماده خواص کوانتومی داشته باشد، می‌توانیم انتظار داشته باشیم که فضازمان هم همین‌گونه است. Carlip ۲۰۰۱, sec. 2 را ببینید.
  36. به‌طور خاص، تکنیکی به نام بازبه‌هنجارسازی، که توزیع‌های پرانرژی‌تر را در نظر می‌گیرد، رجوع شود به Weinberg ۱۹۹۶, ch. 17, 18, در این دسته قرار می‌گیرد؛ Goroff & Sagnotti ۱۹۸۵ را ببینید.
  37. مقدمه‌ای قابل فهم در سطح کارشناسی را در Zwiebach ۲۰۰۴ بیابید؛ بررسی‌های کامل‌تر در Polchinski 1998a و Polchinski 1998b
  38. در انرژی‌های قابل دستیابی در آزمایش‌های کنونی، این رشته‌ها از ذرات نقطه‌ای غیرقابل تشخیص هستند، اما مدهای نوسان مختلف یک نوع رشته بنیادی به صورت ذراتی با بارهای مختلف پدیدار می‌شوند. مثلاً Ibanez ۲۰۰۰. نظریه در این زمینه موفق بوده‌است که یکی از مدها همیشه با گرانش متناظر است، ذره پیام رسان گرانش، مثلاً Green, Schwarz & Witten ۱۹۸۷, sec. 2.3, 5.3 را ببینید.
  39. بخش گرانش کوانتومی را در بالا ببینید.
  40. بخش کیهان‌شناسی را در بالا ببینید
  41. Bartusiak ۲۰۰۰ برای موارد تا آن سال؛ اخبار به روز را در وب‌سایت‌هایی چون GEO 600 و LIGO ببینید.
  42. برای مقالات تازه‌تر در قطبش امواج گرانشی دوتایی‌های فشرده Blanchet et al. ۲۰۰۸ وArun et al. ۲۰۰۷؛ برای مرور کارهای روی دوتایی‌های فشرده Blanchet ۲۰۰۶ and Futamase & Itoh ۲۰۰۶; برای مرور عمومی آزمون‌های تجربی نسبیت عام Will ۲۰۰۶ را ببینید

پانویس[ویرایش]

