نسبیت خاص

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
فارسیEnglish

نسبیت خاص (به انگلیسی: (SR)Special Relativity) نظریه‌ای فیزیکی دربارهٔ اندازه‌گیری در چارچوب مرجع لخت است که در سال ۱۹۰۵ میلادی توسط آلبرت اینشتین در نوشتاری با نام «درباب الکترودینامیک اجسام متحرک» مطرح شد.[۱]

گالیلئو گالیله قبلاً چنین اصلی را بیان نموده بود که تمام حرکات یکنواخت نسبی هستند و هیچ حالت سکون مطلق و تعریف شده‌ای وجود ندارد (چارچوب مرجع برتر وجود ندارد). این اصل امروزه اصل نسبیت گالیله خوانده می‌شود. انیشتین این اصل را با در نظرگرفتن پدیده سرعت ثابت نور گسترش داد؛ پدیده‌ای که به تازگی در آزمایش مایکلسون-مورلی مشاهده شده بود.[۲] او همچنین بیان نمود که این اصل برای تمام قوانین فیزیک صادق است که در آن زمان شامل قوانین مکانیک و الکترودینامیک می‌شد.[۳] این نظریه پیامدهای گسترده‌ای دارد که مورد تأیید داده‌های تجربی قرار گرفته‌اند[۴] و شامل موضوعاتی غیر شهودی همچون انقباض طول، اتساع زمان و نسبیت همزمانی است. او مفهوم کلاسیک بازه زمانی ناوردا برای دو رویداد را با مفهوم ناوردایی بازه فضازمان تعویض کرد. می‌توان با استفاده از دو اصل نسبیت خاص و ترکیب آن‌ها با سایر قوانین فیزیک به هم‌ارزی جرم و انرژی بر طبق اصل هم‌ارزی جرم و انرژی (E = mc۲) رسید که c در آن برابر با سرعت نور در خلأ است.[۵][۶] پیش‌بینی‌های نسبیت خاص با مکانیک نیوتنی در قلمرو مشترکشان همخوانی دارند. به ویژه در مورد سرعتهایی که از سرعت نور بسیار کوچکتر هستند. تأثیر نسبیت خاص هنگام بررسی اجسام در حال حرکت با سرعت‌های بسیار زیاد (نزدیک به سرعت نور) قابل توجه می‌شود؛ بنابراین نظریهٔ نسبیت همان‌طور که اصل همخوانی فیزیک ایجاب می‌کند باید نتایج مشاهدات قبلی را به شکل کامل تری بیان کند. مقایسه رابطه بین مکانیک نیوتنی و مکانیک نسبیتی همانند مقایسه بین تبدیلات لورنتس و تبدیلات گالیله است و می‌توان مطلب فوق را به بیان ریاضی به شکل زیر نمایش داد:

(تبدیلات لورنتس) = (تبدیلات گالیله) ‎

البته در نظر داشته باشید که هنگامی که c به سمت بی‌نهایت میل می‌کند (همانگونه که پیش از اثبات متناهی بودن سرعت نور پنداشته می‌شد) کسر v/c به سمت صفر می‌رود. این بدان معناست که تبدیلات لورنتس که اساس نظریهٔ نسبیت خاص هستند در سرعت‌های بسیار کم نسبت به نور، نتایج یکسانی را با معادلات گالیله که اساس نسبیت نیوتونی هستند به دست می‌دهند. نظریه نسبیت خاص به ما می‌گوید که c تنها سرعت یک پدیده مشخص نیست بلکه یکی از ویژگی‌های بنیادی شیوه‌ای است که فضا و زمان با یکدیگر به شکل فضا زمان یکپارچه گشته‌اند. یکی از پیامدهای این نظریه است که ذره‌ای که جرم لختی دارد هرگز سرعتش به سرعت نور نمی‌رسد.

واژه خاص در نسبیت خاص نشانگر حالت خاصی است که این نظریه در آن صادق است. این نظریه اصل نسبیت را تنها در مورد ویژهٔ چارچوب‌های مرجع لخت به کار برده‌است. به عبارت دیگر این‌طور پنداشته شده‌است که چارچوب‌های مرجع نسبت به یکدیگر با سرعت یکنواختی حرکت می‌کنند.[۷] انیشتین نسبیت عام را معرفی نمود و اصل نسبیت را در حالت کلی تری به کار گرفت تا برای هر چارچوبی که قادر به تغییر مختصات عمومی است، صادق باشد. این نظریه تأثیرات گرانشی را هم در نظر می‌گیرد.

این واژه امروزه کاربرد کلی تری پیدا کرده و برای ارجاع به هر موردی که در آن گرانش ناچیز است استفاده می‌شود. نسبیت عام تعمیمی بر نسبیت خاص است که گرانش را نادیده نمی‌گیرد. در نسبیت عام گرانش توسط هندسه نااقلیدسی توصیف می‌شود؛ به گونه‌ای که تأثیرات گرانشی با خمش فضازمان نمایش داده می‌شوند. نسبیت خاص تنها به فضاهای تخت محدود است. همانگونه که خمش زمین در زندگی روزمره ناچیز به نظر می‌رسد خمش فضازمان نیز در مقیاس‌های کوچک قابل صرف نظر کردن است و بنابراین به صورت محلی نسبیت خاص تقریب قابل قبولی از نسبیت عام است.[۸]

محتویات

اصول[ویرایش]

بازتابهایی از این نوع برای من روشن ساخت که تا مدتی پس از سال ،۱۹۰۰ یعنی زمان کوتاهی بعد از کار پیشگامانه پلانک، نیز نه مکانیک و نه الکترودینامیک نمی‌توانستند ادعای درستی دقیق (به جز در موارد خاص) داشته باشند. به تدریج من از امکان یافتن قوانین واقعی با استفاده از تلاشهای سازنده برپایه حقایق دانسته شده ناامید شدم. هر چه بیشتر و از جان گذشته تر تلاش می‌نمودم بیشتر به این باور نزدیک می‌شدم که تنها کشف یک اصل رسمی جهانشمول می‌تواند مارا به نتایج مطمئنی برساند… چگونه می‌شد چنین اصلی یافت؟

—آلبرت انیشتین: یادداشتهای اتوبیوگرافی [۹]

انیشتین دو پنداشت پایه‌ای مطرح نمود که به نظر می‌رسید که بدون توجه به اعتبار قوانین شناخته شده - که در آن زمان یا مکانیکی یا الکترودینامیکی بودند - قابل اطمینان باشند. این پنداشت‌ها ثابت بودن سرعت نور و دیگری استقلال قوانین فیزیکی (مخصوصا ثابت بودن سرعت نور) از دستگاه لخت انتخاب شده بود. در اولین ارائه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، وی این اصول را به صورت زیر مطرح نمود:[۱]

  • اصل نسبیت

قوانین فیزیک در تمام چارچوب‌های لَخت یکسان هستند و هیچ چهارچوب لخت مرجعی وجود ندارد.

این اصل که پیش از نسبیت خاص در نسبیت نیوتونی نیز بوده‌است بیان می‌کند که تمامی چهارچوب‌هایی که با سرعتی ثابت (بدون شتاب) حرکت می‌کنند هم ارز و یکسان هستند، بدین ترتیب هیچ چهارچوب لختی بر چهارچوب دیگر برتری یا با دیگری تفاوت ندارد.

به سخنی دیگر اصل نسبیت (با در نظر گرفتن یک شرایط ایده‌آل) می‌گوید که اگر شما در آزمایشگاه سربسته‌ای قرار داشته باشید و آن آزمایشگاه با سرعت ثابتی نسبت به زمین حرکت کند، شما با هیچ روشی نمی‌توانید تعیین کنید که سرعت‌تان نسبت به زمین چقدر است. در این بیان از اصل نسبیت، فرض شده‌است که زمین یک چارچوب لخت است (این موضوع دربارهٔ زمین به تقریب صادق است)، همچنین فرض شده‌است که شما نسبت به زمین به نرمی حرکت می‌کنید و آزمایشگاه هیچ لرزش و تکانی ندارد.

  • اصل سرعت ثابت نور

"نور همواره در فضای خالی با سرعت مشخص c منتشر می‌شود که مستقل از وضعیت حرکتی جسم منتشرکننده نور است " (از پیشگفتار)).[۱] این بدان معنی است که نور در خلأ، حداقل در یک دستگاه مختصات لخت (دستگاه ثابت) با سرعت c (مقداری ثابت که مستقل از جهت است) و بدون توجه به وضعیت حرکتی منبع نور منتشر می‌شود. سرعت نور در خلأ برای تمام ناظران لَخت ثابت و برابر c است و به حرکت چشمهٔ نور یا حرکت ناظر بستگی ندارد.

به سخنی دیگر اگر شما سوار اتومبیلی باشید که با سرعت ۵۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند و اتومبیل دیگری با سرعت ۲۰ کیلومتر بر ساعت به شما نزدیک شود، سرعت نسبی اتومبیل شما و اتومبیل مقابل تقریباً برابر با ۷۰ کیلومتر بر ساعت خواهد بود، اما بر طبق این اصل اگر چشمهٔ نوری با سرعت دلخواهی به شما نزدیک شود و شما هم با سرعت متفاوتی به سمت آن چشمه حرکت کنید باز هم سرعت نور شما همان c خواهد بود. چنین چیزی کاملاً مخالف شهود روزمرهٔ ماست.

نسبیت خاص نه تنها بر این دو اصل آشکار بلکه بر چندین پنداشت ضمنی دیگر نیز وابسته است. از جمله این پنداشت‌ها می‌توان به همسانگردی و یکنواختی فضا و استقلال ساعت‌ها و میله‌های اندازه‌گیری از تاریخ گذشته‌شان اشاره نمود.[۱۰]

به دنبال ارائه نخستین نسبیت خاص توسط انیشتین در سال ۱۹۰۵ مجموعه‌های متعددی از اصول پیشنهاد شده‌است.[۱۰] اما رایج‌ترین مجموعه اصول همچنان همان اصولی هستند که توسط انیشتین در مقاله اصلی منتشر شدند. یک نسخه ریاضی از اصل نسبیت که بعدها توسط انیشتین ارائه شد عبارت است از:

اصل نسبیت خاص: اگر سیستم مختصات K برگزیده شود به گونه‌ای که در ارتباط با آن قوانین فیزیک در ساده‌ترین حالت خود به خوبی برقرار باشند، همان قوانین در ارتباط با هر دستگاه مختصات 'K دیگری نیز که در انتقال یکنواختی نسبت به K حرکت می‌کنند به خوبی صادق خواهند بود.[۱۱]

آنری پوانکاره با اثبات اینکه تبدیلات لورنتس زیرمجموعه‌ای از گروه پوانکاره در تبدیلات تقارنی هستند، چارچوبی ریاضیاتی برای نظریه نسبیت ارائه داد. بعدها انیشتین این تبدیلات را از اصولی که ارائه داده بود استنتاج کرد.

بسیاری از مقالات انیشتین مشتقاتی از تبدیلات لورنتس بر پایه این دو اصل را نمایش می‌دهند.[۱۲]

انیشتین همواره استنتاج ناوردایی لورنتس (هسته اصلی نسبیت خاص) را تنها برپایه دو اصل نسبیت و ثابت بودن سرعت نور بنا نهاده‌است. او اینچنین می‌نویسد:

بینش پایه‌ای در نظریه نسبیت خاص این است: پنداشتهای نسبیت و ناوردایی سرعت نور در صورتی سازگار هستند که اصولی که برای تغییر مختصاتها و زمان‌های رخدادها بنا می‌شوند روابطی از یک نوع جدید ("تبدیلات لورنتس") باشند… از اصل جهانی نظریه خاص نسبیت درون این اصل قرار دارد: قوانین فیزیک نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا هستند (برای انتقال از یک دستگاه لخت به هر دستگاه لخت دلخواه دیگری که مورد نظر باشد). این یک اصل محدودکننده برای قوانین طبیعی است…[۹]

از این روی بسیاری از شکل‌های امروزی نظریه نسبیت تنها آن را بر پایه اصل جهانی هم وردایی لورنتس یا هم ارز آن یعنی اصل فضای مینکوفسکی، بنا می‌نهند.[۱۳][۱۴]

با استفاده از اصل نسبیت به تنهایی و بدون فرض ثابت بودن سرعت نور (یعنی با استفاده از همسانگردی فضا و تقارنی که از اصل نسبیت خاص نتیجه می‌شود) می‌توان نشان داد که تبدیلات فضازمان بین چارچوب‌های لخت یکی از سه نوع اقلیدسی، گالیله‌ای یا لورنتسی هستند. در مورد تبدیلات لورنتسی می‌توان به پایستگی بازه نسبیتی و یک محدودیت سرعت متناهی به دست آورد. آزمایش‌ها نشان می‌دهند که این حد سرعت برابر سرعت نور در خلأ می‌باشد.[۱۵][۱۶]

انگیزه‌هایی که اندیشه ثابت بودن سرعت نور را به ارمغان آوردند، نظریه الکترومغناطیس ماکسول و نبود شواهد تجربی برای وجود اتر بودند. شواهد متناقضی در مورد اینکه تا چه حد انیشتین از نتیجه آزمایش آزمایش مایکلسون-مورلی تأثیر گرفته در دست است.[۱۷][۱۸] به هر ترتیب نتیجه آزمایش میکلسون-مورلی کمک کرد تا مفهوم ثابت بودن سرعت نور مورد پذیرش گسترده و سریعی قرار گیرد.

نبود چارچوب مرجع مطلق[ویرایش]

اصل نسبیت که بیان می‌دارد هیچ دستگاه مرجع لخت برتری وجود ندارد، در حقیقت به زمان گالیله برمی گردد و درون فیزیک نیوتنی نیز راه داشته‌است. اما در اواخر قرن نوزدهم وجود امواج الکترومغناطیسی فیزیکدانان را برآن داشت تا پیشنهاد دهند که جهان از ماده‌ای به نام اتر پر شده‌است که همچون رسانه‌ای عمل می‌کند که امواج و ارتعاشات از آن می‌گذرند. گمان می‌شد که اتر چارچوب مرجع مطلق است که سرعتها را می‌توان بر اساس آن اندازه گرفت و خود آن بدون حرکت و ثابت است. خواص جالبی برای اتر پنداشته می‌شد: به اندازه کافی کشسان بود که بتواند امواج الکترومغناطیسی را پشتیبانی کند و این امواج می‌توانستند با ماده برهم کنش داشته باشند، با این وجود اتر در مقابل گذر اجسام از خود مقاومتی نشان نمی‌داد. نتایج آزمایش‌های مختلف و از جمله آزمایش مایکلسون-مورلی گویای این بودند که زمین همواره نسبت به اتر ثابت می‌ماند. چیزی که توضیح آن مشکل بود زیرا زمین در مداری به دور خورشید می‌گردد. راه حل انیشتین این بود که مفهوم اتر و حالت سکون مطلق را کنار بگذارد. نسبیت خاص به گونه‌ای فرمولبندی شده که هیچ چارچوب مرجعی را ویژه نمی‌داند؛ بلکه در نسبیت هر چارچوب مرجعی که با سرعت یکنواخت حرکت کند همین قوانین فیزیک را مشاهده خواهد کرد. به‌طور ویژه سرعت نور در خلأ همواره در اندازه‌گیری‌ها برابر c است، حتی وقتی که توسط چندین دستگاه مختلف که با سرعتهای متفاوت اما یکنواختی حرکت می‌کنند.

چارچوب‌های مرجع، مختصات‌ها و تبدیلات لورنتس[ویرایش]

ترسیمی از یک مخروط نوری

نسبیت بر پایه مفهوم «چارچوب‌های مرجع» استوار است. در اینجا منظور از واژه چارچوب مرجع، یک ژرفانمایی (پرسپکتیو) مشاهده‌ای در فضاست که تغییری در حرکت آن رخ نمی‌دهد (شتاب ندارد) که از طریق آن می‌توان یک موقعیت را در امتداد سه محور فضایی اندازه گرفت. افزون بر این یک چارچوب مرجع توانایی تعیین زمان رویدادها از طریق یک 'ساعت' (هر دستگاه مرجعی با تناوب یکنواخت) را دارد.