  1. «تاریخچهٔ جوایز نوبل». تاریخچهٔ جایزهٔ نوبل. جایزهٔ نوبل. بایگانی‌شده از اصلی در ۲۲ اوت ۲۰۱۳. دریافت‌شده در ۱ ژوئن ۲۰۱۳.
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ «Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger». American Physical Society. بایگانی‌شده از اصلی در فوریه ۱۱, ۲۰۱۶.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ «Gravitational Waves Are the Ringing of Spacetime». American Physical Society. فوریه ۱۱, ۲۰۱۶. بایگانی‌شده از اصلی در فوریه ۱۱, ۲۰۱۶.
  4. «Gravitational waves discovery: 'We have a first tantalising glimpse of the cosmic birth pangs'». بایگانی‌شده از اصلی در ۳۰ آوریل ۲۰۱۴.
  5. Pais 1982, فصلهای ۹ تا ۱۵، Janssen 2005؛ Renn 2007 مجموعه‌ای به‌روز از پژوهش‌های کنونی است که شامل بازنشر بسیاری از مقالات اصلی نیز می‌باشد؛ مروری قابل فهم را می‌توان در Renn 2005, pp. 110ff یافت. مقاله Einstein 1907 یکی از مقاله‌های کلیدی نخستین است، را با Pais 1982, ch. 9 مقایسه کنید. مقاله Einstein 1915 مقاله‌ای است که در آن معادلات میدان ارائه شدند، آن را با Pais 1982, ch. 11–15 مقایسه کنید
  6. Schwarzschild 1916a,Schwarzschild 1916b و Reissner ۱۹۱۶ (بعدها درNordström ۱۹۱۸ تکمیل شد)
  7. Einstein ۱۹۱۷، آن را با Pais ۱۹۸۲, ch. 15e مقایسه کنید.
  8. مقاله اصلی هابل، Hubble ۱۹۲۹ است؛ که بررسی کلی آن در Singh ۲۰۰۴, ch. 2–4 قابل دسترسی است.
  9. Gamow ۱۹۷۰
  10. Pais ۱۹۸۲, pp. ۲۵۳–۲۵۴
  11. Kennefick ۲۰۰۵،Kennefick ۲۰۰۷
  12. Pais ۱۹۸۲, ch. 16
  13. Thorne، Kip (۲۰۰۳). «Warping spacetime». The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday [آینده فیزیک نظری و کیهان‌شناسی: بزرگداشت ۶۰ سالگی هاوکینگ]. Cambridge University Press. ص. ۷۴. شابک ۰-۵۲۱-۸۲۰۸۱-۲. بایگانی‌شده از اصلی در ۲۳ می ۲۰۱۳., Extract of page 74
  14. Israel ۱۹۸۷, ch. 7.8–7.10, Thorne ۱۹۹۴, ch. 3–9
  15. Arnold ۱۹۸۹, ch. 1
  16. Ehlers ۱۹۷۳, pp. 5f
  17. Will ۱۹۹۳, sec. 2.4, Will ۲۰۰۶, sec. 2
  18. Wheeler ۱۹۹۰, ch. 2
  19. Ehlers ۱۹۷۳, sec. 1.2, Havas ۱۹۶۴, Künzle ۱۹۷۲. آزمایش فکری ساده مورد سؤال اولین بار در Heckmann & Schücking ۱۹۵۹ توصیف شد.
  20. Ehlers ۱۹۷۳, pp. 10f
  21. Rindler ۱۹۹۱, بخش ۲۲، Synge ۱۹۷۲, فصل ۱و۲
  22. Ehlers ۱۹۷۳, sec. 2.3
  23. Ehlers ۱۹۷۳, sec. 1.4, Schutz ۱۹۸۵, sec. 5.1
  24. Ehlers ۱۹۷۳, pp. 17ff؛ یک نتیجه‌گیری در Mermin ۲۰۰۵, فصل ۱۲ یافت می‌شود. برای شواهد تجربی، بخش نسبیت عام#اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد رادر زیر ببینید
  25. Rindler ۲۰۰۱, بخش ۱٫۱۳; برای یک مرجع مقدماتی Wheeler ۱۹۹۰, فصل دوم؛ هرچند که تفاوت‌هایی بین نسخه جدید و مفهوم‌هایی اصلی انیشتین در تاریخ شکل‌گیری نسبیت عام وجود دارد Norton ۱۹۸۵
  26. Ehlers ۱۹۷۳, sec. 1.4 برای شواهد تجربی مجدداً بخش نسبیت عام#اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد را ببینید. انتخاب یک اتصال متفاوت با پیچش به نظریه متفاوتی به نام نظریه اینشتین–کارتان می‌انجامد
  27. Ehlers ۱۹۷۳, p. ۱۶, Kenyon ۱۹۹۰, بخش ۷٫۲, Weinberg ۱۹۷۲, بخش ۲٫۸
  28. Ehlers ۱۹۷۳, pp. ۱۹–۲۲; برای نتیجه‌گیری‌های مشابه بخش یک و دو از فصل هفتم Weinberg ۱۹۷۲ را ببینید. تنسور اینشتین تنها تنسور بدون واگرایی است که تابعی از ضرایب متریک و مشتقات اول ویا حداکثر دومشان است، و اجاز می‌دهد که در غیاب منبع گرانش فضازمان نسبیت خاص راه حل مناسبی باشد.Lovelock ۱۹۷۲. تنسورها در هردوطرف از مرتبه دوم هستند، یعنی می‌توان آن‌ها را به صورت ماتریس‌های ۴x۴ نوشت که هر کدام شامل ۱۰ عبارت مستقل هستند و بنابراین ده معادله جغت شده به دست می‌آید. البته در نتیجهٔ روابطی هندسی به نام «اتحادهای بیانچی»، تنسور اینشتین چهار معادلهٔ دیگر را ارضا می‌نماید و بنابراین، معادلات میدان به شش معادله مستقل کاهش می‌یابند، مثلاً Schutz ۱۹۸۵, sec. 8.3
  29. Kenyon ۱۹۹۰, sec. 7.4
  30. Brans & Dicke ۱۹۶۱، Weinberg ۱۹۷۲, بخش ۳ در فصل ۷، Goenner ۲۰۰۴, بخش ۷٫۲، و Trautman ۲۰۰۶، به تر تیب
  31. Wald ۱۹۸۴, ch. 4، Weinberg ۱۹۷۲, ch. 7 یا در واقع هر کتاب دانشگاهی دیگری درمورد نسبیت عام
  32. Wheeler ۱۹۹۰, p. xi
  33. Wald ۱۹۸۴, sec. 4.4
  34. Wald ۱۹۸۴, sec. 4.1
  35. بخش ۵ در فصل ۱۲ از Weinberg ۱۹۷۲
  36. فصل‌های مقدماتی Stephani et al. ۲۰۰۳
  37. Chandrasekhar ۱۹۸۳, ch. 3,5,6
  38. Narlikar ۱۹۹۳, ch. 4, sec. 3.3
  39. Lehner ۲۰۰۲
  40. مثلاً Wald ۱۹۸۴, sec. 4.4
  41. Will ۱۹۹۳, sec. 4.1 and 4.2
  42. Will ۲۰۰۶, sec. 3.2, Will ۱۹۹۳, ch. 4
  43. Rindler ۲۰۰۱, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, pp. ۱۶۴–۱۷۲. اینشتین در سال ۱۹۰۷ این آثار را از اصل هم‌ارزی نتیجه گرفت. Einstein ۱۹۰۷ را ببینید و توصیف آن در Pais ۱۹۸۲, pp. ۱۹۶–۱۹۸ نیز آمده‌است
  44. Rindler ۲۰۰۱, pp. ۲۴–۲۶; Misner, Thorne & Wheeler ۱۹۷۳, § ۳۸٫۵
  45. Greenstein, Oke & Shipman ۱۹۷۱; جدیدترین و دقیقترین اندازه‌گیری‌های شباهنگ (شعرای یمانی) B در Barstow, Bond et al. ۲۰۰۵ منتشر شده‌اند.
  46. GPS با استفاده از مقایسه ساعت‌های اتمی ماهواره‌ها پیوسته در حال آزموده شدن است؛ برای مبحث آثار نسبیتی Ashby ۲۰۰۲ و Ashby ۲۰۰۳ را ببینید.
  47. Stairs ۲۰۰۳ و Kramer ۲۰۰۴
  48. Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, p. ۱۶۴–۱۷۲
  49. Blanchet ۲۰۰۶, sec. 1.3
  50. Rindler ۲۰۰۱, sec. 1.16؛ برای مثالهای تاریخی، Israel ۱۹۸۷, pp. ۲۰۲–۲۰۴؛ در حقیقت اینشتین یک نمونه از این گونه نتیجه گیریها را منتشر نمود Einstein ۱۹۰۷. چنین محاسباتی به‌طور ضمنی می‌گمارند که هندسه فضا اقلیدسی است، ببینید Ehlers & Rindler ۱۹۹۷
  51. از دید نظریه اینشتین، این نتیجه گیریها اثر گرانش بر زمان را نیز درنظر می‌گیرند، اما پیامدهایش در پیچ و تاب دادن به فضا را در نظر نمی‌گیرند، ببینید Rindler ۲۰۰۱, sec. 11.11
  52. Will ۱۹۹۳, sec. 7.1 and 7.2
  53. مثلاً Jaranowski & Królak ۲۰۰۵
  54. Rindler ۲۰۰۱, ch. 13
  55. Gowdy ۱۹۷۱, Gowdy ۱۹۷۴
  56. Lehner ۲۰۰۲را برای مقدمه مختصری درمورد روش‌های نسبیت عددی، و Seidel ۱۹۹۸ برای ارتباط با اخترشناسی امواج گرانشی.
  57. Schutz ۲۰۰۳, pp. ۴۸–۴۹, Pais ۱۹۸۲, pp. ۲۵۳–۲۵۴
  58. Rindler ۲۰۰۱, sec. 11.9
  59. Will ۱۹۹۳, pp. ۱۷۷–۱۸۱
  60. Kramer et al. ۲۰۰۶
  61. Stairs ۲۰۰۳, Schutz ۲۰۰۳, pp. ۳۱۷–۳۲۱, Bartusiak ۲۰۰۰, pp. ۷۰–۸۶
  62. Weisberg & Taylor ۲۰۰۳; برای کشف تپ‌اختر، Hulse & Taylor ۱۹۷۵ را ببینید؛ برای شواهد اولیه تابش گرانشی، Taylor ۱۹۹۴ را ببینید
  63. Kramer ۲۰۰۴
  64. Penrose ۲۰۰۴, §۱۴٫۵, Misner, Thorne & Wheeler ۱۹۷۳, §۱۱٫۴
  65. Weinberg ۱۹۷۲, sec. 9.6, Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, sec. 7.8
  66. Bertotti, Ciufolini & Bender ۱۹۸۷, Nordtvedt ۲۰۰۳
  67. Kahn ۲۰۰۷
  68. Townsend ۱۹۹۷, sec. 4.2.1, Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, pp. ۴۶۹–۴۷۱
  69. Ohanian & Ruffini ۱۹۹۴, sec. 4.7، Weinberg ۱۹۷۲, sec. 9.7؛ برای مروری جدیدتر Schäfer ۲۰۰۴ را ببینید.
  70. Ciufolini & Pavlis ۲۰۰۴, Ciufolini, Pavlis & Peron ۲۰۰۶, Iorio ۲۰۰۹
  71. Iorio L. (August 2006), "COMMENTS, REPLIES AND NOTES: A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars", Classical Quantum Gravity, 23 (17): 5451–5454, arXiv:gr-qc/0606092, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01
  72. Iorio L. (June 2010), "On the Lense–Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars", Central European Journal of Physics, 8 (3): 509–513, arXiv:gr-qc/0701146, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, doi:10.2478/s11534-009-0117-6
  73. Walsh, Carswell & Weymann ۱۹۷۹
  74. Roulet & Mollerach ۱۹۹۷
  75. Narayan & Bartelmann ۱۹۹۷, sec. 3.7
  76. Barish ۲۰۰۵, Bartusiak ۲۰۰۰, Blair & McNamara ۱۹۹۷
  77. Hough & Rowan ۲۰۰۰
  78. Hobbs, George. "The international pulsar timing array project: using pulsars as a gravitational wave detector". arXiv:۰۹۱۱٫۵۲۰۶.
  79. Danzmann & Rüdiger ۲۰۰۳
  80. "LISA pathfinder overview". ESA. Archived from the original on 23 May 2013. Retrieved ۲۰۱۲-۰۴-۲۳.
  81. Thorne ۱۹۹۵
  82. Cutler & Thorne ۲۰۰۲
  83. Miller ۲۰۰۲, lectures 19 and 21
  84. Celotti, Miller & Sciama ۱۹۹۹, sec. 3
  85. Springel et al. ۲۰۰۵ و خلاصه همراه آن Gnedin ۲۰۰۵
  86. Blandford ۱۹۸۷, sec. 8.2.4
  87. برای مکانیزمهای ابتدای Carroll & Ostlie ۱۹۹۶, sec. 17.2 را ببینید؛ برای دیدن انواع مختلف دیگری از اجسام نجومی مرتبط اینجا را ببینید، Robson ۱۹۹۶
  88. برای مرور Begelman, Blandford & Rees ۱۹۸۴ را ببینید. برای یک ناظر دور به نظر می‌رسد برخی از این فواره سریعتر از نور حرکت می‌کنند؛ که البته می‌توان توضیح داد که این یک خطای دید است و با پایه‌های نسبیت عام در تضاد نیست. اینجا را ببینید Rees ۱۹۶۶
  89. برای حالات پایانی ستارگان، Oppenheimer & Snyder ۱۹۳۹ را ببینید یا برای کارهای عددی جدیدتر،Font ۲۰۰۳, sec. 4.1 را ببینید؛ درمورد ابرنواخترها هنوز مسائل اساسی وجود دارند که باید حل شوند،Buras et al. ۲۰۰۳ را ببینید؛ برای شبیه‌سازی برافزایش ماده و شکل‌گیری فواره‌های نسبیتی، Font ۲۰۰۳, sec. 4.2 را ببینید. همچنین گمان می‌رود که آثار همگرایی نسبیتی مسئول سیگنال‌های که از تپ‌اختر پرتوایکس دریافت می‌شوند؛ Kraus ۱۹۹۸ را ببینید.
  90. از مشاهده پدیده روشنایی ادینگتون که ناشی از برافزایش ماده است، شواهدی درمورد حدودی برای فشردگی نیز وجود دارند. Celotti, Miller & Sciama ۱۹۹۹ را ببینید، مشاهدات دینامیک ستاره‌ای در مرکز کهکشان راه شیری؛ Schödel et al. ۲۰۰۳ را ببینید، Remillard et al. ۲۰۰۶ برای مرور Narayan ۲۰۰۶, sec. 5. Falcke, Melia & Agol ۲۰۰۰
  91. Dalal et al. ۲۰۰۶
  92. Barack & Cutler ۲۰۰۴
  93. در ابتدا Einstein ۱۹۱۷; اینجا را ببینید Pais ۱۹۸۲, pp. ۲۸۵–۲۸۸
  94. Bergström & Goobar ۲۰۰۳, ch. 9–11؛ استفاده از این مدل‌ها با این حقیقت توجیه می‌شود که، در مقیاس‌های بزرگ در حدود صد میلیون سال نوری و بیشتر، به نظر می‌رسد که جهان ما همگن و همسانگرد است، Peebles et al. ۱۹۹۱ را ببینید.
  95. Peebles ۱۹۶۶; برای پیش‌بینی‌های جدیدتر Coc, Vangioni‐Flam et al. ۲۰۰۴ را ببینید؛ مواردی هم در Weiss ۲۰۰۶؛ با مشاهدات در Olive & Skillman ۲۰۰۴، Bania, Rood & Balser ۲۰۰۲، O'Meara et al. ۲۰۰۱، وCharbonnel & Primas ۲۰۰۵ ببینید.
  96. Lahav & Suto ۲۰۰۴, Bertschinger ۱۹۹۸, Springel et al. ۲۰۰۵
  97. Alpher & Herman ۱۹۴۸, برای مقدمه Bergström & Goobar ۲۰۰۳, ch. 11 را ببینید؛ برای آشکارسازی اولیه Penzias & Wilson ۱۹۶۵ را ببینید، برای اندازه‌گیری‌های دقیق در مشاهدات ماهواره‌های Mather et al. ۱۹۹۴ (کاوشگر زمینه کیهان) و Bennett et al. ۲۰۰۳ (دبلیومپ). اندازه‌گیری‌های بیشتر نیز مدارکی را دربارهٔ امواج گرانشی در جهان اولیه آشکار می‌کنند؛ این اطلاعات اضافی در قطبش تابش زمینه‌ای نهفته است، Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins ۱۹۹۷ وSeljak & Zaldarriaga ۱۹۹۷ را ببینید.
  98. Peacock ۱۹۹۹, ch. 12, Peskin ۲۰۰۷; در حقیقت مشاهدات بیا ن می‌کنند که به غیر از میزان اندکی، بیشتر آن ماده با ("ماده غیر باریونی") فیزیک ذرات متفاوت است، اینجا را ببینید Peacock ۱۹۹۹, ch. 12
  99. Carroll ۲۰۰۱; مرور کلی در Caldwell ۲۰۰۴. همچنین، دانشمندان بحث نموده‌اند که این یک شکل جدید انرژی نیست بلکه مدل‌ها نیاز به بهبود دارند، Mannheim ۲۰۰۶, sec. 10 را ببینید؛ تغییرات ذکر شده الزاماً نباید تغییراتی در نسبیت عام باشند بلکه می‌توانند تغییراتی مثلاً در شیوه رفتار ما با ناهمگنی‌های جهان دارد. Buchert ۲۰۰۷ را ببینید.
  100. یک مقدمه خوب در Linde ۱۹۹۰ موجود است؛ برای یک مرور جدیدتر، Linde ۲۰۰۵ را ببینید.
  101. Spergel et al. ۲۰۰۷, sec. 5,6
  102. به صورت خاص، مثلاً تابع پتانسیل که نقش کلیدی در تعیین دینامیک تورم دارد از نظریه فیزیکی پایه‌ای مدل منتج نمی‌شود.
  103. Brandenberger ۲۰۰۷, sec. 2
  104. Frauendiener ۲۰۰۴, Wald ۱۹۸۴, sec. 11.1, Hawking & Ellis ۱۹۷۳, sec. 6.8, 6.9
  105. Wald ۱۹۸۴, sec. 9.2–9.4 و Hawking & Ellis ۱۹۷۳, ch. 6
  106. Thorne ۱۹۷۲؛ برای مطالعات عددی جدیدتر Berger ۲۰۰۲, sec. 2.1
  107. Israel ۱۹۸۷. یک توصیف ریاضی دقیقتر کمک می‌کند تا چندین نوع مختلف از افق‌ها را شناسایی کنیم، مانند افق‌های رویداد و افق‌های ظاهری رجوع کنید به Hawking & Ellis ۱۹۷۳, pp. ۳۱۲–۳۲۰ یا Wald ۱۹۸۴, sec. 12.2; تعریف‌های شهودی تری از سیستم‌های منزوی که به دانش ویژگی‌های فضازمان در بی‌نهایت نیاز ندارد. اینجا را ببینید Ashtekar & Krishnan ۲۰۰۴
  108. برای نخستین گامها، Israel ۱۹۷۱ را ببینید؛ Hawking & Ellis ۱۹۷۳, sec. 9.3 یا Heusler ۱۹۹۶, ch. 9 and 10 برای یک استنتاج Heusler ۱۹۹۸ و همچنین Beig & Chruściel ۲۰۰۶ به‌عنوان مرور کلی نتایج جدیدتر
  109. قوانین مکانیک سیاهچاله‌ها نخستین بار در Bardeen, Carter & Hawking ۱۹۷۳ توصیف شدند؛ ارائه‌ای در این زمینه را می‌توان در Carter ۱۹۷۹ یافت؛ برای مروری تاز تر Wald ۲۰۰۱, ch. 2 را ببینید. مقدمه‌ای کامل شامل مقدمه‌ای بر ریاضیات مورد نیاز در Poisson ۲۰۰۴ موجود است. برای فرایند پنروز Penrose ۱۹۶۹ را ببینید.
  110. Bekenstein ۱۹۷۳, Bekenstein ۱۹۷۴
  111. این واقعیت که سیاهچاله‌ها تابش دارند، نخستین بار از روش کوانتوم مکانیکی در Hawking ۱۹۷۵ استنتاج شد؛ استنتاج کاملتری را در Wald ۱۹۷۵ ببینید. یک مرور در Wald ۲۰۰۱, ch. 3 موجود است.
  112. Narlikar ۱۹۹۳, sec. 4.4.4, 4.4.5
  113. افق‌ها: cf. Rindler ۲۰۰۱, sec. 12.4. اثر اونروه: Unruh ۱۹۷۶، Wald ۲۰۰۱, ch. 3
  114. Hawking & Ellis ۱۹۷۳, sec. 8.1, Wald ۱۹۸۴, sec. 9.1
  115. Townsend ۱۹۹۷, ch. 2؛ بررسی گسترده‌تر این پاسخ در Chandrasekhar ۱۹۸۳, ch. 3 موجود است.
  116. Townsend ۱۹۹۷, ch. 4؛ برای بررسی گسترده‌تر Chandrasekhar ۱۹۸۳, ch. 6 را ببینید.
  117. Ellis & van Elst ۱۹۹۹؛ نگاه دقیقتری به خود تکینگی در Börner ۱۹۹۳, sec. 1.2 آمده‌است
  118. Penrose ۱۹۶۵
  119. Hawking ۱۹۶۶
  120. این فرضیه نخستین بار در Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz ۱۹۷۱ مطرح شد؛ برای مروری تازه‌تر Berger ۲۰۰۲ را ببینید. Garfinkle ۲۰۰۷
  121. . فرضیه سانسور کیهانی نخستین بار در Penrose ۱۹۶۹ مطرح شد؛ در حد یک کتاب درسی درWald ۱۹۸۴, pp. ۳۰۲–۳۰۵. برای نتایج عددی Berger ۲۰۰۲, sec. 2.1 را ببینید
  122. Hawking & Ellis ۱۹۷۳, sec. 7.1
  123. Arnowitt, Deser & Misner ۱۹۶۲؛ برای مقدمه Misner, Thorne & Wheeler ۱۹۷۳, §۲۱٫۴–§۲۱٫۷
  124. Fourès–Bruhat ۱۹۵۲ and Bruhat ۱۹۶۲; برای مقدمه Wald ۱۹۸۴, ch. 10 را ببینید؛ بررسی آنلاین در Reula ۱۹۹۸
  125. Gourgoulhon ۲۰۰۷؛ برای مرور مبانی نسبیت عددی، شامل مسائلی که از معادلات اینشتین سرچشمه می‌گیرند.Lehner ۲۰۰۱
  126. Misner, Thorne & Wheeler ۱۹۷۳, §۲۰٫۴
  127. Komar ۱۹۵۹; برای یک مقدمه آموزنده Wald ۱۹۸۴, sec. 11.2 را ببینید؛ اگرچه به طریق کاملاً متفاوتی تعریف شده اما می‌توان نشان داد که برای فضازمانهای ثابت معادل جرم ای دی ام است، Ashtekar & Magnon–Ashtekar ۱۹۷۹ را ببینید.
  128. برای مقدمه‌ای آموزنده Wald ۱۹۸۴, sec. 11.2 را ببینید.
  129. Wald ۱۹۸۴, p. ۲۹۵ و مراجع آن; این در پرسسش پایداری حائز اهمیت است — اگر جرم منفی وجود داشت، فضای خالی و تخت مینکوفسکی که جرم صفر دارد ممکن بود از این حالت تغییر کند و جرم مثبت یا منفی بگیرد.
  130. Townsend ۱۹۹۷, ch. 5
  131. Ramond ۱۹۹۰, Weinberg ۱۹۹۵, Peskin & Schroeder ۱۹۹۵؛ مرور قابل فهم تری در Auyang ۱۹۹۵ موجود است.
  132. Wald ۱۹۹۴, Birrell & Davies ۱۹۸۴
  133. Wald ۲۰۰۱, ch. 3
  134. Schutz ۲۰۰۳, p. ۴۰۷
  135. یک گاه‌شمار و بررسی کلی را می‌توان درRovelli ۲۰۰۰ یافت.
  136. Donoghue ۱۹۹۵
  137. Green, Schwarz & Witten ۱۹۸۷, sec. 4.2
  138. Weinberg ۲۰۰۰, ch. 31
  139. Townsend ۱۹۹۶, Duff ۱۹۹۶
  140. Kuchař ۱۹۷۳, sec. 3
  141. Ashtekar ۱۹۸۶, Ashtekar ۱۹۸۷
  142. برای مرور Thiemann ۲۰۰۶ را ببینید؛ بحث‌های مفصل تر در Rovelli ۱۹۹۸ یافت می‌شود، Ashtekar & Lewandowski ۲۰۰۴ و همچنین در جزوه‌های Thiemann ۲۰۰۳
  143. Loll ۱۹۹۸
  144. Sorkin ۲۰۰۵
  145. Penrose ۲۰۰۴, ch. 33 and refs therein
  146. Hawking ۱۹۸۷
  147. Ashtekar ۲۰۰۷, Schwarz ۲۰۰۷
  148. Maddox ۱۹۹۸, pp. ۵۲–۵۹, ۹۸–۱۲۲; Penrose ۲۰۰۴, sec. 34.1, ch. 30
  149. Friedrich ۲۰۰۵
  150. مروری بر مسائل مختلف و روش‌های حل آن‌ها، Lehner ۲۰۰۲ را ببینید.
  151. مثلاً مجلهٔ الکترونیکی مرورها را ببینید. Living Reviews in Relativity

منابع[ویرایش]

<!–– توجه: این بخش شامل متونی است که در نگارش این نوشتار از آن‌ها استفاده شده‌است. سایر متون، وب‌سایت‌ها و منابع در بخش منابع نسبیت عام لیست شده‌اند ––>

Belinsky, V. A.; Khalatnikov, I. M.; Lifshitz, E. M. (1970), "Колебательный Режим Приближения К Особой Точке В Релятивистской Космологии", Uspekhi Fizicheskikh Nauk (Успехи Физических Наук), ۱۰۲(۳) (۱۱), p. ۴۶۳–۵۰۰, Bibcode:1970UsFiN.102..463B

جستارهای وابسته[ویرایش]

کتاب‌های مشهور
کتاب‌های در سطح کارشناسی ابتدایی
  • Callahan, James J. (۲۰۰۰The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity [هندسه فضازمان: مقدمه‌ای بر نسبیت خاص و عام]، New York: Springer، شابک ۰-۳۸۷-۹۸۶۴۱-۳
  • Taylor, Edwin F. ; Wheeler, John Archibald (۲۰۰۰Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity [اکتشاف سیاهچاله‌ها: مقدمه‌ای بر نسبیت عام]، Addison Wesley، شابک ۰-۲۰۱-۳۸۴۲۳-X
کتاب‌های در سطح کارشناسی پیشرفته
  • B. F. Schutz (۲۰۰۹A first Course in General Relativity (Second Edition) [یک دوره اولیه در نسبیت عام (ویرایش دوم)]، Cambridge University Press، شابک ۹۷۸-۰-۵۲۱-۸۸۷۰۵-۲
  • Cheng, Ta–Pei (۲۰۰۵Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction [نسبیت، گرانش و کیهان‌شناسی: مقدمه ابتدایی]، Oxford and New York: Oxford University Press، شابک ۰-۱۹-۸۵۲۹۵۷-۰
  • Gron، O.؛ Hervik، S. (۲۰۰۷Einstein's General theory of Relativity [نظریه نسبیت عام اینشتین]، Springer، شابک ۹۷۸-۰-۳۸۷-۶۹۱۹۹-۲
  • Hartle, James B. (۲۰۰۳Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity [گرانش: آشنایی با نسبیت عام]، San Francisco: Addison–Wesley، شابک ۰-۸۰۵۳-۸۶۶۲-۹
  • Hughston, L. P. & Tod, K. P. (۱۹۹۱Introduction to General Relativity [آشنایی با نسبیت عام]، Cambridge: Cambridge University Press، شابک ۰-۵۲۱-۳۳۹۴۳-X
  • d'Inverno, Ray (۱۹۹۲Introducing Einstein's Relativity [معرفی نسبیت اینشتین]، Oxford: Oxford University Press، شابک ۰-۱۹-۸۵۹۶۸۶-۳
کتاب‌های در سطح کارشناسی ارشد