یک رویداد، اتفاقی است که می‌توان یک زمان یکتا را به مکانی در فضا نسبت به یک چارچوب مرجع، نسبت داد: «نقطه» ای در فضازمان. از آنجاییکه سرعت نور در نسبیت در همه چارچوب‌های مرجع ثابت است، می‌توان از پالس‌های نور برای اندازه‌گیری مطمئن فاصله‌ها و ارجاع به زمان‌هایی که رویدادها برای ساعت اتفاق افتاده‌اند استفاده نمود. اگرچه که برای نور هم‌زمانی پس از شروع رویداد طول خواهد کشید تا به ساعت برسد.

مثلاً انفجار یک ترقه را می‌توان یک «رویداد» در نظر گرفت. می‌توان یک رویداد را با استفاده از چهار مختصات فضازمان آن مشخص نمود. زمان رویداد و مکان فضایی سه بعدی اش یک نقطه مرجع می‌سازند. این چارچوب مرجع را S می‌نامیم. در نسبیت اغلب به محاسبه موقعیت یک نقطه از یک نقطه مرجع دیگر علاقه‌مندیم. فرض کنید که چارچوب مرجع دومی به نام ′S داریم که محورهای فضایی و ساعتش با محورهای فضایی و ساعت S در زمان صفر هم‌زمان و هم‌مکان بوده‌اند، اما با سرعت ثابت v نسبت به S در امتداد محور ایکس‌ها حرکت می‌کند.

از آنجا که در نظریه نسبیت هیچ چارچوب مرجع مطلقی وجود ندارد، مفهوم مؤکدی از «حرکت» نیز وجود ندارد زیرا همه چیز همواره نسبت به چارچوب مرجع دیگری در حرکت است. به جای آن هرگاه دو چارچوب مرجع که باسرعت یکسان در جهت یکسان حرکت کنند، به آن حرکت همراه گفته می‌شود؛ بنابراین S و′S حرکت همراه ندارند. برای رویدادها مختصات فضازمان (t,x،y,z) در دستگاه S و (′t′,x′,y′,z) در دستگاه ′S تعریف می‌کنیم. تبدیل لورنتس بیان می‌کند که این دو مختصات به شیوه زیر در ارتباط هستند:

که در آن را فاکتور لورنتس می‌نامند و . c سرعت نور در خلأ است و و سرعت v دستگاه ′S در راستای محور xهاست. مختصات y,z تغییری نمی‌کنند و تنها مختصات x , t تبدیل می‌شوند. این تبدیلات لورنتس یک گروه تک پارامتر از نگاشت‌های خطی تشکیل می‌دهند که به آن پارامتر تندی (به انگلیسی: rapidity) می‌گویند. کمیتی که نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا باشد را کمیت نرده‌ای لورنتس می‌نامند.

چنانچه تبدیلات لورنتس و معکوسشان را برحسب اختلاف مختصاتها بنویسیم به گونه‌ای که مثلاً مختصات یک رویداد (x۱, t۱) and (x۱, t۱) باشد، مختصات رویداد دیگر (x۲, t۲) خواهد بود و (x۲, t۲) و اختلاف‌ها را به صورت زیر تعریف کنیم

به روابط زیر می‌رسیم

تبدیلات لورنتس که توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی هندریک لورنتس با استفاده از روابط هندسی و دو فرض همسانگرد و همگن بودن فضا برای توجیه نظریهٔ اتر به دست آمد اساس نظریهٔ نسبیت خاص می‌باشد. همسانگرد بودن فضا بدین معناست که خواص آن در تمامی جهات یکسان است. همگن بودن فضا بدین معناست که خواص فضا به نقطه‌ای که شما در آن قرار دارید بستگی ندارد. فرض همسانگرد بودن فضا به ما اجازه می‌دهد که بتوانیم حرکت ذره را در راستای محور xها بررسی کنیم (یعنی از راستاهای y و z برای خلاصه سازی چشم پوشی کنیم)، فرض همگن بودن فضا تضمین می‌کند که این معادلات حتماً درجه اول هستند، یعنی تنها توان اول متغیرهای ما می‌توانند دخالت داشته باشند. (چون اگر به توان دوم یا درجات بالاتر بستگی داشته باشند اثبات می‌شود که آنگاه طول یک میله بستگی به نقطه‌ای از فضا که میله در آن قرار گرفته‌است دارد، یعنی مثلاً یک میله که بدون حرکت در ارتفاع ۵ متری قرار دارد با هنگامی که همان میله بدون حرکت در ارتفاع ۳ متری قرار دارد طول متفاوتی دارد و این خلاف شهود ماست)

نکته جالب توجه این است که این معادلات پیش از چاپ مقالهٔ آلبرت انیشتین در رابطه با الکترودینامیک در اجسام متحرک به دست آمده بود اما فرض وجود اتر و فضایی برای انتشار امواج الکترومغناطیس به قدری قوی بود که این تبدیلات به عنوان تلاشی برای اصلاح آن فرضیه عنوان شد. چند سال بعد انیشتین به گونهٔ دیگری با استفاده از دو پنداشتی که در پیش گفته شد به تبدیلات لورنتس رسید! همانگونه که خود انیشتین نیز گفته‌است: «تمامی نتایج نسبیت خاص می‌توانند از تبدیلات لورنتس به دست آیند.»

پیامدهای ناشی از تبدیلات لورنتس[ویرایش]

دو اصل موضوع نسبیت خاص به همراه فرض‌های دیگری، مانند همگن و همسانگرد بودن فضا، منجر به نتایجی می‌شوند که همانند خودِ این اصل موضوع‌ها خلاف شهود و تجربه‌های روزمرهٔ ما هستند. با وجود این، این پیامدها بارها در آزمایش‌های گوناگون آزموده شده و مورد تأیید قرار گرفته‌اند. امروزه نسبیت خاص کاملاً پذیرفته شده‌است و جزئی از دانش عملی هر فیزیکدانی به‌شمار می‌آید. پیامدهای نسبیت خاص از تبدیلات لورنتس نتیجه می‌شوند.[۱۹] این تبدیلات و پیرو آن نظریه نسبیت خاص در مواردی که سرعتهای نسبی با سرعت نور قابل مقایسه می‌شوند نتایجی متفاوت با مکانیک نیوتنی تولید می‌کنند. سرعت نور بسیار بزرگتر از هرچیزی است که انسان‌ها با آن سر و کار دارند از این رو آثاری که توسط نسبیت خاص پیش‌بینی شده‌اند در آغاز خلاف شهود به نظر می‌رسند.

نسبی بودن هم‌زمانی[ویرایش]

رویداد A با B در چارچوب مرجع سبز هم‌زمان است، اما در چارچوب آبی قبل و در چارچوب قرمز بعد از B رخ می‌دهد.

دو رویداد در مکان‌های متفاوت که در چارچوب مرجع یک ناظر لخت هم‌زمان رخ می‌دهند، ممکن است در چارچوب مرجع یک ناظر لخت دیگر غیر هم‌زمان باشند. (نبود هم‌زمانی مطلق) اگر یک ناظر لخت دو پدیدهٔ آ و ب را هم‌زمان ببیند، ناظر لخت دیگری که با سرعت نسبت به ناظر اول حرکت می‌کند، بسته به شرایط ممکن است پدیدهٔ آ را زودتر، هم‌زمان، یا دیرتر از پدیدهٔ ب ببیند. هم‌زمانی در نسبیت خاص معنای مطلق و نیوتنی خود را از دست می‌دهد و پدیده‌ای نسبی می‌شود.

از معادله اول تبدیلات لورنتس بر حسب تغییر مختصات‌ها داریم:

واضح است که دو رویداد که در چارچوب S هم‌زمان هستند (شرط Δt = ۰ صادق است)، الزاماً در دستگاه لخت دیگر ′S هم‌زمان نیستند. تنها در صورتی که این رویدادها در چارچوب S هم مکان باشند (شرط Δx = ۰ صادق باشد) در در دستگاه لخت دیگر ′S نیز هم‌زمان خواهند بود.

انقباض طول[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: انقباض طول ابعاد (مانند طول) یک شیء که توسط یک ناظر اندازه‌گیری می‌شوند ممکن است از نتایج اندازه‌گیری یک ناظر دیگر کوچکتر باشند.

مثلاً در نظر بگیرید که میله‌ای در یک سیستم نامشخص S در حال سکون و در امتداد محور x قرارگرفته‌است. در این دستگاه طول میله اندازه‌گیری شده Δx است. برای اندازه‌گیری طول این میله در دستگاه 'S که در آن ساعت در حال حرکت است، فواصل ′x تا نقاط انتهایی میله باید هم‌زمان اندازه‌گیری شوند. به عبارت دیگر ویژگی اندازه‌گیری این است که Δt′ = ۰ که می‌توان آن را با معادله چهارم ترکیب کرد و رابطه بین Δx و ′Δx را به دست آورد

برای رویدادهایی که

نتیجه می‌شود که یک میله که در راستای طول خود در حرکت است، به چشم یک ناظر ساکن، کوتاه‌تر به نظر می‌رسد. به زبان ریاضی:

طول میله از دید ناظر 'S است که با سرعت نسبت به چارچوب S که میله در آن ساکن است، حرکت می‌کند. طول میله در چارچوب سکون S است.

اتساع زمان[ویرایش]

مقالهٔ اصلی:اتساع زمان

بازه زمانی بین دو رویداد از یک ناظر به ناظر دیگر ثابت نیست. بلکه به سرعت نسبی چارچوب‌های مرجع ناظرها بستگی دارد.

ساعتی را در نظر بگیرید که در دستگاه غیر ویژه S در حالت سکون قراردارد؛ بنابراین بین دو تیک متوالی ساعت Δx = ۰ خواهد بود. برای اینکه رابطه بین زمان‌های اندازه‌گیری شده بین تیک‌ها در هر دستگاه را بیابیم، می‌توانیم از معادله اول استفاده کنیم:

برای رویدادهایی که

این نشان می‌دهد که زمان ('Δt) بین دو تیک در دستگاهی که در آن ساعت حرکت می‌کند('S) طولانی‌تر از زمان (Δt) بین تیک‌ها که با ساعت چارچوب در حال سکون(S) اندازه‌گیری شده، خواهد بود. اتساع زمان شماری از پدیده‌های فیزیکی را توضیح می‌دهد. مثلاً می‌توان به کاهش نرخ میون‌های تولید شده توسط پرتوهای کیهانی در برخورد با جو زمین شاره کرد.[۲۰]

اگر ناظر S یک بازهٔ زمانی را اندازه بگیرد، ناظر 'S همان بازهٔ زمانی را اندازه می‌گیرد:

یعنی ناظر متحرک آن بازه را طولانی‌تر می‌بیند.

ترکیب سرعتها[ویرایش]

افزودن سرعتها چندان ساده نیست. اگر ناظر در S جسمی را در حال حرکت در امتداد محور x با سرعت u اندازه‌گیری نماید، ناظری که در دستگاه ′S (چارچوب مرجعی که نسبت به S با سرعت v در امتداد محور x حرکت می‌کند) قرار دارد جسم را در حال حرکت با سرعت 'u اندازه‌گیری خواهد کرد که با استفاده از تبدیلات لورنتس برای چارچوب ′S داریم

و در چارچوب S:

در نظر داشته باشید که اگر اجسام در چارچوب S در حال حرکت با سرعت نور بودند (u = c) در چارچوب دیگر 'S نیز با سرعت نور حرکت می‌کردند. همچنین اگر هر دو سرعت u و v نسبت به سرعت نور کوچک باشند به تبدیل شهودی تر گالیله‌ای برای سرعتها برمی گردیم.

مثالی که معمولاً در این مورد زده می‌شود مثال قطاری است (چارچوب S در بالا) که با سرعت v نسبت به ریلها (چارچوب S′) حرکت می‌کند. کودکی درون قطار توپ بیسبالی را به سمت شرق با سرعت u نسبت به قطار پرتاب می‌کند. در فیزیک کلاسیک ناظری که در حال سکون روی ریلها قرار دارد سرعت توپ بیسبال را

u = u′ + v

اندازه‌گیری خواهد نمود. در حالیکه در نسبیت خاص این درست نیست بلکه سرعت توپ بیسبال از معادله دوم به دست می‌آید:

(u = (u′ + v)/(1 + uv/c۲

سایر پیامدها[ویرایش]

چرخش توماس[ویرایش]

جهت‌گیری یک جسم (یعنی امتداد محورهایش نسبت به محورهای ناظر) برای ناظرین مختلف ممکن است متفاوت باشد. بر خلاف سایر آثار نسبیتی این پدیده در سرعتهای نسبتاً پایین هم مشخص می‌شود همان‌طور که در چرخش ذرات متحرک مشاهده می‌شود.

هم‌ارزی جرم و انرژی[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: هم‌ارزی جرم و انرژی چنانچه سرعت یک جسم از دید یک ناظر به سرعت نور نزدیک گردد، جرم نسبیتی آن افزایش می‌یابد و از دید چارچوب مرجع ناظر، شتاب گرفتن جسم هر لحظه دشوارتر و دشوارتر به نظر خواهد رسید.

محتوای انرژی جسمی در حال سکون با جرم m برابر با mc۲ است. پایستگی انرژی ایجاب می‌نماید که در هر واکنشی کاهش در مجموع جرم ذرات باید با افزایش در انرژی جنبشی ذرات پس از واکنش همراه باشد؛ و متشابها با کاهش انرژی جنبشی، جرم ذرات افزایش می‌یابد.

افزون بر مقالاتی که در بالا به آن‌ها ارجاع داده شد، انیشتین حداقل چهار مقاله دیگر هم در مورد مباحث اکتشافی در مورد هم‌ارزی جرم و انرژی با رابطه E = mc۲ منتشر نمود.

هم‌ارزی جرم و انرژی از نتایج نسبیت خاص است. انرژی و تکانه که در مکانیک نیوتنی مجزا هستند، در نسبیت یک چهار-بردار تشکیل می‌دهند و بدین ترتیب مولفه زمان (انرژی) و مولفه مکان (تکانه) رابطه‌ای غیر بدیهی با یکدیگر خواهند داشت. برای شیئی که در حال سکون است، جهار-بردار انرژی-تکانه عبارت است از (E, ۰، ۰، ۰): یک مولفه زمان دارد که انرژی است و سه مولفه مکان که صفر هستندبا تغییر چارچوب از طریق تبدیل لورنتز در جهت x با سرعت کوچک v چهار-بردار انرژی-تکانه برابر (E, Ev/c۲, ۰، ۰) می‌گردد. تکانه برابر است با انرژی ضربدر سرعت تقسیم بر c۲. به این ترتیب جرم نیوتنی یک جسم که نسبت تکانه به سرعت است برابر با E/c۲ خواهد بود.