پیوند به بیرون[ویرایش]

دوره ها/کلاس ها/خودآموزها
Slow motion computer simulation of the black hole binary system GW150914 as seen by a nearby observer, during 0.33 s of its final inspiral, merge, and ringdown. The star field behind the black holes is being heavily distorted and appears to rotate and move, due to extreme gravitational lensing, as spacetime itself is distorted and dragged around by the rotating black holes.[1]

General relativity (GR, also known as the general theory of relativity or GTR) is the geometric theory of gravitation published by Albert Einstein in 1915 and the current description of gravitation in modern physics. General relativity generalizes special relativity and supersedes Newton's law of universal gravitation, providing a unified description of gravity as a geometric property of space and time, or spacetime. In particular, the curvature of spacetime is directly related to the energy and momentum of whatever matter and radiation are present. The relation is specified by the Einstein field equations, a system of partial differential equations.

Some predictions of general relativity differ significantly from those of classical physics, especially concerning the passage of time, the geometry of space, the motion of bodies in free fall, and the propagation of light. Examples of such differences include gravitational time dilation, gravitational lensing, the gravitational redshift of light, and the gravitational time delay. The predictions of general relativity in relation to classical physics have been confirmed in all observations and experiments to date. Although general relativity is not the only relativistic theory of gravity, it is the simplest theory that is consistent with experimental data. However, unanswered questions remain, the most fundamental being how general relativity can be reconciled with the laws of quantum physics to produce a complete and self-consistent theory of quantum gravity.

Einstein's theory has important astrophysical implications. For example, it implies the existence of black holes—regions of space in which space and time are distorted in such a way that nothing, not even light, can escape—as an end-state for massive stars. There is ample evidence that the intense radiation emitted by certain kinds of astronomical objects is due to black holes. For example, microquasars and active galactic nuclei result from the presence of stellar black holes and supermassive black holes, respectively. The bending of light by gravity can lead to the phenomenon of gravitational lensing, in which multiple images of the same distant astronomical object are visible in the sky. General relativity also predicts the existence of gravitational waves, which have since been observed directly by the physics collaboration LIGO. In addition, general relativity is the basis of current cosmological models of a consistently expanding universe.

Widely acknowledged as a theory of extraordinary beauty, general relativity has often been described as the most beautiful of all existing physical theories.[2]

History

Soon after publishing the special theory of relativity in 1905, Einstein started thinking about how to incorporate gravity into his new relativistic framework. In 1907, beginning with a simple thought experiment involving an observer in free fall, he embarked on what would be an eight-year search for a relativistic theory of gravity. After numerous detours and false starts, his work culminated in the presentation to the Prussian Academy of Science in November 1915 of what are now known as the Einstein field equations.[3] These equations specify how the geometry of space and time is influenced by whatever matter and radiation are present, and form the core of Einstein's general theory of relativity.[4]

The Einstein field equations are nonlinear and very difficult to solve. Einstein used approximation methods in working out initial predictions of the theory. But as early as 1916, the astrophysicist Karl Schwarzschild found the first non-trivial exact solution to the Einstein field equations, the Schwarzschild metric. This solution laid the groundwork for the description of the final stages of gravitational collapse, and the objects known today as black holes. In the same year, the first steps towards generalizing Schwarzschild's solution to electrically charged objects were taken, which eventually resulted in the Reissner–Nordström solution, now associated with electrically charged black holes.[5] In 1917, Einstein applied his theory to the universe as a whole, initiating the field of relativistic cosmology. In line with contemporary thinking, he assumed a static universe, adding a new parameter to his original field equations—the cosmological constant—to match that observational presumption.[6] By 1929, however, the work of Hubble and others had shown that our universe is expanding. This is readily described by the expanding cosmological solutions found by Friedmann in 1922, which do not require a cosmological constant. Lemaître used these solutions to formulate the earliest version of the Big Bang models, in which our universe has evolved from an extremely hot and dense earlier state.[7] Einstein later declared the cosmological constant the biggest blunder of his life.[8]

During that period, general relativity remained something of a curiosity among physical theories. It was clearly superior to Newtonian gravity, being consistent with special relativity and accounting for several effects unexplained by the Newtonian theory. Einstein himself had shown in 1915 how his theory explained the anomalous perihelion advance of the planet Mercury without any arbitrary parameters ("fudge factors").[9] Similarly, a 1919 expedition led by Eddington confirmed general relativity's prediction for the deflection of starlight by the Sun during the total solar eclipse of May 29, 1919,[10] making Einstein instantly famous.[11] Yet the theory entered the mainstream of theoretical physics and astrophysics only with the developments between approximately 1960 and 1975, now known as the golden age of general relativity.[12] Physicists began to understand the concept of a black hole, and to identify quasars as one of these objects' astrophysical manifestations.[13] Ever more precise solar system tests confirmed the theory's predictive power,[14] and relativistic cosmology, too, became amenable to direct observational tests.[15]

Over the years, general relativity has acquired a reputation as a theory of extraordinary beauty.[2][16][17] Subrahmanyan Chandrasekhar has noted that at multiple levels, general relativity exhibits what Francis Bacon has termed, a "strangeness in the proportion" (i.e. elements that excite wonderment and surprise). It juxtaposes fundamental concepts (space and time versus matter and motion) which had previously been considered as entirely independent. Chandrasekhar also noted that Einstein's only guides in his search for an exact theory were the principle of equivalence and his sense that a proper description of gravity should be geometrical at its basis, so that there was an "element of revelation" in the manner in which Einstein arrived at his theory.[18] Other elements of beauty associated with the general theory of relativity are its simplicity, symmetry, the manner in which it incorporates invariance and unification, and its perfect logical consistency.[19]

From classical mechanics to general relativity

General relativity can be understood by examining its similarities with and departures from classical physics. The first step is the realization that classical mechanics and Newton's law of gravity admit a geometric description. The combination of this description with the laws of special relativity results in a heuristic derivation of general relativity.[20]

Geometry of Newtonian gravity

According to general relativity, objects in a gravitational field behave similarly to objects within an accelerating enclosure. For example, an observer will see a ball fall the same way in a rocket (left) as it does on Earth (right), provided that the acceleration of the rocket is equal to 9.8 m/s2 (the acceleration due to gravity at the surface of the Earth).

At the base of classical mechanics is the notion that a body's motion can be described as a combination of free (or inertial) motion, and deviations from this free motion. Such deviations are caused by external forces acting on a body in accordance with Newton's second law of motion, which states that the net force acting on a body is equal to that body's (inertial) mass multiplied by its acceleration.[21] The preferred inertial motions are related to the geometry of space and time: in the standard reference frames of classical mechanics, objects in free motion move along straight lines at constant speed. In modern parlance, their paths are geodesics, straight world lines in curved spacetime.[22]

Conversely, one might expect that inertial motions, once identified by observing the actual motions of bodies and making allowances for the external forces (such as electromagnetism or friction), can be used to define the geometry of space, as well as a time coordinate. However, there is an ambiguity once gravity comes into play. According to Newton's law of gravity, and independently verified by experiments such as that of Eötvös and its successors (see Eötvös experiment), there is a universality of free fall (also known as the weak equivalence principle, or the universal equality of inertial and passive-gravitational mass): the trajectory of a test body in free fall depends only on its position and initial speed, but not on any of its material properties.[23] A simplified version of this is embodied in Einstein's elevator experiment, illustrated in the figure on the right: for an observer in a small enclosed room, it is impossible to decide, by mapping the trajectory of bodies such as a dropped ball, whether the room is at rest in a gravitational field, or in free space aboard a rocket that is accelerating at a rate equal to that of the gravitational field.[24]

Given the universality of free fall, there is no observable distinction between inertial motion and motion under the influence of the gravitational force. This suggests the definition of a new class of inertial motion, namely that of objects in free fall under the influence of gravity. This new class of preferred motions, too, defines a geometry of space and time—in mathematical terms, it is the geodesic motion associated with a specific connection which depends on the gradient of the gravitational potential. Space, in this construction, still has the ordinary Euclidean geometry. However, spacetime as a whole is more complicated. As can be shown using simple thought experiments following the free-fall trajectories of different test particles, the result of transporting spacetime vectors that can denote a particle's velocity (time-like vectors) will vary with the particle's trajectory; mathematically speaking, the Newtonian connection is not integrable. From this, one can deduce that spacetime is curved. The resulting Newton–Cartan theory is a geometric formulation of Newtonian gravity using only covariant concepts, i.e. a description which is valid in any desired coordinate system.[25] In this geometric description, tidal effects—the relative acceleration of bodies in free fall—are related to the derivative of the connection, showing how the modified geometry is caused by the presence of mass.[26]

Relativistic generalization

As intriguing as geometric Newtonian gravity may be, its basis, classical mechanics, is merely a limiting case of (special) relativistic mechanics.[27] In the language of symmetry: where gravity can be neglected, physics is Lorentz invariant as in special relativity rather than Galilei invariant as in classical mechanics. (The defining symmetry of special relativity is the Poincaré group, which includes translations, rotations and boosts.) The differences between the two become significant when dealing with speeds approaching the speed of light, and with high-energy phenomena.[28]

With Lorentz symmetry, additional structures come into play. They are defined by the set of light cones (see image). The light-cones define a causal structure: for each event A, there is a set of events that can, in principle, either influence or be influenced by A via signals or interactions that do not need to travel faster than light (such as event B in the image), and a set of events for which such an influence is impossible (such as event C in the image). These sets are observer-independent.[29] In conjunction with the world-lines of freely falling particles, the light-cones can be used to reconstruct the space–time's semi-Riemannian metric, at least up to a positive scalar factor. In mathematical terms, this defines a conformal structure[30] or conformal geometry.