تکانه و انرژی از ویژگی‌های ماده و تابش هستند و غیرممکن است که بتوانیم تنها با استفاده از دو اصل نسبیت خاص بتوانیم نتیجه بگیریم که این دو تشکیل یک چهار-بردار می‌دهند. زیرا این اصول در مورد ماده و تابش حرفی نمی‌زنند و تنها از زمان و فضا سخن می‌گویند؛ بنابراین برای رسیدن به این نتیجه به استدلال فیزیکی بیشتری نیازمندیم. در مقاله سال ۱۹۰۵ خود انیشتین از اصول اضافه‌ای استفاده کرد که در مکانیک نیوتنی هم برای سرعتهای پایین صادق هستند، مثل اینکه در سرعتهای پایین تنها یک کمیت نرده‌ای انرژی و سه بردار تکانه وجود دارند و قانون پایستگی انرژی و تکانه دقیقاً در نسبیت صادق است. علاوه بر این او فرض نمود که انرژی نور نیز مانند بسامدش با همان فاکتور انتقال دوپلر تغییر می‌کند که قبلاً درستی آن را با استفاده از معادلات ماکسول نشان داده بود.[۱] نخستین مقاله انیشتین در این موضوع، مقاله "آیا لختی یک جسم به محتوای انرژی اش وابسته است؟" بود که در سال ۱۹۰۵ منتشر گردید.[۲۱] گرچه بحث‌های انیشتین در این مقاله تقریباً مورد پذیرش همگانی فیزیکدانان قرار گرفته‌است، اما نویسندگان بسیاری نیز در طول سال‌ها پیشنهاد داده‌اند که ممکن است این بحث‌ها نادرست باشند.[۲۲] سایر نویسندگان نیز بر این باورند که چون این بحث‌ها بر پایه فرض‌های ضمنی بنا شده‌اند، بی‌نتیجه‌اند.[۲۳]

انیشتین وجود اختلاف نظر در مورد نتیجه گیریهایش را در مقاله‌ای در مورد نسبیت خاص در سال ۱۹۰۷ پذیرفته بود. در این مقاله او عنوان می‌کند که تکیه بر معادلات ماکسول برای بحث اکتشافی جرم انرژی مشکل زاست. بحث او در مقاله سال ۱۹۰۵ می‌تواند در مورد تابش هر ذره بدون جرمی برقرار باشد اما معادلات ماکسول به‌طور ضمنی مورد استفاده قرار گرفته‌اند تا مشخص شود که تابش نور می‌تواند تنها با انجام کار صورت گیرد. برای تابش امواج الکترومغناطیس تنها چیزی که باید انجام شود تکان دادن یک ذره باردار است و این همان انجام کار است و در نتیجه تابش ناشی از انرژی است.[۲۴][۲۵]

یک انسان تا چه اندازه می‌تواند از زمین دور گردد؟[ویرایش]

از آنجا که هیچ‌کس نمی‌تواند سریعتر از نور حرکت کند، ممکن است این گونه نتیجه‌گیری کنیم که اگر عمر مفید انسان را بین ۲۰ تا ۶۰ سال در نظر بگیریم، یک انسان نمی‌تواند بیشتر از ۴۰ سال نوری از زمین دور شود. اما این نتیجه‌گیری اشتباه است. به دلیل اتساع زمان یک سفینه خیالی می‌تواند در طول عمر مفید خلبان آن هزاران سال نوری را بپیماید. اگر سفینه طوری ساخته شود که با شتاب ثابت ۱g حرکت کند، در کمتر از یک سال سرعت آن برای ناظر زمینی تقریباً به سرعت نور می‌رسد. اتساع زمان عمر فرد را از دید ناظر زمینی افزایش می‌دهد اما ساعتی که با خلبان سفر می‌کند چنین تغییری نخواهد داشت. مردم روی زمین زمان بیشتری را نسبت به وی تجربه خواهند کرد یک سفر ۵ ساله وی ½۶ سال در زمین به طول می‌انجامد و مسافتی برابر ۶ سال نوری را طی خواهد کرد. یک سفر ۲۰ ساله برای وی (۵ سال شتاب گرفتن و ۵ سال کاهش سرعت، هرکدام دوبار) ۳۵۵ سال زمینی به طول می‌انجامد و در این مدت مسافت ۳۳۱ سال نوری را طی خواهد نمود.[۲۶] یک سفر ۴۰ ساله کامل با شتاب g در روی زمین ۵۸۰۰۰ سال به طول می‌انجامد و ۵۵۰۰۰ سال نوری را پوشش می‌دهد. یک سفر ۴۰ ساله با شتاب ۱٫۱g به مدت ۱۴۸۰۰۰ سال زمینی به طول می‌انجامد و مسافتی برابر ۱۴۰۰۰۰ سال نوری را پوشش خواهد داد. دلیل اینکه میونی که نزدیک به سرعت نور حرکت می‌کند مسافتی بیشتر از c ضرب‌در نیمه‌عمر آن طی می‌کند نیز همین پدیده اتساع زمان است.[۲۷]

علیت و ممنوعیت حرکت سریعتر از نور[ویرایش]

مخروط نور

در نمودار شکل مخروط نور، بازه AB یک 'زمان واره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و B در یک نقطه مکانی از فضا رخ می‌دهند و تنها از طریق رخ دادن در زمان‌های مختلف از هم جدا می‌گردند. اگر در آن چارچوب A پیش از B رخ دهد در تمام چارچوب‌ها A پیش از B رخ خواهد داد. به صورت فرضی، ماده (یا اطلاعات) می‌تواند از A به B حرکت کند پس می‌تواند رابطه علیتی بین A و B وجود داشته باشد. (A علت و B معلول)

بازه AC در همان شکل یک 'فضاواره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و C در یک زمان رخ می‌دهندو تنها از نظر مکان از هم جدا هستند. در برخی چارچوب‌ها A پیش از C رخ می‌دهد و در برخی A پس از C رخ می‌دهد. اگر امکان این بود که رابطه علیتی بین A و C به وجود آید، با پارادوکس‌های علیت برخورد می‌کردیم. مثلاً اگر A علت باشد و C معلول، چارچوب‌های مرجعی وجود خواهند داشت که در آن‌ها معلول از علت از نظر زمانی پیشی می‌گیرد. اگر چه این به خودی خود پارادوکسی را پدیدنمی‌آورد، اما می‌توان نشان داد[۲۸][۲۹] که سیگنال‌هایی که سریعتر از نور فرستاده شوند می‌توانند به گذشته فرد برگردند. اگر فرد سیگنال را تنها در صورتی بفرستد که هیچ سیگنالی در گذشته دریافت نکرده باشد به یک پارادوکس علیتی می‌رسیم.

بنابراین برای حفظ علیت، یکی از پیامدهای نسبیت خاص این است که هیچ سیگنال اطلاعاتی یا جسم مادی نمی‌تواند سریعتر از سرعت نور در خلاء حرکت کند. با این حال برخی «چیزها» می‌توانند سریعتر از نور حرکت کنند. مثلاً مکانی که پرتو یک نورافکن به پایین ابرها برخورد می‌کند وقتی که نورافکن سریع می‌گردد می‌تواند سریعتر از نور حرکت کند.[۳۰]

حتی بدون در نظر گرفتن علیت هم دلایل دیگری نیز برای اینکه چرا در نسبیت خاص سرعتهای بیشتر از نور ممنوع است وجود دارد. مثلاً اگر نیروی ثابتی برای مدت نامحدودی به جسمی وارد شود، اگر از F = dp/dt انتگرال بگیریم، تکانه‌ای به دست می‌آوریم که بدون مرز رشد می‌کند. دلیل این امر این است که وقتی به c میل می‌کند، به بی‌نهایت میل خواهد کرد. از دید ناظری که در حرکت شتابدار نیست، به نظر خواهد رسید که لختی جسم در حال افزایش است و از این رو همان نیرو شتاب کمتری ایجاد می‌نماید. این رفتار در شتاب‌دهنده‌های ذرات مشاهده شده‌است.

گونتر نیمتز و پتریسا اکل در مطالعات تجربی و نظری در مورد تونل‌زنی کوانتومی ادعا نمودند که سیگنال‌ها ممکن است تحت شرایط خاصی سریعتر از نور حرکت کنند.[۳۱][۳۲][۳۳][۳۴] مشاهده شد که سیگنال‌های دیجیتال فیبری با سرعتی در حدود پنج برابر سرعت نور و یک الکترون در تونلی با زمان صفر اطلاعات یونیزه شدن را منتقل نمود به گونه‌ای که فوتون‌ها، فونون‌ها و الکترون‌ها زمان صفر را در مانع تونل زنی گذراندند. بنا بر نیمتز و اکل، این فرایند تنها علیت انیشتین و نسبیت خاص را نقض می‌کند و علیت پایه‌ای را نقض نمی‌کند: انتشار با سرعت بیشتر از نور باعث سفر در زمان نمی‌شود.[۳۵][۳۶] ادعای نیمتز توسط بسیاری از دانشمندان رد یا مورد بحث قرارگرفته‌است.[۳۷][۳۸][۳۹][۴۰]

هندسه فضازمان[ویرایش]

مقایسه بین فضای تخت اقلیدسی و فضای مینکوفسکی[ویرایش]

مقایسه تعامد و چرخش در دستگاه‌های مختصات بین چپ: فضای اقلیدسی از طریق زاویه چرخشی φ, راست: in فضازمان مینکوفسکی از طریق زاویه هایپربولیک φ (خطوط قرمز با برچسب c جهان‌خط‌های سیگنال نور را مشخص می‌کنند، یک بردار بر خودش عمود است اگر روی این خطوط قرار گیرد).[۴۱]

نسبیت خاص از یک فضای مینکوفسکی تخت چهاربعدی - مثالی از یک فضازمان - استفاده می‌کند. فضای مینکوفسکی بسیار به فضای اقلیدسی سه بعدی استاندارد شبیه است اما در مورد زمان یک تفاوت اساسی با آن دارد.

در فضای سه بعدی دیفرانسیل فاصله (عنصر خط) ds در رابطه زیر تعریف می‌شود

که در آن (dx = (dx۱, dx۲, dx۳ دیفرانسیل‌های سه بعد فضایی هستند. در هندسه مینکوفسکی یک بعد اضافه با مختصات x۰ دارد که از زمان ناشی می‌شود، به گونه‌ای که دیفرانسیل فاصله در رابطه زیر صدق کند

که در آن (dx = (dx۰, dx۱, dx۲, dx۳ دیفرانسیل‌های چهار بعد فضازمان هستند. این موضوع بینش نظری عمیقی دربردارد: نسبیت خاص به سادگی یک تقارن چرخشی از فضازمان ماست که قابل مقایسه با تقارن چرخشی در فضای اقلیدسی است.[۴۲] همان‌طور که فضای اقلیدسی از متریک اقلیدسی استفاده می‌کند، فضازمان نیز از یک متریک مینکوفسکی استفاده می‌کند. اساساً می‌توان نسبیت خاص را ناوردایی هر بازه فضازمان (که در واقع فاصله چهاربعدی بین دو رویداد در فضازمان است) از دید ناظری در هر چارچوب مرجع لخت دلخواه تعریف کرد. تمام معادلات و تأثیرات نسبیت خاص را می‌توان از تقارن چرخشی (گروه پوانکاره) فضازمان مینکوفسکی نتیجه گرفت.

شکل واقعی ds به متریک و مختصات x۰ انتخاب شده بستگی دارد. برای اینکه مختصات را شبیه مختصات فضا بکنیم می‌توان آن را به عنوان یک عدد موهومی در نظر گرفت: x۰ = ict. میستر، تورن و ویلر در کتاب «گرانش» (۱۹۷۱، §۲٫۳) خود چنین می‌نویسند که سرانجام درک ژرف تری از هر دو نظریه نسبیت عام و خاص از طریق متریک مینکوفسکی وبا در نظرگرفتن x۰ = ct به جای یک متریک اقلیدسی نقاب زده با مقدار ict به عنوان مختصات زمان، حاصل خواهد شد.

فضازمان سه بعدی[ویرایش]

Three dimensional dual-cone.
کره فضایی پوچ.

اگر یکی از ابعاد فضایی را کاهش دهیم تا بتوانیم فیزیک را فضای سه بعدی نمایش دهیم

خواهیم دید که ژئودزیک‌های پوچ در امتداد یک مخروط دو تایی (در شکل سمت راست) به معادله زیر قرارمی‌گیرند

ویا به سادگی

که معادله یک دایره به شعاع c dt است.

فضازمان چهار بعدی[ویرایش]

اگر آن را به سه بعد فضایی افزایش دهیم، ژئودزیک‌های پوچ مخروط‌های چهاربعدی هستند.

بنابراین

این مخروط دوتایی پوچ «خط دید» را در نقطه‌ای از فضا مشخص می‌کند، به این معنی که وقتی به ستارگان نگاه می‌کنیم و می‌گوییم «نوری که از ستاره به من می‌رسد X سال عمر دارد»، در واقع ما در امتداد این خط دید را نگاه می‌کنیم:یک ژئودزیک پوچ. ما به رویدادی در فاصله و در یک زمان d/c در گذشته می‌نگریم. به همین دلیل مخروط دوتایی پوچ «مخروط نور» نیز نامیده می‌شود.

مخروط در ناحیه t− اطلاعاتی است که نقطه دریافت می‌کند و مخروط ناحیه t+ اطلاعاتی است که نقطه می‌فرستد.

فضای مینکوفسکی را می‌توان با استفاده از نمودارهای مینکوفسکی نمایش داد که در فهمیدن بسیاری از آزمایش‌های فکری در نسبیت خاص نیز کارساز هستند.

فیزیک در فضازمان[ویرایش]

معادلات نسبیت خاص را می‌توان به شکل هم وردای آشکار(به انگلیسی: Manifestly Covariant) نوشت (که در آن همه عبارتها تنسور هستند). موقعیت یک رویداد در فضازمان را توسط یک چهار-بردار پادوَردا (به انگلیسی: Contravariant four vectr) با مؤلفه‌های

نمایش می‌دهند. ما x۰ = ct را تعریف می‌کنیم تا مختصات زمانهمان بعد فاصله‌ای را داشته باشد که سایر ابعاد فضایی دارند تا بدین وسیله برخورد یکسانی با فضا و زمان داشته باشیم.[۴۳][۴۴][۴۵] بالانویس‌ها در این بخش نمایشگر اندیس‌های پادورداها هستند و نه توان؛ مگر در مواردی که مربع یک عبارت را مشخص می‌نمایند. زیرنویس‌ها نمایشگر اندیس‌های همورداها هستند که مقادیری از ۰ تا ۳ می‌گیرند، مانند چهار-گرادیان میدان نرده‌ای φ:

تبدیلات کمیتهای فیزیکی بین چارچوب‌های مرجع[ویرایش]

تبدیلات مختصات بین چارچوب‌های مرجع لخت توسط تنسور تبدیلات لورنتس Λ به دست می‌آید. برای مورد خاص حرکت در امتداد محور x:

که به سادگی ماتریس یک بالابردن (مانند چرخش) بین مختصات‌های x و ct است که در آن 'μ ردیف و ν ستون را نشان می‌دهند و

تبدیل یک چهار-بردار از یک چارچوب لخت به دیگری (برای سادگی انتقال‌ها را نادیده می‌گیریم) با تبدیلات لورنتس به دست می‌آید:

در جاییکه یک جمع زدن ضمنی 'μ و 'ν از ۰ تا ۳ نیز موجود باشد. تبدیل معکوس به صورت زیر خواهد بود:

که در آن ماتریس دوجانبه است.

در ورد تبدیلات لورنتس بالا در راستای x:

به صورت عمومی تر بیشتر کمیتهای فیزیکی به بهترین شکل توسط (مولفه‌های) تنسورها توصیف می‌شوند؛ بنابراین برای تبدیل از یک چارچوب به دیگری از قانون مشهور تبدیل تنسور استفاده می‌کنیم.[۴۶]

که ماتریس معکوس است. تمام تنسورها با همین قانون تبدیل می‌شوند.

متریک[ویرایش]

از آنجا که فضازمان ماهیتی چهاربعدی دارد، متریک مینکوفسکی مؤلفه‌هایی دارد که می‌توان آن‌ها را در یک ماتریس ۴ × ۴ نمایش داد.

که با معکوس خود برابر است،

گروه پوانکاره کلی‌ترین گروه تبدیلات است که متریک مینکوفسکی را حفظ می‌کند.

واین تقارن فیزیکی سنگ بنای نسبیت خاص است.

ناوردایی[ویرایش]

مجذور طول دیفرانسیل چهار-بردار موقعیت که به صورت زیر به دست می‌آید،

یک ناوردا است. ناوردا بودن به این معناست که مقدار آن در تمام چارچوب‌ها یکسان است، زیرا یک کمیت نرده‌ای (تنسور با مرتبه صفر) است و از این رو در تبدیلات بدیهی اش عبارت Λ ظاهر نمی‌شود. توجه کنید که هرگاه عنصر خط، dx۲، منفی باشد،

دیفرانسیل زمان ویژه است و اگر dx۲ مثبت باشد، √(dx۲) دیفرانسیل فاصله ویژه خواهد بود.

سرعت و شتاب در فضای چهاربعدی[ویرایش]

در نظر گرفتن کمیتهای فیزیکی به عنوان تنسور قوانین تبدیلشان را نیز ساده‌تر می‌سازد. چهار-سرعت Uμ به گونه زیر به دست می‌آید

با در دست داشتن این رابطه می‌توان قانون پیچیده ترکیب سرعتها را به رابطه ساده‌ای برای تبدیل چهار-بردار سرعت یک ذره از یک چارچوب به چارچوب دیگر تبدیل نمود. Uμ یک شکل ناوردا نیز دارد:

بنابراین تمام چهار بردارهای سرعت اندازه‌ای برابر c دارند. این به گونه‌ای بیانگر این واقعیت است که در نسبیت، مختصات در حال سکون وجود ندارد: حداقل شما همیشه در حال حرکت در زمان هستید. چهار-شتاب نیز از رابطه

محاسبه می‌شود.

اگر از این معدله به وسیلهٔ τ، دیفرانسیل بگیریم معادله زیر حاصل می‌شود

بنابراین در نسبیت چهار-بردارهای سرعت و شتاب برهم عمودند.

تکانه در فضای چهاربعدی[ویرایش]

تکانه و انرژی در یک چهار-بردار هم وردا با هم ترکیب می‌شوند

که در آن m جرم ناوردا است.

اندازه ناوردای چهار-بردار تکانه رابطه انرژی-تکانه را نتیجه می‌دهد:

این ناوردا یک کمیت نرده‌ای است پس اهمیتی ندارد که در کدام چارچوب محاسبه می‌شود پس می‌توانیم آن را به چارچوبی تبدیل کنیم که در آن تکانه کل برابر صفر است.

می‌بینیم که انرژی سکون یک ناوردای مستقل است. انرژی سکون را می‌توان حتی برای ذرات و دستگاه‌های در حال حرکت نیز با انتقال آن‌ها به چارچوبی که در آن تکانه صفر است، محاسبه کرد.

انرژی سکون طبق رابطه بنامی که قبلاً به آن اشاره شد، با جرم مرتبط است:

توجه کنید که جرم سامانه‌هایی که در مرکز چارچوب تکانه‌شان (که در آن تکانه صفر است) اندازه‌گیری می‌شوند برابر با انرژی کل سامانه در این چارچوب است. این مقدار ممکن است با مجموع جرم هریک از سیستم‌ها که در چارچوب‌های دیگر اندازه‌گیری شده‌اند برابر نباشد.

نیرو در فضای چهاربعدی[ویرایش]

قانون دوم حرکت نیوتن بیان می‌کند که کل نیروی وارد بریک ذره با نرخ تغییر تکانه اش برابر است. همین شکل از قانون دوم نیوتن در مکانیک نسبیتی نیز صادق است. سه-نیرو ی نسبیتی از رابطه زیر به دست می‌آید

اگر از جرم نسبیتی استفاده شود:

با استفاده از قانون لایب نیتز :

اگر ذره با سرعت c حرکت نکند، می‌توان نیروی سه بعدی از چارچوب مرجع هم حرکت ذره به چارچوب مرجع ناظر تبدیل نمود. در نتیجه چهار-برداری خواهیم داشت که چهار-نیرو نامیده می‌شود و برابر است با نرخ تغییر چهار-بردار انرژی تکانه نسبت به زمان ویژه. شکل هم وردای چهار نیرو به صورت زیر است:

که در آن τ زمان ویژه است.

درچارچوب سکون جسم، مؤلفه زمان چهار-نیرو برابر صفر خواهد بود مگر آن‌که "جرم ناوردای " جسم در حال تغییر باشد؛ که در آن صورت برابر با منفی نرخ تغییر جرم ضربدر c خواهد بود. به‌طور کلی مؤلفه‌های چهار-نیرو با مؤلفه‌های سه-نیرو برابر نیستند زیرا سه نیرو به صورت نرخ تغییر تکانه نسبت به مختصات زمان تعریف می‌شود(dp/dt)، در حالیکه چهار-نیرو را نرخ تغییر تکانه نسبت به زمان ویژه تعریف می‌کنیم(dp/dτ)

مکانیک کوانتومی نسبیتی[ویرایش]

ترکیب و یکپارچه سازی نسبیت خاص با مکانیک کوانتومی برای ایجاد مکانیک کوانتومی نسبیتی یکی از مسئله‌های حل نشده فیزیک است. گرانش کوانتومی و نظریه همه‌چیز شاخه‌های فعال مورد پژوهش هستند.

در سال ۱۹۲۸ پل دیراک، یک معادله موج نسبیتی ارائه داد که امروزه به نام وی معادله دیراک خوانده می‌شود[۴۷] و کاملاً با نسبیت خاص و نسخه نهایی نظریه کوانتومی سازگاری داشت. این نظریه نه تنها تکانه زاویه‌ای ذاتی الکترون (اسپین) را توضیح می‌داد بلکه به پیش‌بینی وجود پادذره الکترون (پوزیترون) انجامید.[۴۷][۴۸] ساختار ریز را تنها با نسبیت خاص می‌توان به‌طور کامل توضیح داد. در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، اسپین قابل توضیح نیست.

از سوی دیگر وجود پادذره‌ها به این نتیجه می‌انجامد که یکپارچه سازی خام نسبیت و مکانیک کوانتوم امکانپذیر نیست در عوض یک نظریه میدان‌های کوانتومی مورد نیاز است که در آن ذرات می‌توانند در تمام فضا به وجود آیند و نابود شوند. (مانند الکترودینامیک کوانتومی یا کرومودینامیک کوانتومی). این عناصر با مدل استاندارد فیزیک ذرات آمیخته می‌شوند.

وضعیت نظریه[ویرایش]

نسبیت خاص در فضای مینکوفسکی تنها هنگامی دقیق است که قدرمطلق پتانسیل گرانشی در ناحیه مورد نظر بسیار کمتر از c۲ باشد.[۴۹] در میدان گرانشی قوی باید از نسبیت عام یاری جست. نسبیت عام در محدوده میدان‌های ضعیف به نسبیت خاص تبدیل می‌گردد. در مقیاس‌های خیلی کوچک، مثلاً در طول پلانک و کمتر باید آثار کوانتومی را در نظر گرفت که گرانش کوانتومی را نتیجه می‌دهد. اما در مقیاس‌های ماکروسکوپیک و در غیاب میدان‌های گرانشی قوی، نسبیت خاص در آزمایش‌های تجربی دقت بالایی (۱۰−۲۰) را به نمایش می‌گذارد[۵۰] و از این رو از سوی جامعه فیزیک مورد پذیرش قرارگرفته‌است.

مکانیک نیوتنی از نظر ریاضی در سرعتهای کوچک از نسبیت خاص پیروی می‌کند و از این رو مکانیک نیوتنی را می‌توان مکانیک اجسام متحرک با سرعت پایین دانست. چندین آزمایش که پیش از مقاله ۱۹۰۵ انیشتین انجام شدند اکنون به عنوان گواهی بر درستی این نظریه به‌شمار می‌روند. از میان این آزمایش‌ها، این آگاهی در دسترس است که انیشتین پیش از ۱۹۰۵ از آزمایش فیزو باخبر بود.[۵۱] برخی از تاریخ نگاران بر این باورند که انیشتین حداقل تا سال ۱۸۹۹ از آزمایش مایکلسون-مورلی نیز آگاهی داشته‌است.[۱۸]

  • آزمایش فیزو (۱۸۵۱ و تکرار آن توسط مایکلسون و مورلی در سال ۱۸۸۶) سرعت نور را در رسانه در حال حرکت اندازه‌گیری کرد که نتایج آن با افزودن سرعتهای هم خط در نسبیت، همخوانی دارند.
  • آزمایش بنام مایکلسون-مورلی (۱۸۸۱و۱۸۸۷) پشتوانه‌ای برای این اصل بود که سرعت مرجع مطلقی وجود ندارد.

شتاب‌دهنده‌های ذرات، به ذرات شتاب می‌دهند و ویژگی‌های ذرات را در سرعتهای بالا نزدیک به سرعت نور اندازه می‌گیرند. در این سرعتها رفتار ذرات کاملاً با نظریه نسبیت همخوانی دارد و با مکانیک نیوتنی ناسازگار است. اگر این ماشین‌ها بر اساس اصول نسبیتی مهندسی نشده بودند، نمی‌توانستند کار کنند. افزون بر این شمار زیادی از آزمایش‌های جدید نیز برای آزمودن نظریه نسبیت انجام شده‌اند. از این دسته آزمایش‌ها می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:

انتقادات علیه نسبیت خاص اکثراً در سال‌های نخستین انتشار نظریه در دهه ۱۹۰۰ وارد شدند و این نظریه را از دیدگاه‌های علمی، شبه علمی، فلسفی و ایدئولوژیک مورد انتقاد قرار دادند. با وجود اینکه برخی از این انتقادات از پشتیبانی دانشمندان بنام نیز برخوردار شدند، نظریه نسبیت امروزه به عنوان یک نظریه قائم بالذات و سازگار با شواهد تجربی شناخته می‌شود و پایه برخی از نظریات موفق از جمله الکترودینامیک کوانتومی می‌باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

آثار اصلی[ویرایش]

کلاس درس و جزوه‌های دانشگاهی[ویرایش]

نسبیت خاص برای مخاطبین عام (بدون نیاز به دانستن دانش ریاضی)[ویرایش]

  • Wikibooks: Special Relativity
  • Einstein Light [۲]، مقدمه‌ای غیر تخصصی (فیلم و نمایش‌هایی که با بسیاری از صفحات حاوی توضیحات مفصل تر برای سطوح مختلف بدو ن استفاده از ریاضیات و با استفاده از آن همراه شده).
  • Einstein Online مقدمه‌ای بر نظریه نسبیت، از انستیتوی فیزیک گرانشی ماکس پلانک
  • شنیداری: Cain/Gay (2006) - Astronomy Cast. نظریه نسبیت خاص انیشتین

توضیح نظریه نسبیت خاص (با کمک ریاضیات ساده و پیشرفته)[ویرایش]

تصویر سازی[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ آلبرت انیشتین (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17: 891؛ ترجمه انگلیسی On the Electrodynamics of Moving Bodies توسط جرج بارکر جفری و ویلفرید پرت (۱۹۲۳)؛ یک ترجمه انگلیسی دیگر On the Electrodynamics of Moving Bodies از مق ند ساها (۱۹۲۰).
  2. Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
  3. Wolfgang Rindler (1977). Essential Relativity. Birkhäuser. p. §1,11 p. 7. ISBN 3-540-07970-X.
  4. Tom Roberts and Siegmar Schleif (2007). "What is the experimental basis of Special Relativity?". Usenet Physics FAQ. Retrieved 2008-09-17. Unknown parameter |month= ignored (help)
  5. Albert Einstein (2001). Relativity: The Special and the General Theory (Reprint of 1920 translation by Robert W. Lawson ed.). Routledge. p. 48. ISBN 0-415-25384-5.
  6. Richard Phillips Feynman (1998). Six Not-so-easy Pieces: Einstein's relativity, symmetry, and space-time (Reprint of 1995 ed.). Basic Books. p. 68. ISBN 0-201-32842-9.
  7. Albert Einstein, Relativity — The Special and General Theory, chapter 18
  8. چارلز میسنر، کیپ تورن & جان ویلر، Gravitation, pg 172, 6.6 The local coordinate system of an accelerated observer, ISBN 0-7167-0344-0
  9. ۹٫۰ ۹٫۱ Einstein, Autobiographical Notes, 1949.
  10. ۱۰٫۰ ۱۰٫۱ Einstein, "Fundamental Ideas and Methods of the Theory of Relativity", 1920
  11. Einstein, A. , Lorentz, H. A. , Minkowski, H. , & Weyl, H. (1952). The Principle of Relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. Courier Dover Publications. p. 111. ISBN 0-486-60081-5.
  12. Einstein, On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from It, 1907; "The Principle of Relativity and Its Consequences in Modern Physics", 1910; "The Theory of Relativity", 1911; Manuscript on the Special Theory of Relativity, 1912; Theory of Relativity, 1913; Einstein, Relativity, the Special and General Theory, 1916; The Principle Ideas of the Theory of Relativity, 1916; What Is The Theory of Relativity?, 1919; The Principle of Relativity (Princeton Lectures), 1921; Physics and Reality, 1936; The Theory of Relativity, 1949.
  13. Das, A. , The Special Theory of Relativity, A Mathematical Exposition, Springer, 1993.
  14. Schutz, J. , Independent Axioms for Minkowski Spacetime, 1997.
  15. Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.
  16. David Morin, Introduction to Classical Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, chapter 11, Appendix I
  17. مایکل پولانی، Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy, 1974, ISBN 0-226-67288-3, footnote page 10-11: انیشتین از طریق دکتر بالزاس و در پاسخ به پرسش پولانی اعلام نمود که "آزمایش میکلسون مورلی هیچ نقشی در پایه ریزی این نظریه نداشته‌است." و "نظریه نسبیت به هیچ وجه برای توجیه نتیجه این آزمایش بوجود نیامد.."[۱]
  18. ۱۸٫۰ ۱۸٫۱ Dongen, Jeroen van (2009). "On the role of the Michelson–Morley experiment: Einstein in Chicago" (PDF). Eprint arXiv:0908.1545. 0908: 1545. arXiv:0908.1545. Bibcode:2009arXiv0908.1545V.
  19. Resnick, Robert (1968). Introduction to special relativity. Wiley. pp. 62–63.
  20. Kleppner, Daniel; Kolenkow, David (1973). An Introduction to Mechanics. pp. 468&ndash, 70.
  21. Does the inertia of a body depend upon its energy content? A. Einstein, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (ترجمه انگلیسی از W. Perrett وG.B. Jeffery)
  22. Max Jammer (1997). Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Courier Dover Publications. pp. 177–178. ISBN 0-486-29998-8.
  23. John J. Stachel (2002). Einstein from B to Z. Springer. p. 221. ISBN 0-8176-4143-2.
  24. On the Inertia of Energy Required by the Relativity Principle, A. Einstein, Annalen der Physik 23 (1907): 371-384
  25. در نامه‌ای به کارل سیلینگ در سال ۱۹۵۵، انیشتین چنین می‌نویسد که «من قبلاً فهمیده بودم که نظریه ماکسول ریزساختار تابش را درنظر نگرفته‌است و در نتیجه اعتبار عمومی ندارد».letter to Carl Seelig, 1955.
  26. Gibbs, Philip. "The Relativistic Rocket". Retrieved 30 August 2012. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
  27. http://library.thinkquest.org/C0116043/specialtheorytext.htm Thinkquest org
  28. R. C. Tolman, The theory of the Relativity of Motion, (Berkeley 1917), p. 54
  29. G. A. Benford, D. L. Book, and W. A. Newcomb, The Tachyonic Antitelephone, Phys. Rev. D 2, 263–265 (1970) article
  30. Salmon, Wesley C. (2006). Four Decades of Scientific Explanation. University of Pittsburgh. p. 107. ISBN 0-8229-5926-7., Section 3.7 page 107
  31. F. Low and P. Mende, A Note on the Tunneling Time Problem, Ann. Phys. NY, 210, 380-387 (1991)
  32. A. Enders and G. Nimtz, On superluminal barrier traversal, J. Phys. I, France 2, 1693-1698 (1992)
  33. S. Longhi et al. , Measurement of superluminal optical tunneling times in double-barrier photonic band gaps, Phys.Rev. E, 65, 06610 1-6 (2002)
  34. P. Eckle et al. , Attosecond Ionization and Tunneling Delay Time Measurements in Helium, Science, 322, 1525-1529 (2008)
  35. G. Nimtz, Do Evanescent Modes Violate Relativistic Causality?, Lect.Notes Phys. 702, 506-531 (2006)
  36. G. Nimtz, Tunneling Violates Special Relativity, arXiv:1003.3944v1
  37. Herbert Winful (2007-09-18). "Comment on "Macroscopic violation of special relativity" by Nimtz and Stahlhofen". arXiv:0709.2736 [quant-ph].
  38. Chris Lee (2007-08-16). "Latest "faster than the speed of light" claims wrong (again)".
  39. Winful, Herbert G. (December 2006). "Tunneling time, the Hartman effect, and superluminality: A proposed resolution of an old paradox" (PDF). Physics Reports. 436 (1–2): 1–69. Bibcode:2006PhR...436....1W. doi:10.1016/j.physrep.2006.09.002.
  40. تعدادی از مقالات در مقالات در زمینه آزمایشهای تونل زنی سریعتر از نور لیست شده‌اند
  41. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
  42. J.R. Forshaw, A.G. Smith (2009). Dynamics and Relativity. Wiley. p. 247. ISBN 978-0-470-01460-8.
  43. Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, pg 5 , ISBN 0-07-032071-3
  44. Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler,Gravitation, pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
  45. George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
  46. M. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (illustrated ed.). Addison Wesley. p. 22. ISBN 0-8053-8732-3.
  47. ۴۷٫۰ ۴۷٫۱ Dirac, P.A.M. (1930). "A Theory of Electrons and Protons". Proc. R. Soc. A126: 360. Bibcode:1930RSPSA.126..360D. doi:10.1098/rspa.1930.0013. JSTOR 95359.
  48. C.D. Anderson: The Positive Electron. Phys. Rev. 43, 491-494 (1933)
  49. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007). Einstein's general theory of relativity: with modern applications in cosmology. Springer. p. 195. ISBN 0-387-69199-5., Extract of page 195 (with units where c=1)
  50. The number of works is vast, see as example:
    Sidney Coleman, Sheldon L. Glashow, Cosmic Ray and Neutrino Tests of Special Relativity, Phys. Lett. B405 (1997) 249-252, online
    An overview can be found on this page
  51. Norton, John D., John D. (2004), "Einstein's Investigations of Galilean Covariant Electrodynamics prior to 1905", Archive for History of Exact Sciences, 59: 45–105, Bibcode:2004AHES...59...45N, doi:10.1007/s00407-004-0085-6

کتاب‌ها[ویرایش]

  • کلیفورد ام. ویل، آیا اینشتین درست می‌گفت؟: آزمون نسبیت عام، ترجمهٔ احمد شریعتی، انشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی، ۱۳۸۳.
  • دانیل کلپنر و رابرت کلنکو، آشنایی با مکانیک، ترجمهٔ هوشنگ سپهری، محمد علی مقیمی، ولی‌الله ناصری، چاپ چهارم، مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۴.