Special relativity is defined in the absence of gravity, so for practical applications, it is a suitable model whenever gravity can be neglected. Bringing gravity into play, and assuming the universality of free fall, an analogous reasoning as in the previous section applies: there are no global inertial frames. Instead there are approximate inertial frames moving alongside freely falling particles. Translated into the language of spacetime: the straight time-like lines that define a gravity-free inertial frame are deformed to lines that are curved relative to each other, suggesting that the inclusion of gravity necessitates a change in spacetime geometry.[31]

A priori, it is not clear whether the new local frames in free fall coincide with the reference frames in which the laws of special relativity hold—that theory is based on the propagation of light, and thus on electromagnetism, which could have a different set of preferred frames. But using different assumptions about the special-relativistic frames (such as their being earth-fixed, or in free fall), one can derive different predictions for the gravitational redshift, that is, the way in which the frequency of light shifts as the light propagates through a gravitational field (cf. below). The actual measurements show that free-falling frames are the ones in which light propagates as it does in special relativity.[32] The generalization of this statement, namely that the laws of special relativity hold to good approximation in freely falling (and non-rotating) reference frames, is known as the Einstein equivalence principle, a crucial guiding principle for generalizing special-relativistic physics to include gravity.[33]

The same experimental data shows that time as measured by clocks in a gravitational field—proper time, to give the technical term—does not follow the rules of special relativity. In the language of spacetime geometry, it is not measured by the Minkowski metric. As in the Newtonian case, this is suggestive of a more general geometry. At small scales, all reference frames that are in free fall are equivalent, and approximately Minkowskian. Consequently, we are now dealing with a curved generalization of Minkowski space. The metric tensor that defines the geometry—in particular, how lengths and angles are measured—is not the Minkowski metric of special relativity, it is a generalization known as a semi- or pseudo-Riemannian metric. Furthermore, each Riemannian metric is naturally associated with one particular kind of connection, the Levi-Civita connection, and this is, in fact, the connection that satisfies the equivalence principle and makes space locally Minkowskian (that is, in suitable locally inertial coordinates, the metric is Minkowskian, and its first partial derivatives and the connection coefficients vanish).[34]

Einstein's equations

Having formulated the relativistic, geometric version of the effects of gravity, the question of gravity's source remains. In Newtonian gravity, the source is mass. In special relativity, mass turns out to be part of a more general quantity called the energy–momentum tensor, which includes both energy and momentum densities as well as stress: pressure and shear.[35] Using the equivalence principle, this tensor is readily generalized to curved spacetime. Drawing further upon the analogy with geometric Newtonian gravity, it is natural to assume that the field equation for gravity relates this tensor and the Ricci tensor, which describes a particular class of tidal effects: the change in volume for a small cloud of test particles that are initially at rest, and then fall freely. In special relativity, conservation of energy–momentum corresponds to the statement that the energy–momentum tensor is divergence-free. This formula, too, is readily generalized to curved spacetime by replacing partial derivatives with their curved-manifold counterparts, covariant derivatives studied in differential geometry. With this additional condition—the covariant divergence of the energy–momentum tensor, and hence of whatever is on the other side of the equation, is zero— the simplest set of equations are what are called Einstein's (field) equations:

Einstein's field equations

On the left-hand side is the Einstein tensor, a specific divergence-free combination of the Ricci tensor and the metric. Where is symmetric. In particular,

is the curvature scalar. The Ricci tensor itself is related to the more general Riemann curvature tensor as

On the right-hand side, is the energy–momentum tensor. All tensors are written in abstract index notation.[36] Matching the theory's prediction to observational results for planetary orbits or, equivalently, assuring that the weak-gravity, low-speed limit is Newtonian mechanics, the proportionality constant can be fixed as κ = 8πG/c4, with G the gravitational constant and c the speed of light.[37] When there is no matter present, so that the energy–momentum tensor vanishes, the results are the vacuum Einstein equations,


In general relativity, the world line of a particle free from all external, non-gravitational force is a particular type of geodesic in curved spacetime. In other words, a freely moving or falling particle always moves along a geodesic.

The geodesic equation is:

where s is a scalar parameter of motion (e.g. the proper time), and are Christoffel symbols (sometimes called the affine connection coefficients or Levi-Civita connection coefficients) which is symmetric in the two lower indices. Greek indices may take the values: 0, 1, 2, 3 and the summation convention is used for repeated indices and . The quantity on the left-hand-side of this equation is the acceleration of a particle, and so this equation is analogous to Newton's laws of motion which likewise provide formulae for the acceleration of a particle. This equation of motion employs the Einstein notation, meaning that repeated indices are summed (i.e. from zero to three). The Christoffel symbols are functions of the four space-time coordinates, and so are independent of the velocity or acceleration or other characteristics of a test particle whose motion is described by the geodesic equation.

Alternatives to general relativity

There are alternatives to general relativity built upon the same premises, which include additional rules and/or constraints, leading to different field equations. Examples are Whitehead's theory, Brans–Dicke theory, teleparallelism, f(R) gravity and Einstein–Cartan theory.[38]

Definition and basic applications

The derivation outlined in the previous section contains all the information needed to define general relativity, describe its key properties, and address a question of crucial importance in physics, namely how the theory can be used for model-building.

Definition and basic properties

General relativity is a metric theory of gravitation. At its core are Einstein's equations, which describe the relation between the geometry of a four-dimensional pseudo-Riemannian manifold representing spacetime, and the energy–momentum contained in that spacetime.[39] Phenomena that in classical mechanics are ascribed to the action of the force of gravity (such as free-fall, orbital motion, and spacecraft trajectories), correspond to inertial motion within a curved geometry of spacetime in general relativity; there is no gravitational force deflecting objects from their natural, straight paths. Instead, gravity corresponds to changes in the properties of space and time, which in turn changes the straightest-possible paths that objects will naturally follow.[40] The curvature is, in turn, caused by the energy–momentum of matter. Paraphrasing the relativist John Archibald Wheeler, spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.[41]

While general relativity replaces the scalar gravitational potential of classical physics by a symmetric rank-two tensor, the latter reduces to the former in certain limiting cases. For weak gravitational fields and slow speed relative to the speed of light, the theory's predictions converge on those of Newton's law of universal gravitation.[42]

As it is constructed using tensors, general relativity exhibits general covariance: its laws—and further laws formulated within the general relativistic framework—take on the same form in all coordinate systems.[43] Furthermore, the theory does not contain any invariant geometric background structures, i.e. it is background independent. It thus satisfies a more stringent general principle of relativity, namely that the laws of physics are the same for all observers.[44] Locally, as expressed in the equivalence principle, spacetime is Minkowskian, and the laws of physics exhibit local Lorentz invariance.[45]

Model-building

The core concept of general-relativistic model-building is that of a solution of Einstein's equations. Given both Einstein's equations and suitable equations for the properties of matter, such a solution consists of a specific semi-Riemannian manifold (usually defined by giving the metric in specific coordinates), and specific matter fields defined on that manifold. Matter and geometry must satisfy Einstein's equations, so in particular, the matter's energy–momentum tensor must be divergence-free. The matter must, of course, also satisfy whatever additional equations were imposed on its properties. In short, such a solution is a model universe that satisfies the laws of general relativity, and possibly additional laws governing whatever matter might be present.[46]

Einstein's equations are nonlinear partial differential equations and, as such, difficult to solve exactly.[47] Nevertheless, a number of exact solutions are known, although only a few have direct physical applications.[48] The best-known exact solutions, and also those most interesting from a physics point of view, are the Schwarzschild solution, the Reissner–Nordström solution and the Kerr metric, each corresponding to a certain type of black hole in an otherwise empty universe,[49] and the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker and de Sitter universes, each describing an expanding cosmos.[50] Exact solutions of great theoretical interest include the Gödel universe (which opens up the intriguing possibility of time travel in curved spacetimes), the Taub-NUT solution (a model universe that is homogeneous, but anisotropic), and anti-de Sitter space (which has recently come to prominence in the context of what is called the Maldacena conjecture).[51]

Given the difficulty of finding exact solutions, Einstein's field equations are also solved frequently by numerical integration on a computer, or by considering small perturbations of exact solutions. In the field of numerical relativity, powerful computers are employed to simulate the geometry of spacetime and to solve Einstein's equations for interesting situations such as two colliding black holes.[52] In principle, such methods may be applied to any system, given sufficient computer resources, and may address fundamental questions such as naked singularities. Approximate solutions may also be found by perturbation theories such as linearized gravity[53] and its generalization, the post-Newtonian expansion, both of which were developed by Einstein. The latter provides a systematic approach to solving for the geometry of a spacetime that contains a distribution of matter that moves slowly compared with the speed of light. The expansion involves a series of terms; the first terms represent Newtonian gravity, whereas the later terms represent ever smaller corrections to Newton's theory due to general relativity.[54] An extension of this expansion is the parametrized post-Newtonian (PPN) formalism, which allows quantitative comparisons between the predictions of general relativity and alternative theories.[55]

Consequences of Einstein's theory

General relativity has a number of physical consequences. Some follow directly from the theory's axioms, whereas others have become clear only in the course of many years of research that followed Einstein's initial publication.