مقالات ژورنال[ویرایش]

In physics, special relativity (also known as the special theory of relativity) is the generally accepted and experimentally confirmed physical theory regarding the relationship between space and time. In Albert Einstein's original pedagogical treatment, it is based on two postulates:

  1. the laws of physics are invariant (i.e. identical) in all inertial frames of reference (i.e. non-accelerating frames of reference); and
  2. the speed of light in a vacuum is the same for all observers, regardless of the motion of the light source or observer.

Some of the work of Albert Einstein in special relativity is built on the earlier work by Hendrik Lorentz.

Special relativity was originally proposed by Albert Einstein in a paper published on 26 September 1905 titled "On the Electrodynamics of Moving Bodies".[p 1] The inconsistency of Newtonian mechanics with Maxwell's equations of electromagnetism and, experimentally, the Michelson-Morley null result (and subsequent similar experiments) demonstrated that the historically hypothesized luminiferous aether did not exist. This led to Einstein's development of special relativity, which corrects mechanics to handle situations involving all motions and especially those at a speed close to that of light (known as relativistic velocities). Today, special relativity is proven to be the most accurate model of motion at any speed when gravitational effects are negligible. Even so, the Newtonian model is still valid as a simple and accurate approximation at low velocities (relative to the speed of light), for example, the everyday motions on Earth.

Special relativity has a wide range of consequences. These have been experimentally verified,[1] and include length contraction, time dilation, relativistic mass, mass–energy equivalence, a universal speed limit, the speed of causality and relativity of simultaneity. It has, for example, replaced the conventional notion of an absolute universal time with the notion of a time that is dependent on reference frame and spatial position. Rather than an invariant time interval between two events, there is an invariant spacetime interval. Combined with other laws of physics, the two postulates of special relativity predict the equivalence of mass and energy, as expressed in the mass–energy equivalence formula E = mc2 (c is the speed of light in a vacuum).[2][3]

A defining feature of special relativity is the replacement of the Galilean transformations of Newtonian mechanics with the Lorentz transformations. Time and space cannot be defined separately from each other (as was earlier thought to be the case). Rather, space and time are interwoven into a single continuum known as "spacetime". Events that occur at the same time for one observer can occur at different times for another.

Until Einstein developed general relativity, introducing a curved spacetime to incorporate gravity, the phrase "special relativity" was not used. A translation sometimes used is "restricted relativity"; "special" really means "special case".[p 2][p 3][p 4][note 1]

The theory is "special" in that it only applies in the special case where the spacetime is "flat", i.e., the curvature of spacetime, described by the energy-momentum tensor and causing gravity, is negligible.[4][note 2] In order to correctly accommodate gravity, Einstein formulated general relativity in 1915. Special relativity, contrary to some historical descriptions, does accommodate accelerations as well as accelerating frames of reference.[5][6]

Just as Galilean relativity is now accepted to be an approximation of special relativity that is valid for low speeds, special relativity is considered an approximation of general relativity that is valid for weak gravitational fields, i.e. at a sufficiently small scale (for example, for tidal forces) and in conditions of free fall. General relativity, however, incorporates noneuclidean geometry in order to represent gravitational effects as the geometric curvature of spacetime. Special relativity is restricted to the flat spacetime known as Minkowski space. As long as the universe can be modeled as a pseudo-Riemannian manifold, a Lorentz-invariant frame that abides by special relativity can be defined for a sufficiently small neighborhood of each point in this curved spacetime.

Galileo Galilei had already postulated that there is no absolute and well-defined state of rest (no privileged reference frames), a principle now called Galileo's principle of relativity. Einstein extended this principle so that it accounted for the constant speed of light,[7] a phenomenon that had been observed in the Michelson–Morley experiment. He also postulated that it holds for all the laws of physics, including both the laws of mechanics and of electrodynamics.[8]

Albert Einstein around 1905, the year his "Annus Mirabilis papers" were published. These included Zur Elektrodynamik bewegter Körper, the paper founding special relativity.

Contents

Traditional "two postulates" approach to special relativity

Einstein discerned two fundamental propositions that seemed to be the most assured, regardless of the exact validity of the (then) known laws of either mechanics or electrodynamics. These propositions were the constancy of the speed of light in a vacuum and the independence of physical laws (especially the constancy of the speed of light) from the choice of inertial system. In his initial presentation of special relativity in 1905 he expressed these postulates as:[p 1]

  • The Principle of Relativity – the laws by which the states of physical systems undergo change are not affected, whether these changes of state be referred to the one or the other of two systems in uniform translatory motion relative to each other.[p 1]
  • The Principle of Invariant Light Speed – "... light is always propagated in empty space with a definite velocity [speed] c which is independent of the state of motion of the emitting body" (from the preface).[p 1] That is, light in vacuum propagates with the speed c (a fixed constant, independent of direction) in at least one system of inertial coordinates (the "stationary system"), regardless of the state of motion of the light source.

The constancy of the speed of light was motivated by Maxwell's theory of electromagnetism and the lack of evidence for the luminiferous ether. There is conflicting evidence on the extent to which Einstein was influenced by the null result of the Michelson–Morley experiment.[9][10] In any case, the null result of the Michelson–Morley experiment helped the notion of the constancy of the speed of light gain widespread and rapid acceptance.

The derivation of special relativity depends not only on these two explicit postulates, but also on several tacit assumptions (made in almost all theories of physics), including the isotropy and homogeneity of space and the independence of measuring rods and clocks from their past history.[p 6]

Following Einstein's original presentation of special relativity in 1905, many different sets of postulates have been proposed in various alternative derivations.[11] However, the most common set of postulates remains those employed by Einstein in his original paper. A more mathematical statement of the Principle of Relativity made later by Einstein, which introduces the concept of simplicity not mentioned above is:

Special principle of relativity: If a system of coordinates K is chosen so that, in relation to it, physical laws hold good in their simplest form, the same laws hold good in relation to any other system of coordinates K' moving in uniform translation relatively to K.[12]

Henri Poincaré provided the mathematical framework for relativity theory by proving that Lorentz transformations are a subset of his Poincaré group of symmetry transformations. Einstein later derived these transformations from his axioms.

Many of Einstein's papers present derivations of the Lorentz transformation based upon these two principles.[p 7]

Principle of relativity

Reference frames and relative motion

Figure 2-1. The primed system is in motion relative to the unprimed system with constant velocity v only along the x-axis, from the perspective of an observer stationary in the unprimed system. By the principle of relativity, an observer stationary in the primed system will view a likewise construction except that the velocity they record will be −v. The changing of the speed of propagation of interaction from infinite in non-relativistic mechanics to a finite value will require a modification of the transformation equations mapping events in one frame to another.

Reference frames play a crucial role in relativity theory. The term reference frame as used here is an observational perspective in space which is not undergoing any change in motion (acceleration), from which a position can be measured along 3 spatial axes (so, at rest or constant velocity). In addition, a reference frame has the ability to determine measurements of the time of events using a 'clock' (any reference device with uniform periodicity).

An event is an occurrence that can be assigned a single unique moment and location in space relative to a reference frame: it is a "point" in spacetime. Since the speed of light is constant in relativity irrespective of reference frame, pulses of light can be used to unambiguously measure distances and refer back the times that events occurred to the clock, even though light takes time to reach the clock after the event has transpired.

For example, the explosion of a firecracker may be considered to be an "event". We can completely specify an event by its four spacetime coordinates: The time of occurrence and its 3-dimensional spatial location define a reference point. Let's call this reference frame S.

In relativity theory, we often want to calculate the coordinates of an event from differing reference frames. The equations that relate measurements made in different frames are called transformation equations.

Standard configuration

To gain insight in how the spacetime coordinates measured by observers in different reference frames compare with each other, it is useful to work with a simplified setup with frames in a standard configuration.[13]:107 With care, this allows simplification of the math with no loss of generality in the conclusions that are reached. In Fig. 2‑1, two Galilean reference frames (i.e. conventional 3-space frames) are displayed in relative motion. Frame S belongs to a first observer O, and frame S′ (pronounced "S prime" or "S dash") belongs to a second observer O′.

  • The x, y, z axes of frame S are oriented parallel to the respective primed axes of frame S′.
  • Frame S′ moves, for simplicity, in a single direction: the x-direction of frame S with a constant velocity v as measured in frame S.
  • The origins of frames S and S′ are coincident when time t = 0 for frame S and t′ = 0 for frame S′.

Since there is no absolute reference frame in relativity theory, a concept of 'moving' doesn't strictly exist, as everything may be moving with respect to some other reference frame. Instead, any two frames that move at the same speed in the same direction are said to be comoving. Therefore, S and S′ are not comoving.

Lack of an absolute reference frame

The principle of relativity, which states that physical laws have the same form in each inertial reference frame, dates back to Galileo, and was incorporated into Newtonian physics. However, in the late 19th century, the existence of electromagnetic waves led some physicists to suggest that the universe was filled with a substance that they called "aether", which, they postulated, would act as the medium through which these waves, or vibrations, propagated (in many respects similar to the way sound propagates through air). The aether was thought to be an absolute reference frame against which all speeds could be measured, and could be considered fixed and motionless relative to Earth or some other fixed reference point. The aether supposedly possessed some wonderful properties: it was sufficiently elastic to support electromagnetic waves, and those waves could interact with matter, yet it offered no resistance to bodies passing through it (its one property was that it allowed electromagnetic waves to propagate). The results of various experiments, including the Michelson–Morley experiment in 1887 (subsequently verified with more accurate and innovative experiments), led to the theory of special relativity, by showing that the aether did not exist.[14] Einstein's solution was to discard the notion of an aether and the absolute state of rest. In relativity, any reference frame moving with uniform motion will observe the same laws of physics. In particular, the speed of light in vacuum is always measured to be c, even when measured by multiple systems that are moving at different (but constant) velocities.

Relativity without the second postulate

From the principle of relativity alone without assuming the constancy of the speed of light (i.e. using the isotropy of space and the symmetry implied by the principle of special relativity) it can be shown that the spacetime transformations between inertial frames are either Euclidean, Galilean, or Lorentzian. In the Lorentzian case, one can then obtain relativistic interval conservation and a certain finite limiting speed. Experiments suggest that this speed is the speed of light in vacuum.[p 8][15]

Lorentz invariance as the essential core of special relativity

Alternative approaches to special relativity

Einstein consistently based the derivation of Lorentz invariance (the essential core of special relativity) on just the two basic principles of relativity and light-speed invariance. He wrote:

The insight fundamental for the special theory of relativity is this: The assumptions relativity and light speed invariance are compatible if relations of a new type ("Lorentz transformation") are postulated for the conversion of coordinates and times of events... The universal principle of the special theory of relativity is contained in the postulate: The laws of physics are invariant with respect to Lorentz transformations (for the transition from one inertial system to any other arbitrarily chosen inertial system). This is a restricting principle for natural laws...[p 5]

Thus many modern treatments of special relativity base it on the single postulate of universal Lorentz covariance, or, equivalently, on the single postulate of Minkowski spacetime.[p 9][p 10]

Rather than considering universal Lorentz covariance to be a derived principle, this article considers it to be the fundamental postulate of special relativity. The traditional two-postulate approach to special relativity is presented in innumerable college textbooks and popular presentations.[16] Textbooks starting with the single postulate of Minkowski spacetime include those by Taylor and Wheeler[17] and by Callahan.[18] This is also the approach followed by the Wikipedia articles Spacetime and Minkowski diagram.

Lorentz transformation and its inverse

Define an event to have spacetime coordinates (t,x,y,z) in system S and (t′,x′,y′,z′) in a reference frame moving at a velocity v with respect to that frame, S′. Then the Lorentz transformation specifies that these coordinates are related in the following way:

where

is the Lorentz factor and c is the speed of light in vacuum, and the velocity v of S′, relative to S, is parallel to the x-axis. For simplicity, the y and z coordinates are unaffected; only the x and t coordinates are transformed. These Lorentz transformations form a one-parameter group of linear mappings, that parameter being called rapidity.

Solving the four transformation equations above for the unprimed coordinates yields the inverse Lorentz transformation:

Enforcing this inverse Lorentz transformation to coincide with the Lorentz transformation from the primed to the unprimed system, shows the unprimed frame as moving with the velocity v′ = −v, as measured in the primed frame.

There is nothing special about the x-axis. The transformation can apply to the y- or z-axis, or indeed in any direction parallel to the motion (which are warped by the γ factor) and perpendicular; see the article Lorentz transformation for details.

A quantity invariant under Lorentz transformations is known as a Lorentz scalar.

Writing the Lorentz transformation and its inverse in terms of coordinate differences, where one event has coordinates (x1, t1) and (x1, t1), another event has coordinates (x2, t2) and (x2, t2), and the differences are defined as

Eq. 1:   
Eq. 2:   

we get

Eq. 3:   
Eq. 4:   

If we take differentials instead of taking differences, we get

Eq. 5:   
Eq. 6:   

Graphical representation of the Lorentz transformation

Figure 3-1. Drawing a Minkowski spacetime diagram to illustrate a Lorentz transformation.

Spacetime diagrams (Minkowski diagrams) are an extremely useful aid to visualizing how coordinates transform between different reference frames. Although it is not as easy to perform exact computations using them as directly invoking the Lorentz transformations, their main power is their ability to provide an intuitive grasp of the results of a relativistic scenario.[15]

To draw a spacetime diagram, begin by considering two Galilean reference frames, S and S', in standard configuration, as shown in Fig. 2‑1.[15][19]:155–199

Fig. 3‑1a. Draw the and axes of frame S. The axis is horizontal and the (actually ) axis is vertical, which is the opposite of the usual convention in kinematics. The axis is scaled by a factor of so that both axes have common units of length. In the diagram shown, the gridlines are spaced one unit distance apart. The 45° diagonal lines represent the worldlines of two photons passing through the origin at time The slope of these worldlines is 1 because the photons advance one unit in space per unit of time. Two events, and have been plotted on this graph so that their coordinates may be compared in the S and S' frames.

Fig. 3‑1b. Draw the and axes of frame S'. The axis represents the worldline of the origin of the S' coordinate system as measured in frame S. In this figure, Both the and axes are tilted from the unprimed axes by an angle where The primed and unprimed axes share a common origin because frames S and S' had been set up in standard configuration, so that when

Fig. 3‑1c. Units in the primed axes have a different scale from units in the unprimed axes. From the Lorentz transformations, we observe that coordinates of in the primed coordinate system transform to in the unprimed coordinate system. Likewise, coordinates of in the primed coordinate system transform to in the unprimed system. Draw gridlines parallel with the axis through points as measured in the unprimed frame, where is an integer. Likewise, draw gridlines parallel with the axis through as measured in the unprimed frame. Using the Pythagorean theorem, we observe that the spacing between units equals times the spacing between units, as measured in frame S. This ratio is always greater than 1, and ultimately it approaches infinity as

Fig. 3‑1d. Since the speed of light is an invariant, the worldlines of two photons passing through the origin at time still plot as 45° diagonal lines. The primed coordinates of and are related to the unprimed coordinates through the Lorentz transformations and could be approximately measured from the graph (assuming that it has been plotted accurately enough), but the real merit of a Minkowski diagram is its granting us a geometric view of the scenario. For example, in this figure, we observe that the two timelike-separated events that had different x-coordinates in the unprimed frame are now at the same position in space.

While the unprimed frame is drawn with space and time axes that meet at right angles, the primed frame is drawn with axes that meet at acute or obtuse angles. The frames are actually equivalent. The asymmetry is due to unavoidable distortions in how spacetime coordinates map onto a Cartesian plane. By analogy, planar maps of the world are unavoidably distorted, but with experience and intuition, one learns to mentally account for these distortions.

Consequences derived from the Lorentz transformation

The consequences of special relativity can be derived from the Lorentz transformation equations.[20] These transformations, and hence special relativity, lead to different physical predictions than those of Newtonian mechanics at all relative velocities, and most pronounced when relative velocities become comparable to the speed of light. The speed of light is so much larger than anything most humans encounter that some of the effects predicted by relativity are initially counterintuitive.

Invariant interval

In Galilean relativity, length ()[note 3] and temporal separation between two events () are independent invariants, the values of which do not change when observed from different frames of reference.[note 4][note 5]

In special relativity, however, the interweaving of spatial and temporal coordinates generates the concept of an invariant interval, denoted as :

[note 6]

The interweaving of space and time revokes the implicitly assumed concepts of absolute simultaneity and synchronization across non-comoving frames.

The form of being the difference of the squared time lapse and the squared spatial distance, demonstrates a fundamental discrepancy between Euclidean and spacetime distances.[note 7] The invariance of this interval is a property of the general Lorentz transform (also called the Poincaré transformation), making it an isometry of spacetime. The general Lorentz transform extends the standard Lorentz transform (which deals with translations without rotation, i.e. Lorentz boosts, in the x-direction) with all other translations, reflections, and rotations between any Cartesian inertial frame.[24]:33–34

In the analysis of simplified scenarios, such as spacetime diagrams, a reduced-dimensionality form of the invariant interval is often employed:

Demonstrating that the interval is invariant is straightforward for the reduced-dimensionality case and with frames in standard configuration:[15]

The value of is hence independent of the frame in which it is measured.

In considering the physical significance of , there are three cases to note:[15][25]:25–39

  • Δs2 > 0: In this case, the two events are separated by more time than space, and they are hence said to be timelike separated. This implies that and given the Lorentz transformation it is evident that there exists a less than for which (in particular, ). In other words, given two events that are timelike separated, it is possible to find a frame in which the two events happen at the same place. In this frame, the separation in time, is called the proper time.
  • Δs2 < 0: In this case, the two events are separated by more space than time, and they are hence said to be spacelike separated. This implies that and given the Lorentz transformation there exists a less than for which (in particular, ). In other words, given two events that are spacelike separated, it is possible to find a frame in which the two events happen at the same time. In this frame, the separation in space, is called the proper distance, or proper length. For values of greater than and less than the sign of changes, meaning that the temporal order of spacelike-separated events changes depending on the frame in which the events are viewed. The temporal order of timelike-separated events, however, is absolute, since the only way that could be greater than would be if
  • Δs2 = 0: In this case, the two events are said to be lightlike separated. This implies that and this relationship is frame independent due to the invariance of From this, we observe that the speed of light is in every inertial frame. In other words, starting from the assumption of universal Lorentz covariance, the constant speed of light is a derived result, rather than a postulate as in the two-postulates formulation of the special theory.

Relativity of simultaneity

Figure 4-1. The three events (A, B, C) are simultaneous in the reference frame of some observer O. In a reference frame moving at v = 0.3c, as measured by O, the events occur in the order C, B, A. In a reference frame moving at v = -0.5c with respect to O, the events occur in the order A, B, C. The white lines, the lines of simultaneity, move from the past to the future in the respective frames (green coordinate axes), highlighting events residing on it. They are the locus of all events occurring at the same time in the respective frame. The gray area is the light cone with respect to the origin of all considered frames.

Consider two events happening in two different locations that occur simultaneously in the reference frame of one inertial observer. They may occur non-simultaneously in the reference frame of another inertial observer (lack of absolute simultaneity).

From Equation 3 (the forward Lorentz transformation in terms of coordinate differences)

It is clear that the two events that are simultaneous in frame S (satisfying Δt = 0), are not necessarily simultaneous in another inertial frame S′ (satisfying Δt′ = 0). Only if these events are additionally co-local in frame S (satisfying Δx = 0), will they be simultaneous in another frame S′.

The Sagnac effect can be considered a manifestation of the relativity of simultaneity.[26] Since relativity of simultaneity is a first order effect in ,[15] instruments based on the Sagnac effect for their operation, such as ring laser gyroscopes and fiber optic gyroscopes, are capable of extreme levels of sensitivity.[p 14]

Time dilation

The time lapse between two events is not invariant from one observer to another, but is dependent on the relative speeds of the observers' reference frames (e.g., the twin paradox which concerns a twin who flies off in a spaceship traveling near the speed of light and returns to discover that the non-traveling twin sibling has aged much more, the paradox being that at constant velocity we are unable to discern which twin is non-traveling and which twin travels).

Suppose a clock is at rest in the unprimed system S. The location of the clock on two different ticks is then characterized by Δx = 0. To find the relation between the times between these ticks as measured in both systems, Equation 3 can be used to find:

    for events satisfying    

This shows that the time (Δt′) between the two ticks as seen in the frame in which the clock is moving (S′), is longer than the time (Δt) between these ticks as measured in the rest frame of the clock (S). Time dilation explains a number of physical phenomena; for example, the lifetime of high speed muons created by the collision of cosmic rays with particles in the Earth's outer atmosphere and moving towards the surface is greater than the lifetime of slowly moving muons, created and decaying in a laboratory.[27]

Length contraction

The dimensions (e.g., length) of an object as measured by one observer may be smaller than the results of measurements of the same object made by another observer (e.g., the ladder paradox involves a long ladder traveling near the speed of light and being contained within a smaller garage).

Similarly, suppose a measuring rod is at rest and aligned along the x-axis in the unprimed system S. In this system, the length of this rod is written as Δx. To measure the length of this rod in the system S′, in which the rod is moving, the distances x′ to the end points of the rod must be measured simultaneously in that system S′. In other words, the measurement is characterized by Δt′ = 0, which can be combined with Equation 3 to find the relation between the lengths Δx and Δx′:

    for events satisfying    

This shows that the length (Δx′) of the rod as measured in the frame in which it is moving (S′), is shorter than its length (Δx) in its own rest frame (S).

Time dilation and length contraction are not merely appearances. Time dilation is explicitly related to our way of measuring time intervals between events which occur at the same place in a given coordinate system (called "co-local" events). These time intervals (which can be, and are, actually measured experimentally by relevant observers) are different in another coordinate system moving with respect to the first, unless the events, in addition to being co-local, are also simultaneous. Similarly, length contraction relates to our measured distances between separated but simultaneous events in a given coordinate system of choice. If these events are not co-local, but are separated by distance (space), they will not occur at the same spatial distance from each other when seen from another moving coordinate system.

Lorentz transformation of velocities

Consider two frames S and S′ in standard configuration. A particle in S moves in the x direction with velocity vector What is its velocity in frame S′ ?

We can write

Eq. 7:   
Eq. 8:   

Substituting expressions for and from Equation 5 into Equation 8, followed by straightforward mathematical manipulations and back-substitution from Equation 7 yields the Lorentz transformation of the speed to :

Eq. 9:   

The inverse relation is obtained by interchanging the primed and unprimed symbols and replacing with

Eq. 10:   

For not aligned along the x-axis, we write:[8]:47-49

Eq. 11:   
Eq. 12:   

The forward and inverse transformations for this case are:

Eq. 13:       
Eq. 14:       

Equation 10 and Equation 14 can be interpreted as giving the resultant of the two velocities and and they replace the formula which is valid in Galilean relativity. Interpreted in such a fashion, they are commonly referred to as the relativistic velocity addition (or composition) formulas, valid for the three axes of S and S′ being aligned with each other (although not necessarily in standard configuration).[8]:47-49

We note the following points:

  • If an object (for example, a photon) were moving at the speed of light in one frame (i.e. u = ±c or u′ = ±c), then it would also be moving at the speed of light in any other frame, moving at |v| < c.
  • The resultant speed of two velocities with magnitude less than c is always a velocity with magnitude less than c.
  • If both |u| and |v| (and then also |u′| and |v′|) are small with respect to the speed of light (that is, e.g., |u/c| ≪ 1), then the intuitive Galilean transformations are recovered from the transformation equations for special relativity
  • Attaching a frame to a photon (riding a light beam like Einstein considers) requires special treatment of the transformations.

There is nothing special about the x direction in the standard configuration. The above formalism applies to any direction; and three orthogonal directions allow dealing with all directions in space by decomposing the velocity vectors to their components in these directions. See Velocity-addition formula for details.

Thomas rotation

Figure 4-2. Thomas-Wigner rotation

The composition of two non-collinear Lorentz boosts (i.e. two non-collinear Lorentz transformations, neither of which involve rotation) results in a Lorentz transformation that is not a pure boost but is the composition of a boost and a rotation.

Thomas rotation results from the relativity of simultaneity. In Fig. 4‑2a, a rod of length in its rest frame (i.e. having a proper length of ) rises vertically along the y‑axis in the ground frame.

In Fig. 4‑2b, the same rod is observed from the frame of a rocket moving at speed to the right. If we imagine two clocks situated at the left and right ends of the rod that are synchronized in the frame of the rod, relativity of simultaneity causes the observer in the rocket frame to observe (not see) the clock at the right end of the rod as being advanced in time by and the rod is correspondingly observed as tilted.[25]:98–99

Unlike second-order relativistic effects such as length contraction or time dilation, this effect becomes quite significant even at fairly low velocities. For example, this can be seen in the spin of moving particles, where Thomas precession is a relativistic correction that applies to the spin of an elementary particle or the rotation of a macroscopic gyroscope, relating the angular velocity of the spin of a particle following a curvilinear orbit to the angular velocity of the orbital motion.[25]:169–174

Thomas rotation provides the resolution to the well-known "meter stick and hole paradox".[p 15][25]:98–99

Causality and prohibition of motion faster than light

Figure 4-3. Light cone

In Fig. 4‑3, the time interval between the events A (the "cause") and B (the "effect") is 'time-like'; i.e., there is a frame of reference in which events A and B occur at the same location in space, separated only by occurring at different times. If A precedes B in that frame, then A precedes B in all frames accessible by a Lorentz transformation. It is possible for matter (or information) to travel (below light speed) from the location of A, starting at the time of A, to the location of B, arriving at the time of B, so there can be a causal relationship (with A the cause and B the effect).

The interval AC in the diagram is 'space-like'; i.e., there is a frame of reference in which events A and C occur simultaneously, separated only in space. There are also frames in which A precedes C (as shown) and frames in which C precedes A. However, there are no frames accessible by a Lorentz transformation, in which events A and C occur at the same location. If it were possible for a cause-and-effect relationship to exist between events A and C, then paradoxes of causality would result.

For example, if signals could be sent faster than light, then signals could be sent into the sender's past (observer B in the diagrams).[28][p 16] A variety of causal paradoxes could then be constructed.

Three small white and yellow flowers before green-leaf background
Figure 4-4. Causality violation by the use of fictitious
"instantaneous communicators"

Consider the spacetime diagrams in Fig. 4‑4. A and B stand alongside a railroad track, when a high speed train passes by, with C riding in the last car of the train and D riding in the leading car. The world lines of A and B are vertical (ct), distinguishing the stationary position of these observers on the ground, while the world lines of C and D are tilted forwards (ct′), reflecting the rapid motion of the observers C and D stationary in their train, as observed from the ground.

  1. Fig. 4‑4a. The event of "B passing a message to D", as the leading car passes by, is at the origin of D's frame. D sends the message along the train to C in the rear car, using a fictitious "instantaneous communicator". The worldline of this message is the fat red arrow along the axis, which is a line of simultaneity in the primed frames of C and D. In the (unprimed) ground frame the signal arrives earlier than it was sent.
  2. Fig. 4‑4b. The event of "C passing the message to A", who is standing by the railroad tracks, is at the origin of their frames. Now A sends the message along the tracks to B via an "instantaneous communicator". The worldline of this message is the blue fat arrow, along the axis, which is a line of simultaneity for the frames of A and B. As seen from the spacetime diagram, B will receive the message before having sent it out, a violation of causality.[29]

It is not necessary for signals to be instantaneous to violate causality. Even if the signal from D to C were slightly shallower than the axis (and the signal from A to B slightly steeper than the axis), it would still be possible for B to receive his message before he had sent it. By increasing the speed of the train to near light speeds, the and axes can be squeezed very close to the dashed line representing the speed of light. With this modified setup, it can be demonstrated that even signals only slightly faster than the speed of light will result in causality violation.[30]

Therefore, if causality is to be preserved, one of the consequences of special relativity is that no information signal or material object can travel faster than light in vacuum.

This is not to say that all faster than light speeds are impossible. Various trivial situations can be described where some "things" (not actual matter or energy) move faster than light.[31] For example, the location where the beam of a search light hits the bottom of a cloud can move faster than light when the search light is turned rapidly (although we should be clear that this does not violate causality or any other relativistic phenomenon).[32][33]

Optical effects

Dragging effects

Figure 5-1. Highly simplified diagram of Fizeau's 1851 experiment.

In 1850, Hippolyte Fizeau and Léon Foucault independently established that light travels more slowly in water than in air, thus validating a prediction of Fresnel's wave theory of light and invalidating the corresponding prediction of Newton's corpuscular theory.[34] The speed of light was measured in still water. What would be the speed of light in flowing water?

In 1851, Fizeau conducted an experiment to answer this question, a simplified representation of which is illustrated in Fig. 5‑1. A beam of light is divided by a beam splitter, and the split beams are passed in opposite directions through a tube of flowing water. They are recombined to form interference fringes, indicating a difference in optical path length, that an observer can view. The experiment demonstrated that dragging of the light by the flowing water caused displacement of the fringes, showing that the motion of the water had affected the speed of the light.

According to the theories prevailing at the time, light traveling through a moving medium would be a simple sum of its speed through the medium plus the speed of the medium. Contrary to expectation, Fizeau found that although light appeared to be dragged by the water, the magnitude of the dragging was much lower than expected. If is the speed of light in still water, and is the speed of the water, and is the water-bourne speed of light in the lab frame with the flow of water adding to or subtracting from the speed of light, then

Fizeau's results, although consistent with Fresnel's earlier hypothesis of partial aether dragging, were extremely disconcerting to physicists of the time. Among other things, the presence of an index of refraction term meant that, since depends on wavelength, the aether must be capable of sustaining different motions at the same time.[note 8] A variety of theoretical explanations were proposed to explain Fresnel's dragging coefficient that were completely at odds with each other. Even before the Michelson–Morley experiment, Fizeau's experimental results were among a number of observations that created a critical situation in explaining the optics of moving bodies.[35]

From the point of view of special relativity, Fizeau's result is nothing but an approximation to Equation 10, the relativistic formula for composition of velocities.[24]

Relativistic aberration of light

Figure 5-2. Illustration of stellar aberration

Because of the finite speed of light, if the relative motions of a source and receiver include a transverse component, then the direction from which light arrives at the receiver will be displaced from the geometric position in space of the source relative to the receiver. The classical calculation of the displacement takes two forms and makes different predictions depending on whether the receiver, the source, or both are in motion with respect to the medium. (1) If the receiver is in motion, the displacement would be the consequence of the aberration of light. The incident angle of the beam relative to the receiver would be calculable from the vector sum of the receiver's motions and the velocity of the incident light.[36] (2) If the source is in motion, the displacement would be the consequence of light-time correction. The displacement of the apparent position of the source from its geometric position would be the result of the source's motion during the time that its light takes to reach the receiver.[37]

The classical explanation failed experimental test. Since the aberration angle depends on the relationship between the velocity of the receiver and the speed of the incident light, passage of the incident light through a refractive medium should change the aberration angle. In 1810, Arago used this expected phenomenon in a failed attempt to measure the speed of light,[38] and in 1870, George Airy tested the hypothesis using a water-filled telescope, finding that, against expectation, the measured aberration was identical to the aberration measured with an air-filled telescope.[39] A "cumbrous" attempt to explain these results used the hypothesis of partial aether-drag,[40] but was incompatible with the results of the Michelson–Morley experiment, which apparently demanded complete aether-drag.[41]

Assuming inertial frames, the relativistic expression for the aberration of light is applicable to both the receiver moving and source moving cases. A variety of trigonometrically equivalent formulas have been published. Expressed in terms of the variables in Fig. 5‑2, these include[24]:57–60

  OR     OR  

Relativistic Doppler effect

Relativistic longitudinal Doppler effect

The classical Doppler effect depends on whether the source, receiver, or both are in motion with respect to the medium. The relativistic Doppler effect is independent of any medium. Nevertheless, relativistic Doppler shift for the longitudinal case, with source and receiver moving directly towards or away from each other, can be derived as if it were the classical phenomenon, but modified by the addition of a time dilation term, and that is the treatment described here.[42][43]

Assume the receiver and the source are moving away from each other with a relative speed as measured by an observer on the receiver or the source (The sign convention adopted here is that is negative if the receiver and the source are moving towards each other). Assume that the source is stationary in the medium. Then

where is the speed of sound.