Gravitational time dilation and frequency shift

Schematic representation of the gravitational redshift of a light wave escaping from the surface of a massive body

Assuming that the equivalence principle holds,[56] gravity influences the passage of time. Light sent down into a gravity well is blueshifted, whereas light sent in the opposite direction (i.e., climbing out of the gravity well) is redshifted; collectively, these two effects are known as the gravitational frequency shift. More generally, processes close to a massive body run more slowly when compared with processes taking place farther away; this effect is known as gravitational time dilation.[57]

Gravitational redshift has been measured in the laboratory[58] and using astronomical observations.[59] Gravitational time dilation in the Earth's gravitational field has been measured numerous times using atomic clocks,[60] while ongoing validation is provided as a side effect of the operation of the Global Positioning System (GPS).[61] Tests in stronger gravitational fields are provided by the observation of binary pulsars.[62] All results are in agreement with general relativity.[63] However, at the current level of accuracy, these observations cannot distinguish between general relativity and other theories in which the equivalence principle is valid.[64]

Light deflection and gravitational time delay

Deflection of light (sent out from the location shown in blue) near a compact body (shown in gray)

General relativity predicts that the path of light will follow the curvature of spacetime as it passes near a star. This effect was initially confirmed by observing the light of stars or distant quasars being deflected as it passes the Sun.[65]

This and related predictions follow from the fact that light follows what is called a light-like or null geodesic—a generalization of the straight lines along which light travels in classical physics. Such geodesics are the generalization of the invariance of lightspeed in special relativity.[66] As one examines suitable model spacetimes (either the exterior Schwarzschild solution or, for more than a single mass, the post-Newtonian expansion),[67] several effects of gravity on light propagation emerge. Although the bending of light can also be derived by extending the universality of free fall to light,[68] the angle of deflection resulting from such calculations is only half the value given by general relativity.[69]

Closely related to light deflection is the gravitational time delay (or Shapiro delay), the phenomenon that light signals take longer to move through a gravitational field than they would in the absence of that field. There have been numerous successful tests of this prediction.[70] In the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of both the deflection of light and the gravitational time delay determine a parameter called γ, which encodes the influence of gravity on the geometry of space.[71]

Gravitational waves

Ring of test particles deformed by a passing (linearized, amplified for better visibility) gravitational wave

Predicted in 1916[72][73] by Albert Einstein, there are gravitational waves: ripples in the metric of spacetime that propagate at the speed of light. These are one of several analogies between weak-field gravity and electromagnetism in that, they are analogous to electromagnetic waves. On February 11, 2016, the Advanced LIGO team announced that they had directly detected gravitational waves from a pair of black holes merging.[74][75][76]

The simplest type of such a wave can be visualized by its action on a ring of freely floating particles. A sine wave propagating through such a ring towards the reader distorts the ring in a characteristic, rhythmic fashion (animated image to the right).[77] Since Einstein's equations are non-linear, arbitrarily strong gravitational waves do not obey linear superposition, making their description difficult. However, for weak fields, a linear approximation can be made. Such linearized gravitational waves are sufficiently accurate to describe the exceedingly weak waves that are expected to arrive here on Earth from far-off cosmic events, which typically result in relative distances increasing and decreasing by or less. Data analysis methods routinely make use of the fact that these linearized waves can be Fourier decomposed.[78]

Some exact solutions describe gravitational waves without any approximation, e.g., a wave train traveling through empty space[79] or Gowdy universes, varieties of an expanding cosmos filled with gravitational waves.[80] But for gravitational waves produced in astrophysically relevant situations, such as the merger of two black holes, numerical methods are presently the only way to construct appropriate models.[81]

Orbital effects and the relativity of direction

General relativity differs from classical mechanics in a number of predictions concerning orbiting bodies. It predicts an overall rotation (precession) of planetary orbits, as well as orbital decay caused by the emission of gravitational waves and effects related to the relativity of direction.

Precession of apsides

Newtonian (red) vs. Einsteinian orbit (blue) of a lone planet orbiting a star

In general relativity, the apsides of any orbit (the point of the orbiting body's closest approach to the system's center of mass) will precess; the orbit is not an ellipse, but akin to an ellipse that rotates on its focus, resulting in a rose curve-like shape (see image). Einstein first derived this result by using an approximate metric representing the Newtonian limit and treating the orbiting body as a test particle. For him, the fact that his theory gave a straightforward explanation of Mercury's anomalous perihelion shift, discovered earlier by Urbain Le Verrier in 1859, was important evidence that he had at last identified the correct form of the gravitational field equations.[82]

The effect can also be derived by using either the exact Schwarzschild metric (describing spacetime around a spherical mass)[83] or the much more general post-Newtonian formalism.[84] It is due to the influence of gravity on the geometry of space and to the contribution of self-energy to a body's gravity (encoded in the nonlinearity of Einstein's equations).[85] Relativistic precession has been observed for all planets that allow for accurate precession measurements (Mercury, Venus, and Earth),[86] as well as in binary pulsar systems, where it is larger by five orders of magnitude.[87]

In general relativity the perihelion shift σ, expressed in radians per revolution, is approximately given by:[88]

where:

Orbital decay

Orbital decay for PSR1913+16: time shift in seconds, tracked over three decades.[89]

According to general relativity, a binary system will emit gravitational waves, thereby losing energy. Due to this loss, the distance between the two orbiting bodies decreases, and so does their orbital period. Within the Solar System or for ordinary double stars, the effect is too small to be observable. This is not the case for a close binary pulsar, a system of two orbiting neutron stars, one of which is a pulsar: from the pulsar, observers on Earth receive a regular series of radio pulses that can serve as a highly accurate clock, which allows precise measurements of the orbital period. Because neutron stars are immensely compact, significant amounts of energy are emitted in the form of gravitational radiation.[90]

The first observation of a decrease in orbital period due to the emission of gravitational waves was made by Hulse and Taylor, using the binary pulsar PSR1913+16 they had discovered in 1974. This was the first detection of gravitational waves, albeit indirect, for which they were awarded the 1993 Nobel Prize in physics.[91] Since then, several other binary pulsars have been found, in particular the double pulsar PSR J0737-3039, in which both stars are pulsars.[92]

Geodetic precession and frame-dragging

Several relativistic effects are directly related to the relativity of direction.[93] One is geodetic precession: the axis direction of a gyroscope in free fall in curved spacetime will change when compared, for instance, with the direction of light received from distant stars—even though such a gyroscope represents the way of keeping a direction as stable as possible ("parallel transport").[94] For the Moon–Earth system, this effect has been measured with the help of lunar laser ranging.[95] More recently, it has been measured for test masses aboard the satellite Gravity Probe B to a precision of better than 0.3%.[96][97]

Near a rotating mass, there are gravitomagnetic or frame-dragging effects. A distant observer will determine that objects close to the mass get "dragged around". This is most extreme for rotating black holes where, for any object entering a zone known as the ergosphere, rotation is inevitable.[98] Such effects can again be tested through their influence on the orientation of gyroscopes in free fall.[99] Somewhat controversial tests have been performed using the LAGEOS satellites, confirming the relativistic prediction.[100] Also the Mars Global Surveyor probe around Mars has been used.[101][102]

Astrophysical applications

Gravitational lensing

Einstein cross: four images of the same astronomical object, produced by a gravitational lens

The deflection of light by gravity is responsible for a new class of astronomical phenomena. If a massive object is situated between the astronomer and a distant target object with appropriate mass and relative distances, the astronomer will see multiple distorted images of the target. Such effects are known as gravitational lensing.[103] Depending on the configuration, scale, and mass distribution, there can be two or more images, a bright ring known as an Einstein ring, or partial rings called arcs.[104] The earliest example was discovered in 1979;[105] since then, more than a hundred gravitational lenses have been observed.[106] Even if the multiple images are too close to each other to be resolved, the effect can still be measured, e.g., as an overall brightening of the target object; a number of such "microlensing events" have been observed.[107]

Gravitational lensing has developed into a tool of observational astronomy. It is used to detect the presence and distribution of dark matter, provide a "natural telescope" for observing distant galaxies, and to obtain an independent estimate of the Hubble constant. Statistical evaluations of lensing data provide valuable insight into the structural evolution of galaxies.[108]

Gravitational wave astronomy

Artist's impression of the space-borne gravitational wave detector LISA

Observations of binary pulsars provide strong indirect evidence for the existence of gravitational waves (see Orbital decay, above). Detection of these waves is a major goal of current relativity-related research.[109] Several land-based gravitational wave detectors are currently in operation, most notably the interferometric detectors GEO 600, LIGO (two detectors), TAMA 300 and VIRGO.[110] Various pulsar timing arrays are using millisecond pulsars to detect gravitational waves in the 10−9 to 10−6 Hertz frequency range, which originate from binary supermassive blackholes.[111] A European space-based detector, eLISA / NGO, is currently under development,[112] with a precursor mission (LISA Pathfinder) having launched in December 2015.[113]

Observations of gravitational waves promise to complement observations in the electromagnetic spectrum.[114] They are expected to yield information about black holes and other dense objects such as neutron stars and white dwarfs, about certain kinds of supernova implosions, and about processes in the very early universe, including the signature of certain types of hypothetical cosmic string.[115] In February 2016, the Advanced LIGO team announced that they had detected gravitational waves from a black hole merger.[74][75][116]

Black holes and other compact objects

Whenever the ratio of an object's mass to its radius becomes sufficiently large, general relativity predicts the formation of a black hole, a region of space from which nothing, not even light, can escape. In the currently accepted models of stellar evolution, neutron stars of around 1.4 solar masses, and stellar black holes with a few to a few dozen solar masses, are thought to be the final state for the evolution of massive stars.[117] Usually a galaxy has one supermassive black hole with a few million to a few billion solar masses in its center,[118] and its presence is thought to have played an important role in the formation of the galaxy and larger cosmic structures.[119]

Simulation based on the equations of general relativity: a star collapsing to form a black hole while emitting gravitational waves

Astronomically, the most important property of compact objects is that they provide a supremely efficient mechanism for converting gravitational energy into electromagnetic radiation.[120] Accretion, the falling of dust or gaseous matter onto stellar or supermassive black holes, is thought to be responsible for some spectacularly luminous astronomical objects, notably diverse kinds of active galactic nuclei on galactic scales and stellar-size objects such as microquasars.[121] In particular, accretion can lead to relativistic jets, focused beams of highly energetic particles that are being flung into space at almost light speed.[122] General relativity plays a central role in modelling all these phenomena,[123] and observations provide strong evidence for the existence of black holes with the properties predicted by the theory.[124]

Black holes are also sought-after targets in the search for gravitational waves (cf. Gravitational waves, above). Merging black hole binaries should lead to some of the strongest gravitational wave signals reaching detectors here on Earth, and the phase directly before the merger ("chirp") could be used as a "standard candle" to deduce the distance to the merger events–and hence serve as a probe of cosmic expansion at large distances.[125] The gravitational waves produced as a stellar black hole plunges into a supermassive one should provide direct information about the supermassive black hole's geometry.[126]

Cosmology

This blue horseshoe is a distant galaxy that has been magnified and warped into a nearly complete ring by the strong gravitational pull of the massive foreground luminous red galaxy.