For light, and with the receiver moving at relativistic speeds, clocks on the receiver are time dilated relative to clocks at the source. The receiver will measure the received frequency to be

where

   and
   is the Lorentz factor.

An identical expression for relativistic Doppler shift is obtained when performing the analysis in the reference frame of the receiver with a moving source.[44][15]

Transverse Doppler effect

Figure 5-3. Transverse Doppler effect for two scenarios: (a) receiver moving in a circle around the source; (b) source moving in a circle around the receiver.

The transverse Doppler effect is one of the main novel predictions of the special theory of relativity.

Classically, one might expect that if source and receiver are moving transversely with respect to each other with no longitudinal component to their relative motions, that there should be no Doppler shift in the light arriving at the receiver.

Special relativity predicts otherwise. Fig. 5‑3 illustrates two common variants of this scenario. Both variants can be analyzed using simple time dilation arguments.[15] In Fig. 5‑3a, the receiver observes light from the source as being blueshifted by a factor of . In Fig. 5‑3b, the light is redshifted by the same factor.

Measurement versus visual appearance

Time dilation and length contraction are not optical illusions, but genuine effects. Measurements of these effects are not an artifact of Doppler shift, nor are they the result of neglecting to take into account the time it takes light to travel from an event to an observer. For example, considering time, the elapsed time between two events, measured by identical clocks held by different observers which are moving relative to one another (measured perhaps in seconds), is different.

Scientists make a fundamental distinction between measurement or observation on the one hand, versus visual appearance, or what one sees. The measured shape of an object is a hypothetical snapshot of all of the object's points as they exist at a single moment in time. The visual appearance of an object, however, is affected by the varying lengths of time that light takes to travel from different points on the object to one's eye.

Figure 5-4. Comparison of the measured length contraction of a cube versus its visual appearance.

For many years, the distinction between the two had not been generally appreciated, and it had generally been thought that a length contracted object passing by an observer would in fact actually be seen as length contracted. In 1959, James Terrell and Roger Penrose independently pointed out that differential time lag effects in signals reaching the observer from the different parts of a moving object result in a fast moving object's visual appearance being quite different from its measured shape. For example, a receding object would appear contracted, an approaching object would appear elongated, and a passing object would have a skew appearance that has been likened to a rotation.[p 19][p 20][45][46] A sphere in motion retains the appearance of a sphere, although images on the surface of the sphere will appear distorted.[47]

Figure 5-5. Galaxy M87 streams out a black-hole-powered jet of electrons and other sub-atomic particles traveling at nearly the speed of light.

Fig. 5‑4 illustrates a cube viewed from a distance of four times the length of its sides. At high speeds, the sides of the cube that are perpendicular to the direction of motion appear hyperbolic in shape. The cube is actually not rotated. Rather, light from the rear of the cube takes longer to reach one's eyes compared with light from the front, during which time the cube has moved to the right. This illusion has come to be known as Terrell rotation or the Terrell–Penrose effect.[note 9]

Another example where visual appearance is at odds with measurement comes from the observation of apparent superluminal motion in various radio galaxies, BL Lac objects, quasars, and other astronomical objects that eject relativistic-speed jets of matter at narrow angles with respect to the viewer. An apparent optical illusion results giving the appearance of faster than light travel.[48][49][50] In Fig. 5‑5, galaxy M87 streams out a high-speed jet of subatomic particles almost directly towards us, but Penrose–Terrell rotation causes the jet to appear to be moving laterally in the same manner that the appearance of the cube in Fig. 5‑4 has been stretched out.[51]

Dynamics

Section Consequences derived from the Lorentz transformation dealt strictly with kinematics, the study of the motion of points, bodies, and systems of bodies without considering the forces that caused the motion. This section discusses masses, forces, energy and so forth, and as such requires consideration of physical effects beyond those encompassed by the Lorentz transformation itself.

Equivalence of mass and energy

As an object's speed approaches the speed of light from an observer's point of view, its relativistic mass increases thereby making it more and more difficult to accelerate it from within the observer's frame of reference.

The energy content of an object at rest with mass m equals mc2. Conservation of energy implies that, in any reaction, a decrease of the sum of the masses of particles must be accompanied by an increase in kinetic energies of the particles after the reaction. Similarly, the mass of an object can be increased by taking in kinetic energies.

In addition to the papers referenced above—which give derivations of the Lorentz transformation and describe the foundations of special relativity—Einstein also wrote at least four papers giving heuristic arguments for the equivalence (and transmutability) of mass and energy, for E = mc2.

Mass–energy equivalence is a consequence of special relativity. The energy and momentum, which are separate in Newtonian mechanics, form a four-vector in relativity, and this relates the time component (the energy) to the space components (the momentum) in a non-trivial way. For an object at rest, the energy–momentum four-vector is (E/c, 0, 0, 0): it has a time component which is the energy, and three space components which are zero. By changing frames with a Lorentz transformation in the x direction with a small value of the velocity v, the energy momentum four-vector becomes (E/c, Ev/c2, 0, 0). The momentum is equal to the energy multiplied by the velocity divided by c2. As such, the Newtonian mass of an object, which is the ratio of the momentum to the velocity for slow velocities, is equal to E/c2.

The energy and momentum are properties of matter and radiation, and it is impossible to deduce that they form a four-vector just from the two basic postulates of special relativity by themselves, because these don't talk about matter or radiation, they only talk about space and time. The derivation therefore requires some additional physical reasoning. In his 1905 paper, Einstein used the additional principles that Newtonian mechanics should hold for slow velocities, so that there is one energy scalar and one three-vector momentum at slow velocities, and that the conservation law for energy and momentum is exactly true in relativity. Furthermore, he assumed that the energy of light is transformed by the same Doppler-shift factor as its frequency, which he had previously shown to be true based on Maxwell's equations.[p 1] The first of Einstein's papers on this subject was "Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy Content?" in 1905.[p 21] Although Einstein's argument in this paper is nearly universally accepted by physicists as correct, even self-evident, many authors over the years have suggested that it is wrong.[52] Other authors suggest that the argument was merely inconclusive because it relied on some implicit assumptions.[53]

Einstein acknowledged the controversy over his derivation in his 1907 survey paper on special relativity. There he notes that it is problematic to rely on Maxwell's equations for the heuristic mass–energy argument. The argument in his 1905 paper can be carried out with the emission of any massless particles, but the Maxwell equations are implicitly used to make it obvious that the emission of light in particular can be achieved only by doing work. To emit electromagnetic waves, all you have to do is shake a charged particle, and this is clearly doing work, so that the emission is of energy.[p 22][note 10]

How far can one travel from the Earth?

Since one can not travel faster than light, one might conclude that a human can never travel farther from Earth than 40 light years if the traveler is active between the ages of 20 and 60. One would easily think that a traveler would never be able to reach more than the very few solar systems which exist within the limit of 20–40 light years from the earth. But that would be a mistaken conclusion. Because of time dilation, a hypothetical spaceship can travel thousands of light years during the pilot's 40 active years. If a spaceship could be built that accelerates at a constant 1g, it will, after a little less than a year, be travelling at almost the speed of light as seen from Earth. This is described by:

where v(t) is the velocity at a time t, a is the acceleration of 1g and t is the time as measured by people on Earth.[p 23] Therefore, after one year of accelerating at 9.81 m/s2, the spaceship will be travelling at v = 0.77c relative to Earth. Time dilation will increase the travellers life span as seen from the reference frame of the Earth to 2.7 years, but his lifespan measured by a clock travelling with him will not change. During his journey, people on Earth will experience more time than he does. A 5-year round trip for him will take 6.5 Earth years and cover a distance of over 6 light-years. A 20-year round trip for him (5 years accelerating, 5 decelerating, twice each) will land him back on Earth having travelled for 335 Earth years and a distance of 331 light years.[54] A full 40-year trip at 1g will appear on Earth to last 58,000 years and cover a distance of 55,000 light years. A 40-year trip at 1.1g will take 148,000 Earth years and cover about 140,000 light years. A one-way 28 year (14 years accelerating, 14 decelerating as measured with the astronaut's clock) trip at 1g acceleration could reach 2,000,000 light-years to the Andromeda Galaxy.[54] This same time dilation is why a muon travelling close to c is observed to travel much farther than c times its half-life (when at rest).[55]

Relativity and unifying electromagnetism

Theoretical investigation in classical electromagnetism led to the discovery of wave propagation. Equations generalizing the electromagnetic effects found that finite propagation speed of the E and B fields required certain behaviors on charged particles. The general study of moving charges forms the Liénard–Wiechert potential, which is a step towards special relativity.

The Lorentz transformation of the electric field of a moving charge into a non-moving observer's reference frame results in the appearance of a mathematical term commonly called the magnetic field. Conversely, the magnetic field generated by a moving charge disappears and becomes a purely electrostatic field in a comoving frame of reference. Maxwell's equations are thus simply an empirical fit to special relativistic effects in a classical model of the Universe. As electric and magnetic fields are reference frame dependent and thus intertwined, one speaks of electromagnetic fields. Special relativity provides the transformation rules for how an electromagnetic field in one inertial frame appears in another inertial frame.

Maxwell's equations in the 3D form are already consistent with the physical content of special relativity, although they are easier to manipulate in a manifestly covariant form, i.e. in the language of tensor calculus.[56]

Theories of relativity and quantum mechanics

Special relativity can be combined with quantum mechanics to form relativistic quantum mechanics and quantum electrodynamics. It is an unsolved problem in physics how general relativity and quantum mechanics can be unified; quantum gravity and a "theory of everything", which require a unification including general relativity too, are active and ongoing areas in theoretical research.

The early Bohr–Sommerfeld atomic model explained the fine structure of alkali metal atoms using both special relativity and the preliminary knowledge on quantum mechanics of the time.[57]

In 1928, Paul Dirac constructed an influential relativistic wave equation, now known as the Dirac equation in his honour,[p 24] that is fully compatible both with special relativity and with the final version of quantum theory existing after 1926. This equation explained not only the intrinsic angular momentum of the electrons called spin, it also led to the prediction of the antiparticle of the electron (the positron),[p 24][p 25] and fine structure could only be fully explained with special relativity. It was the first foundation of relativistic quantum mechanics. In non-relativistic quantum mechanics, spin is phenomenological and cannot be explained.

On the other hand, the existence of antiparticles leads to the conclusion that relativistic quantum mechanics is not enough for a more accurate and complete theory of particle interactions. Instead, a theory of particles interpreted as quantized fields, called quantum field theory, becomes necessary; in which particles can be created and destroyed throughout space and time.

Status

Special relativity in its Minkowski spacetime is accurate only when the absolute value of the gravitational potential is much less than c2 in the region of interest.[58] In a strong gravitational field, one must use general relativity. General relativity becomes special relativity at the limit of a weak field. At very small scales, such as at the Planck length and below, quantum effects must be taken into consideration resulting in quantum gravity. However, at macroscopic scales and in the absence of strong gravitational fields, special relativity is experimentally tested to extremely high degree of accuracy (10−20)[59] and thus accepted by the physics community. Experimental results which appear to contradict it are not reproducible and are thus widely believed to be due to experimental errors.

Special relativity is mathematically self-consistent, and it is an organic part of all modern physical theories, most notably quantum field theory, string theory, and general relativity (in the limiting case of negligible gravitational fields).

Newtonian mechanics mathematically follows from special relativity at small velocities (compared to the speed of light) – thus Newtonian mechanics can be considered as a special relativity of slow moving bodies. See classical mechanics for a more detailed discussion.

Several experiments predating Einstein's 1905 paper are now interpreted as evidence for relativity. Of these it is known Einstein was aware of the Fizeau experiment before 1905,[60] and historians have concluded that Einstein was at least aware of the Michelson–Morley experiment as early as 1899 despite claims he made in his later years that it played no role in his development of the theory.[10]

  • The Fizeau experiment (1851, repeated by Michelson and Morley in 1886) measured the speed of light in moving media, with results that are consistent with relativistic addition of colinear velocities.
  • The famous Michelson–Morley experiment (1881, 1887) gave further support to the postulate that detecting an absolute reference velocity was not achievable. It should be stated here that, contrary to many alternative claims, it said little about the invariance of the speed of light with respect to the source and observer's velocity, as both source and observer were travelling together at the same velocity at all times.
  • The Trouton–Noble experiment (1903) showed that the torque on a capacitor is independent of position and inertial reference frame.
  • The Experiments of Rayleigh and Brace (1902, 1904) showed that length contraction doesn't lead to birefringence for a co-moving observer, in accordance with the relativity principle.

Particle accelerators routinely accelerate and measure the properties of particles moving at near the speed of light, where their behavior is completely consistent with relativity theory and inconsistent with the earlier Newtonian mechanics. These machines would simply not work if they were not engineered according to relativistic principles. In addition, a considerable number of modern experiments have been conducted to test special relativity. Some examples:

Technical discussion of spacetime

Geometry of spacetime

Comparison between flat Euclidean space and Minkowski space

Figure 10-1. Orthogonality and rotation of coordinate systems compared between left: Euclidean space through circular angle φ, right: in Minkowski spacetime through hyperbolic angle φ (red lines labelled c denote the worldlines of a light signal, a vector is orthogonal to itself if it lies on this line).[61]

Special relativity uses a 'flat' 4-dimensional Minkowski space – an example of a spacetime. Minkowski spacetime appears to be very similar to the standard 3-dimensional Euclidean space, but there is a crucial difference with respect to time.

In 3D space, the differential of distance (line element) ds is defined by

where dx = (dx1, dx2, dx3) are the differentials of the three spatial dimensions. In Minkowski geometry, there is an extra dimension with coordinate X0 derived from time, such that the distance differential fulfills

where dX = (dX0, dX1, dX2, dX3) are the differentials of the four spacetime dimensions. This suggests a deep theoretical insight: special relativity is simply a rotational symmetry of our spacetime, analogous to the rotational symmetry of Euclidean space (see Fig. 10‑1).[62] Just as Euclidean space uses a Euclidean metric, so spacetime uses a Minkowski metric. Basically, special relativity can be stated as the invariance of any spacetime interval (that is the 4D distance between any two events) when viewed from any inertial reference frame. All equations and effects of special relativity can be derived from this rotational symmetry (the Poincaré group) of Minkowski spacetime.

The actual form of ds above depends on the metric and on the choices for the X0 coordinate. To make the time coordinate look like the space coordinates, it can be treated as imaginary: X0 = ict (this is called a Wick rotation). According to Misner, Thorne and Wheeler (1971, §2.3), ultimately the deeper understanding of both special and general relativity will come from the study of the Minkowski metric (described below) and to take X0 = ct, rather than a "disguised" Euclidean metric using ict as the time coordinate.

Some authors use X0 = t, with factors of c elsewhere to compensate; for instance, spatial coordinates are divided by c or factors of c±2 are included in the metric tensor.[63] These numerous conventions can be superseded by using natural units where c = 1. Then space and time have equivalent units, and no factors of c appear anywhere.

3D spacetime

Figure 10-2. Three-dimensional dual-cone.

If we reduce the spatial dimensions to 2, so that we can represent the physics in a 3D space

we see that the null geodesics lie along a dual-cone (see Fig. 10‑2) defined by the equation;

or simply

 which is the equation of a circle of radius c dt.

4D spacetime

If we extend this to three spatial dimensions, the null geodesics are the 4-dimensional cone:

so

Figure 10-3. Concentric spheres, illustrating in 3-space the null geodesics of a 4-dimensional cone in spacetime.

As illustrated in Fig. 10‑3, the null geodesics can be visualized as a set of continuous concentric spheres with radii = c dt.

This null dual-cone represents the "line of sight" of a point in space. That is, when we look at the stars and say "The light from that star which I am receiving is X years old", we are looking down this line of sight: a null geodesic. We are looking at an event a distance away and a time d/c in the past. For this reason the null dual cone is also known as the 'light cone'. (The point in the lower left of the Fig. 10‑2 represents the star, the origin represents the observer, and the line represents the null geodesic "line of sight".)

The cone in the −t region is the information that the point is 'receiving', while the cone in the +t section is the information that the point is 'sending'.