The current models of cosmology are based on Einstein's field equations, which include the cosmological constant Λ since it has important influence on the large-scale dynamics of the cosmos,

where is the spacetime metric.[127] Isotropic and homogeneous solutions of these enhanced equations, the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker solutions,[128] allow physicists to model a universe that has evolved over the past 14 billion years from a hot, early Big Bang phase.[129] Once a small number of parameters (for example the universe's mean matter density) have been fixed by astronomical observation,[130] further observational data can be used to put the models to the test.[131] Predictions, all successful, include the initial abundance of chemical elements formed in a period of primordial nucleosynthesis,[132] the large-scale structure of the universe,[133] and the existence and properties of a "thermal echo" from the early cosmos, the cosmic background radiation.[134]

Astronomical observations of the cosmological expansion rate allow the total amount of matter in the universe to be estimated, although the nature of that matter remains mysterious in part. About 90% of all matter appears to be dark matter, which has mass (or, equivalently, gravitational influence), but does not interact electromagnetically and, hence, cannot be observed directly.[135] There is no generally accepted description of this new kind of matter, within the framework of known particle physics[136] or otherwise.[137] Observational evidence from redshift surveys of distant supernovae and measurements of the cosmic background radiation also show that the evolution of our universe is significantly influenced by a cosmological constant resulting in an acceleration of cosmic expansion or, equivalently, by a form of energy with an unusual equation of state, known as dark energy, the nature of which remains unclear.[138]

An inflationary phase,[139] an additional phase of strongly accelerated expansion at cosmic times of around 10−33 seconds, was hypothesized in 1980 to account for several puzzling observations that were unexplained by classical cosmological models, such as the nearly perfect homogeneity of the cosmic background radiation.[140] Recent measurements of the cosmic background radiation have resulted in the first evidence for this scenario.[141] However, there is a bewildering variety of possible inflationary scenarios, which cannot be restricted by current observations.[142] An even larger question is the physics of the earliest universe, prior to the inflationary phase and close to where the classical models predict the big bang singularity. An authoritative answer would require a complete theory of quantum gravity, which has not yet been developed[143] (cf. the section on quantum gravity, below).

Time travel

Kurt Gödel showed[144] that solutions to Einstein's equations exist that contain closed timelike curves (CTCs), which allow for loops in time. The solutions require extreme physical conditions unlikely ever to occur in practice, and it remains an open question whether further laws of physics will eliminate them completely. Since then, other—similarly impractical—GR solutions containing CTCs have been found, such as the Tipler cylinder and traversable wormholes.

Advanced concepts

Causal structure and global geometry

Penrose–Carter diagram of an infinite Minkowski universe

In general relativity, no material body can catch up with or overtake a light pulse. No influence from an event A can reach any other location X before light sent out at A to X. In consequence, an exploration of all light worldlines (null geodesics) yields key information about the spacetime's causal structure. This structure can be displayed using Penrose–Carter diagrams in which infinitely large regions of space and infinite time intervals are shrunk ("compactified") so as to fit onto a finite map, while light still travels along diagonals as in standard spacetime diagrams.[145]

Aware of the importance of causal structure, Roger Penrose and others developed what is known as global geometry. In global geometry, the object of study is not one particular solution (or family of solutions) to Einstein's equations. Rather, relations that hold true for all geodesics, such as the Raychaudhuri equation, and additional non-specific assumptions about the nature of matter (usually in the form of energy conditions) are used to derive general results.[146]

Horizons

Using global geometry, some spacetimes can be shown to contain boundaries called horizons, which demarcate one region from the rest of spacetime. The best-known examples are black holes: if mass is compressed into a sufficiently compact region of space (as specified in the hoop conjecture, the relevant length scale is the Schwarzschild radius[147]), no light from inside can escape to the outside. Since no object can overtake a light pulse, all interior matter is imprisoned as well. Passage from the exterior to the interior is still possible, showing that the boundary, the black hole's horizon, is not a physical barrier.[148]

The ergosphere of a rotating black hole, which plays a key role when it comes to extracting energy from such a black hole

Early studies of black holes relied on explicit solutions of Einstein's equations, notably the spherically symmetric Schwarzschild solution (used to describe a static black hole) and the axisymmetric Kerr solution (used to describe a rotating, stationary black hole, and introducing interesting features such as the ergosphere). Using global geometry, later studies have revealed more general properties of black holes. In the long run, they are rather simple objects characterized by eleven parameters specifying energy, linear momentum, angular momentum, location at a specified time and electric charge. This is stated by the black hole uniqueness theorems: "black holes have no hair", that is, no distinguishing marks like the hairstyles of humans. Irrespective of the complexity of a gravitating object collapsing to form a black hole, the object that results (having emitted gravitational waves) is very simple.[149]

Even more remarkably, there is a general set of laws known as black hole mechanics, which is analogous to the laws of thermodynamics. For instance, by the second law of black hole mechanics, the area of the event horizon of a general black hole will never decrease with time, analogous to the entropy of a thermodynamic system. This limits the energy that can be extracted by classical means from a rotating black hole (e.g. by the Penrose process).[150] There is strong evidence that the laws of black hole mechanics are, in fact, a subset of the laws of thermodynamics, and that the black hole area is proportional to its entropy.[151] This leads to a modification of the original laws of black hole mechanics: for instance, as the second law of black hole mechanics becomes part of the second law of thermodynamics, it is possible for black hole area to decrease—as long as other processes ensure that, overall, entropy increases. As thermodynamical objects with non-zero temperature, black holes should emit thermal radiation. Semi-classical calculations indicate that indeed they do, with the surface gravity playing the role of temperature in Planck's law. This radiation is known as Hawking radiation (cf. the quantum theory section, below).[152]

There are other types of horizons. In an expanding universe, an observer may find that some regions of the past cannot be observed ("particle horizon"), and some regions of the future cannot be influenced (event horizon).[153] Even in flat Minkowski space, when described by an accelerated observer (Rindler space), there will be horizons associated with a semi-classical radiation known as Unruh radiation.[154]

Singularities

Another general feature of general relativity is the appearance of spacetime boundaries known as singularities. Spacetime can be explored by following up on timelike and lightlike geodesics—all possible ways that light and particles in free fall can travel. But some solutions of Einstein's equations have "ragged edges"—regions known as spacetime singularities, where the paths of light and falling particles come to an abrupt end, and geometry becomes ill-defined. In the more interesting cases, these are "curvature singularities", where geometrical quantities characterizing spacetime curvature, such as the Ricci scalar, take on infinite values.[155] Well-known examples of spacetimes with future singularities—where worldlines end—are the Schwarzschild solution, which describes a singularity inside an eternal static black hole,[156] or the Kerr solution with its ring-shaped singularity inside an eternal rotating black hole.[157] The Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker solutions and other spacetimes describing universes have past singularities on which worldlines begin, namely Big Bang singularities, and some have future singularities (Big Crunch) as well.[158]

Given that these examples are all highly symmetric—and thus simplified—it is tempting to conclude that the occurrence of singularities is an artifact of idealization.[159] The famous singularity theorems, proved using the methods of global geometry, say otherwise: singularities are a generic feature of general relativity, and unavoidable once the collapse of an object with realistic matter properties has proceeded beyond a certain stage[160] and also at the beginning of a wide class of expanding universes.[161] However, the theorems say little about the properties of singularities, and much of current research is devoted to characterizing these entities' generic structure (hypothesized e.g. by the BKL conjecture).[162] The cosmic censorship hypothesis states that all realistic future singularities (no perfect symmetries, matter with realistic properties) are safely hidden away behind a horizon, and thus invisible to all distant observers. While no formal proof yet exists, numerical simulations offer supporting evidence of its validity.[163]

Evolution equations

Each solution of Einstein's equation encompasses the whole history of a universe — it is not just some snapshot of how things are, but a whole, possibly matter-filled, spacetime. It describes the state of matter and geometry everywhere and at every moment in that particular universe. Due to its general covariance, Einstein's theory is not sufficient by itself to determine the time evolution of the metric tensor. It must be combined with a coordinate condition, which is analogous to gauge fixing in other field theories.[164]

To understand Einstein's equations as partial differential equations, it is helpful to formulate them in a way that describes the evolution of the universe over time. This is done in "3+1" formulations, where spacetime is split into three space dimensions and one time dimension. The best-known example is the ADM formalism.[165] These decompositions show that the spacetime evolution equations of general relativity are well-behaved: solutions always exist, and are uniquely defined, once suitable initial conditions have been specified.[166] Such formulations of Einstein's field equations are the basis of numerical relativity.[167]

Global and quasi-local quantities

The notion of evolution equations is intimately tied in with another aspect of general relativistic physics. In Einstein's theory, it turns out to be impossible to find a general definition for a seemingly simple property such as a system's total mass (or energy). The main reason is that the gravitational field—like any physical field—must be ascribed a certain energy, but that it proves to be fundamentally impossible to localize that energy.[168]

Nevertheless, there are possibilities to define a system's total mass, either using a hypothetical "infinitely distant observer" (ADM mass)[169] or suitable symmetries (Komar mass).[170] If one excludes from the system's total mass the energy being carried away to infinity by gravitational waves, the result is the Bondi mass at null infinity.[171] Just as in classical physics, it can be shown that these masses are positive.[172] Corresponding global definitions exist for momentum and angular momentum.[173] There have also been a number of attempts to define quasi-local quantities, such as the mass of an isolated system formulated using only quantities defined within a finite region of space containing that system. The hope is to obtain a quantity useful for general statements about isolated systems, such as a more precise formulation of the hoop conjecture.[174]

Relationship with quantum theory

If general relativity were considered to be one of the two pillars of modern physics, then quantum theory, the basis of understanding matter from elementary particles to solid state physics, would be the other.[175] However, how to reconcile quantum theory with general relativity is still an open question.

Quantum field theory in curved spacetime

Ordinary quantum field theories, which form the basis of modern elementary particle physics, are defined in flat Minkowski space, which is an excellent approximation when it comes to describing the behavior of microscopic particles in weak gravitational fields like those found on Earth.[176] In order to describe situations in which gravity is strong enough to influence (quantum) matter, yet not strong enough to require quantization itself, physicists have formulated quantum field theories in curved spacetime. These theories rely on general relativity to describe a curved background spacetime, and define a generalized quantum field theory to describe the behavior of quantum matter within that spacetime.[177] Using this formalism, it can be shown that black holes emit a blackbody spectrum of particles known as Hawking radiation leading to the possibility that they evaporate over time.[178] As briefly mentioned above, this radiation plays an important role for the thermodynamics of black holes.[179]

Quantum gravity

The demand for consistency between a quantum description of matter and a geometric description of spacetime,[180] as well as the appearance of singularities (where curvature length scales become microscopic), indicate the need for a full theory of quantum gravity: for an adequate description of the interior of black holes, and of the very early universe, a theory is required in which gravity and the associated geometry of spacetime are described in the language of quantum physics.[181] Despite major efforts, no complete and consistent theory of quantum gravity is currently known, even though a number of promising candidates exist.[182][183]

Projection of a Calabi–Yau manifold, one of the ways of compactifying the extra dimensions posited by string theory

Attempts to generalize ordinary quantum field theories, used in elementary particle physics to describe fundamental interactions, so as to include gravity have led to serious problems.[184] Some have argued that at low energies, this approach proves successful, in that it results in an acceptable effective (quantum) field theory of gravity.[185] At very high energies, however, the perturbative results are badly divergent and lead to models devoid of predictive power ("perturbative non-renormalizability").[186]

Simple spin network of the type used in loop quantum gravity.

One attempt to overcome these limitations is string theory, a quantum theory not of point particles, but of minute one-dimensional extended objects.[187] The theory promises to be a unified description of all particles and interactions, including gravity;[188] the price to pay is unusual features such as six extra dimensions of space in addition to the usual three.[189] In what is called the second superstring revolution, it was conjectured that both string theory and a unification of general relativity and supersymmetry known as supergravity[190] form part of a hypothesized eleven-dimensional model known as M-theory, which would constitute a uniquely defined and consistent theory of quantum gravity.[191]

Another approach starts with the canonical quantization procedures of quantum theory. Using the initial-value-formulation of general relativity (cf. evolution equations above), the result is the Wheeler–deWitt equation (an analogue of the Schrödinger equation) which, regrettably, turns out to be ill-defined without a proper ultraviolet (lattice) cutoff.[192] However, with the introduction of what are now known as Ashtekar variables,[193] this leads to a promising model known as loop quantum gravity. Space is represented by a web-like structure called a spin network, evolving over time in discrete steps.[194]

Depending on which features of general relativity and quantum theory are accepted unchanged, and on what level changes are introduced,[195] there are numerous other attempts to arrive at a viable theory of quantum gravity, some examples being the lattice theory of gravity based on the Feynman Path Integral approach and Regge Calculus,[182] dynamical triangulations,[196] causal sets,[197] twistor models[198] or the path integral based models of quantum cosmology.[199]

All candidate theories still have major formal and conceptual problems to overcome. They also face the common problem that, as yet, there is no way to put quantum gravity predictions to experimental tests (and thus to decide between the candidates where their predictions vary), although there is hope for this to change as future data from cosmological observations and particle physics experiments becomes available.[200]

Current status

Observation of gravitational waves from binary black hole merger GW150914.

General relativity has emerged as a highly successful model of gravitation and cosmology, which has so far passed many unambiguous observational and experimental tests. However, there are strong indications the theory is incomplete.[201] The problem of quantum gravity and the question of the reality of spacetime singularities remain open.[202] Observational data that is taken as evidence for dark energy and dark matter could indicate the need for new physics.[203] Even taken as is, general relativity is rich with possibilities for further exploration. Mathematical relativists seek to understand the nature of singularities and the fundamental properties of Einstein's equations,[204] while numerical relativists run increasingly powerful computer simulations (such as those describing merging black holes).[205] In February 2016, it was announced that the existence of gravitational waves was directly detected by the Advanced LIGO team on September 14, 2015.[76][206][207] A century after its introduction, general relativity remains a highly active area of research.[208]

See also

Notes

  1. ^ "GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves". Black-holes.org. Retrieved 18 April 2016.
  2. ^ a b Landau & Lifshitz 1975, p. 228 "...the general theory of relativity...was established by Einstein, and represents probably the most beautiful of all existing physical theories."
  3. ^ O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (1996), General relativity. Mathematical Physics index, School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. Retrieved 2015-02-04.
  4. ^ Pais 1982, ch. 9 to 15, Janssen 2005; an up-to-date collection of current research, including reprints of many of the original articles, is Renn 2007; an accessible overview can be found in Renn 2005, pp. 110ff. Einstein's original papers are found in Digital Einstein, volumes 4 and 6. An early key article is Einstein 1907, cf. Pais 1982, ch. 9. The publication featuring the field equations is Einstein 1915, cf. Pais 1982, ch. 11–15
  5. ^ Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b and Reissner 1916 (later complemented in Nordström 1918)
  6. ^ Einstein 1917, cf. Pais 1982, ch. 15e
  7. ^ Hubble's original article is Hubble 1929; an accessible overview is given in Singh 2004, ch. 2–4
  8. ^ As reported in Gamow 1970. Einstein's condemnation would prove to be premature, cf. the section Cosmology, below
  9. ^ Pais 1982, pp. 253–254
  10. ^ Kennefick 2005, Kennefick 2007
  11. ^ Pais 1982, ch. 16
  12. ^ Thorne, Kip (2003). The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridge University Press. p. 74. ISBN 978-0-521-82081-3. Extract of page 74
  13. ^ Israel 1987, ch. 7.8–7.10, Thorne 1994, ch. 3–9
  14. ^ Sections Orbital effects and the relativity of direction, Gravitational time dilation and frequency shift and Light deflection and gravitational time delay, and references therein
  15. ^ Section Cosmology and references therein; the historical development is in Overbye 1999
  16. ^ Wald 1984, p. 3
  17. ^ Rovelli 2015, pp. 1–6 "General relativity is not just an extraordinarily beautiful physical theory providing the best description of the gravitational interaction we have so far. It is more."
  18. ^ Chandrasekhar 1984, p. 6
  19. ^ Engler 2002
  20. ^ The following exposition re-traces that of Ehlers 1973, sec. 1
  21. ^ Arnold 1989, ch. 1
  22. ^ Ehlers 1973, pp. 5f
  23. ^ Will 1993, sec. 2.4, Will 2006, sec. 2
  24. ^ Wheeler 1990, ch. 2
  25. ^ Ehlers 1973, sec. 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. The simple thought experiment in question was first described in Heckmann & Schücking 1959
  26. ^ Ehlers 1973, pp. 10f
  27. ^ Good introductions are, in order of increasing presupposed knowledge of mathematics, Giulini 2005, Mermin 2005, and Rindler 1991; for accounts of precision experiments, cf. part IV of Ehlers & Lämmerzahl 2006
  28. ^ An in-depth comparison between the two symmetry groups can be found in Giulini 2006
  29. ^ Rindler 1991, sec. 22, Synge 1972, ch. 1 and 2
  30. ^ Ehlers 1973, sec. 2.3
  31. ^ Ehlers 1973, sec. 1.4, Schutz 1985, sec. 5.1
  32. ^ Ehlers 1973, pp. 17ff; a derivation can be found in Mermin 2005, ch. 12. For the experimental evidence, cf. the section Gravitational time dilation and frequency shift, below
  33. ^ Rindler 2001, sec. 1.13; for an elementary account, see Wheeler 1990, ch. 2; there are, however, some differences between the modern version and Einstein's original concept used in the historical derivation of general relativity, cf. Norton 1985
  34. ^ Ehlers 1973, sec. 1.4 for the experimental evidence, see once more section Gravitational time dilation and frequency shift. Choosing a different connection with non-zero torsion leads to a modified theory known as Einstein–Cartan theory
  35. ^ Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, sec. 7.2, Weinberg 1972, sec. 2.8
  36. ^ Ehlers 1973, pp. 19–22; for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
  37. ^ Kenyon 1990, sec. 7.4
  38. ^ Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
  39. ^ Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
  40. ^ At least approximately, cf. Poisson 2004
  41. ^ Wheeler 1990, p. xi
  42. ^ Wald 1984, sec. 4.4
  43. ^ Wald 1984, sec. 4.1
  44. ^ For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2007
  45. ^ section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972
  46. ^ Introductory chapters of Stephani et al. 2003
  47. ^ A review showing Einstein's equation in the broader context of other PDEs with physical significance is Geroch 1996
  48. ^ For background information and a list of solutions, cf. Stephani et al. 2003; a more recent review can be found in MacCallum 2006
  49. ^ Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
  50. ^ Narlikar 1993, ch. 4, sec. 3.3
  51. ^ Brief descriptions of these and further interesting solutions can be found in Hawking & Ellis 1973, ch. 5
  52. ^ Lehner 2002
  53. ^ For instance Wald 1984, sec. 4.4
  54. ^ Will 1993, sec. 4.1 and 4.2
  55. ^ Will 2006, sec. 3.2, Will 1993, ch. 4
  56. ^ Rindler 2001, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, pp. 196–198
  57. ^ Rindler 2001, pp. 24–26; Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 38.5
  58. ^ Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
  59. ^ Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and mo