The geometry of Minkowski space can be depicted using Minkowski diagrams, which are useful also in understanding many of the thought-experiments in special relativity.

Note that, in 4d spacetime, the concept of the center of mass becomes more complicated, see center of mass (relativistic).

Physics in spacetime

Transformations of physical quantities between reference frames

Above, the Lorentz transformation for the time coordinate and three space coordinates illustrates that they are intertwined. This is true more generally: certain pairs of "timelike" and "spacelike" quantities naturally combine on equal footing under the same Lorentz transformation.

The Lorentz transformation in standard configuration above, i.e. for a boost in the x direction, can be recast into matrix form as follows:

In Newtonian mechanics, quantities which have magnitude and direction are mathematically described as 3d vectors in Euclidean space, and in general they are parametrized by time. In special relativity, this notion is extended by adding the appropriate timelike quantity to a spacelike vector quantity, and we have 4d vectors, or "four vectors", in Minkowski spacetime. The components of vectors are written using tensor index notation, as this has numerous advantages. The notation makes it clear the equations are manifestly covariant under the Poincaré group, thus bypassing the tedious calculations to check this fact. In constructing such equations, we often find that equations previously thought to be unrelated are, in fact, closely connected being part of the same tensor equation. Recognizing other physical quantities as tensors simplifies their transformation laws. Throughout, upper indices (superscripts) are contravariant indices rather than exponents except when they indicate a square (this should be clear from the context), and lower indices (subscripts) are covariant indices. For simplicity and consistency with the earlier equations, Cartesian coordinates will be used.

The simplest example of a four-vector is the position of an event in spacetime, which constitutes a timelike component ct and spacelike component x = (x, y, z), in a contravariant position four vector with components:

where we define X0 = ct so that the time coordinate has the same dimension of distance as the other spatial dimensions; so that space and time are treated equally.[64][65][66] Now the transformation of the contravariant components of the position 4-vector can be compactly written as:

where there is an implied summation on from 0 to 3, and is a matrix.

More generally, all contravariant components of a four-vector transform from one frame to another frame by a Lorentz transformation:

Examples of other 4-vectors include the four-velocity defined as the derivative of the position 4-vector with respect to proper time:

where the Lorentz factor is:

The relativistic energy and relativistic momentum of an object are respectively the timelike and spacelike components of a contravariant four momentum vector:

where m is the invariant mass.

The four-acceleration is the proper time derivative of 4-velocity:

The transformation rules for three-dimensional velocities and accelerations are very awkward; even above in standard configuration the velocity equations are quite complicated owing to their non-linearity. On the other hand, the transformation of four-velocity and four-acceleration are simpler by means of the Lorentz transformation matrix.

The four-gradient of a scalar field φ transforms covariantly rather than contravariantly:

which is the transpose of:

only in Cartesian coordinates. It's the covariant derivative which transforms in manifest covariance, in Cartesian coordinates this happens to reduce to the partial derivatives, but not in other coordinates.

More generally, the covariant components of a 4-vector transform according to the inverse Lorentz transformation:

where is the reciprocal matrix of .

The postulates of special relativity constrain the exact form the Lorentz transformation matrices take.

More generally, most physical quantities are best described as (components of) tensors. So to transform from one frame to another, we use the well-known tensor transformation law[67]

where is the reciprocal matrix of . All tensors transform by this rule.

An example of a four dimensional second order antisymmetric tensor is the relativistic angular momentum, which has six components: three are the classical angular momentum, and the other three are related to the boost of the center of mass of the system. The derivative of the relativistic angular momentum with respect to proper time is the relativistic torque, also second order antisymmetric tensor.

The electromagnetic field tensor is another second order antisymmetric tensor field, with six components: three for the electric field and another three for the magnetic field. There is also the stress–energy tensor for the electromagnetic field, namely the electromagnetic stress–energy tensor.

Metric

The metric tensor allows one to define the inner product of two vectors, which in turn allows one to assign a magnitude to the vector. Given the four-dimensional nature of spacetime the Minkowski metric η has components (valid in any inertial reference frame) which can be arranged in a 4 × 4 matrix:

which is equal to its reciprocal, , in those frames. Throughout we use the signs as above, different authors use different conventions – see Minkowski metric alternative signs.

The Poincaré group is the most general group of transformations which preserves the Minkowski metric:

and this is the physical symmetry underlying special relativity.

The metric can be used for raising and lowering indices on vectors and tensors. Invariants can be constructed using the metric, the inner product of a 4-vector T with another 4-vector S is:

Invariant means that it takes the same value in all inertial frames, because it is a scalar (0 rank tensor), and so no Λ appears in its trivial transformation. The magnitude of the 4-vector T is the positive square root of the inner product with itself:

One can extend this idea to tensors of higher order, for a second order tensor we can form the invariants:

similarly for higher order tensors. Invariant expressions, particularly inner products of 4-vectors with themselves, provide equations that are useful for calculations, because one doesn't need to perform Lorentz transformations to determine the invariants.

Relativistic kinematics and invariance

The coordinate differentials transform also contravariantly:

so the squared length of the differential of the position four-vector dXμ constructed using

is an invariant. Notice that when the line element dX2 is negative that dX2 is the differential of proper time, while when dX2 is positive, dX2 is differential of the proper distance.

The 4-velocity Uμ has an invariant form:

which means all velocity four-vectors have a magnitude of c. This is an expression of the fact that there is no such thing as being at coordinate rest in relativity: at the least, you are always moving forward through time. Differentiating the above equation by τ produces:

So in special relativity, the acceleration four-vector and the velocity four-vector are orthogonal.

Relativistic dynamics and invariance

The invariant magnitude of the momentum 4-vector generates the energy–momentum relation:

We can work out what this invariant is by first arguing that, since it is a scalar, it doesn't matter in which reference frame we calculate it, and then by transforming to a frame where the total momentum is zero.

We see that the rest energy is an independent invariant. A rest energy can be calculated even for particles and systems in motion, by translating to a frame in which momentum is zero.

The rest energy is related to the mass according to the celebrated equation discussed above:

Note that the mass of systems measured in their center of momentum frame (where total momentum is zero) is given by the total energy of the system in this frame. It may not be equal to the sum of individual system masses measured in other frames.

To use Newton's third law of motion, both forces must be defined as the rate of change of momentum with respect to the same time coordinate. That is, it requires the 3D force defined above. Unfortunately, there is no tensor in 4D which contains the components of the 3D force vector among its components.

If a particle is not traveling at c, one can transform the 3D force from the particle's co-moving reference frame into the observer's reference frame. This yields a 4-vector called the four-force. It is the rate of change of the above energy momentum four-vector with respect to proper time. The covariant version of the four-force is:

In the rest frame of the object, the time component of the four force is zero unless the "invariant mass" of the object is changing (this requires a non-closed system in which energy/mass is being directly added or removed from the object) in which case it is the negative of that rate of change of mass, times c. In general, though, the components of the four force are not equal to the components of the three-force, because the three force is defined by the rate of change of momentum with respect to coordinate time, i.e. dp/dt while the four force is defined by the rate of change of momentum with respect to proper time, i.e. dp/dτ.

In a continuous medium, the 3D density of force combines with the density of power to form a covariant 4-vector. The spatial part is the result of dividing the force on a small cell (in 3-space) by the volume of that cell. The time component is −1/c times the power transferred to that cell divided by the volume of the cell. This will be used below in the section on electromagnetism.

See also

People: Hendrik Lorentz | Henri Poincaré | Albert Einstein | Max Planck | Hermann Minkowski | Max von Laue | Arnold Sommerfeld | Max Born | Gustav Herglotz | Richard C. Tolman
Relativity: Theory of relativity | History of special relativity | Principle of relativity | Doubly special relativity | General relativity | Frame of reference | Inertial frame of reference | Lorentz transformations | Bondi k-calculus | Einstein synchronisation | Rietdijk–Putnam argument | Special relativity (alternative formulations) | Criticism of relativity theory | Relativity priority dispute
Physics: Einstein's thought experiments | Newtonian Mechanics | spacetime | speed of light | simultaneity | center of mass (relativistic) | physical cosmology | Doppler effect | relativistic Euler equations | Aether drag hypothesis | Lorentz ether theory | Moving magnet and conductor problem | Shape waves | Relativistic heat conduction | Relativistic disk | Thomas precession | Born rigidity | Born coordinates
Mathematics: Derivations of the Lorentz transformations | Minkowski space | four-vector | world line | light cone | Lorentz group | Poincaré group | geometry | tensors | split-complex number | Relativity in the APS formalism
Philosophy: actualism | conventionalism | formalism
Paradoxes: Twin paradox | Ehrenfest paradox | Ladder paradox | Bell's spaceship paradox | Velocity composition paradox | Lighthouse paradox

Primary sources

  1. ^ a b c d e Albert Einstein (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17: 891; English translation On the Electrodynamics of Moving Bodies by George Barker Jeffery and Wilfrid Perrett (1923); Another English translation On the Electrodynamics of Moving Bodies by Megh Nad Saha (1920).
  2. ^ Science and Common Sense, P. W. Bridgman, The Scientific Monthly, Vol. 79, No. 1 (Jul., 1954), pp. 32-39.
  3. ^ The Electromagnetic Mass and Momentum of a Spinning Electron, G. Breit, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 12, p.451, 1926
  4. ^ Kinematics of an electron with an axis. Phil. Mag. 3:1-22. L. H. Thomas.]
  5. ^ a b Einstein, Autobiographical Notes, 1949.
  6. ^ Einstein, "Fundamental Ideas and Methods of the Theory of Relativity", 1920
  7. ^ Einstein, On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from It, 1907; "The Principle of Relativity and Its Consequences in Modern Physics", 1910; "The Theory of Relativity", 1911; Manuscript on the Special Theory of Relativity, 1912; Theory of Relativity, 1913; Einstein, Relativity, the Special and General Theory, 1916; The Principal Ideas of the Theory of Relativity, 1916; What Is The Theory of Relativity?, 1919; The Principle of Relativity (Princeton Lectures), 1921; Physics and Reality, 1936; The Theory of Relativity, 1949.
  8. ^ Yaakov Friedman (2004). Physical Applications of Homogeneous Balls. Progress in Mathematical Physics. 40. pp. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
  9. ^ Das, A. (1993) The Special Theory of Relativity, A Mathematical Exposition, Springer, ISBN 0-387-94042-1.
  10. ^ Schutz, J. (1997) Independent Axioms for Minkowski Spacetime, Addison Wesley Longman Limited, ISBN 0-582-31760-6.
  11. ^ Lorentz, H.A. (1902). "The rotation of the plane of polarization in moving media" (PDF). Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW). 4: 669–678. Bibcode:1901KNAB....4..669L. Retrieved 15 November 2018.
  12. ^ a b Lorentz, H. A. (1904). "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light" (PDF). Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW). 6: 809–831. Bibcode:1903KNAB....6..809L. Retrieved 15 November 2018.
  13. ^ Lorentz, Hendrik (1895). "Investigation of oscillations excited by oscillating ions". Attempt at a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies (Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern). Leiden: E. J. Brill. (subsection § 31).
  14. ^ Lin, Shih-Chun; Giallorenzi, Thomas G. (1979). "Sensitivity analysis of the Sagnac-effect optical-fiber ring interferometer". Applied Optics. 18 (6): 915–931. Bibcode:1979ApOpt..18..915L. doi:10.1364/AO.18.000915. PMID 20208844.
  15. ^ Shaw, R. (1962). "Length Contraction Paradox". American Journal of Physics. 30 (1): 72. Bibcode:1962AmJPh..30...72S. doi:10.1119/1.1941907.
  16. ^ G. A. Benford; D. L. Book & W. A. Newcomb (1970). "The Tachyonic Antitelephone". Physical Review D. 2 (2): 263. Bibcode:1970PhRvD...2..263B. doi:10.1103/PhysRevD.2.263.
  17. ^ Zeeman, Pieter (1914). "Fresnel's coefficient for light of different colours. (First part)". Proc. Kon. Acad. Van Weten. 17: 445–451. Bibcode:1914KNAB...17..445Z.
  18. ^ Zeeman, Pieter (1915). "Fresnel's coefficient for light of different colours. (Second part)". Proc. Kon. Acad. Van Weten. 18: 398–408. Bibcode:1915KNAB...18..398Z.
  19. ^ Terrell, James (15 November 1959). "Invisibility of the Lorentz Contraction". Physical Review. 116 (4): 1041–1045. Bibcode:1959PhRv..116.1041T. doi:10.1103/PhysRev.116.1041.
  20. ^ Penrose, Roger (24 October 2008). "The Apparent Shape of a Relativistically Moving Sphere". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 55 (1): 137. Bibcode:1959PCPS...55..137P. doi:10.1017/S0305004100033776.
  21. ^ Does the inertia of a body depend upon its energy content? A. Einstein, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (English translation by W. Perrett and G.B. Jeffery)
  22. ^ On the Inertia of Energy Required by the Relativity Principle, A. Einstein, Annalen der Physik 23 (1907): 371–384
  23. ^ Baglio, Julien (26 May 2007). "Acceleration in special relativity: What is the meaning of "uniformly accelerated movement" ?" (PDF). Physics Department, ENS Cachan. Retrieved 22 January 2016.
  24. ^ a b P.A.M. Dirac (1930). "A Theory of Electrons and Protons" (PDF). Proceedings of the Royal Society. A126 (801): 360–365. Bibcode:1930RSPSA.126..360D. doi:10.1098/rspa.1930.0013. JSTOR 95359.
  25. ^ C.D. Anderson (1933). "The Positive Electron". Phys. Rev. 43 (6): 491–494. Bibcode:1933PhRv...43..491A. doi:10.1103/PhysRev.43.491.

References

  1. ^ Tom Roberts & Siegmar Schleif (October 2007). "What is the experimental basis of Special Relativity?". Usenet Physics FAQ. Retrieved 2008-09-17.
  2. ^ Albert Einstein (2001). Relativity: The Special and the General Theory (Reprint of 1920 translation by Robert W. Lawson ed.). Routledge. p. 48. ISBN 978-0-415-25384-0.
  3. ^ Richard Phillips Feynman (1998). Six Not-so-easy Pieces: Einstein's relativity, symmetry, and space–time (Reprint of 1995 ed.). Basic Books. p. 68. ISBN 978-0-201-32842-4.
  4. ^ Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity, ch. 1, "Special relativity and flat spacetime," http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll1.html
  5. ^ Koks, Don (2006). Explorations in Mathematical Physics: The Concepts Behind an Elegant Language (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 234. ISBN 978-0-387-32793-8. Extract of page 234
  6. ^ Steane, Andrew M. (2012). Relativity Made Relatively Easy (illustrated ed.). OUP Oxford. p. 226. ISBN 978-0-19-966286-9. Extract of page 226
  7. ^ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2327-1.
  8. ^ a b c Rindler, Wolfgang (1977). Essential Relativity: Special, General, and Cosmological (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. §1,11 p. 7. ISBN 978-3-540-07970-5.
  9. ^ Michael Polanyi (1974) Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy, ISBN 0-226-67288-3, footnote page 10–11: Einstein reports, via Dr N Balzas in response to Polanyi's query, that "The Michelson–Morley experiment had no role in the foundation of the theory." and "..the theory of relativity was not founded to explain its outcome at all." [1]
  10. ^ a b Jeroen van Dongen (2009). "On the role of the Michelson–Morley experiment: Einstein in Chicago". Archive for History of Exact Sciences. 63 (6): 655–663. arXiv:0908.1545. Bibcode:2009arXiv0908.1545V. doi:10.1007/s00407-009-0050-5.
  11. ^ For a survey of such derivations, see Lucas and Hodgson, Spacetime and Electromagnetism, 1990
  12. ^ Einstein, A., Lorentz, H. A., Minkowski, H., & Weyl, H. (1952). The Principle of Relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. Courier Dover Publications. p. 111. ISBN 978-0-486-60081-9.CS1 maint: Multiple names: authors list (link)
  13. ^ Collier, Peter (2017). A Most Incomprehensible Thing: Notes Towards a Very Gentle Introduction to the Mathematics of Relativity (3rd ed.). Incomprehensible Books. ISBN 9780957389465.
  14. ^ Staley, Richard (2009), "Albert Michelson, the Velocity of Light, and the Ether Drift", Einstein's generation. The origins of the relativity revolution, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-77057-5
  15. ^ a b c d e f g h David Morin (2007) Introduction to Classical Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, chapter 11, Appendix I, ISBN 1-139-46837-5.
  16. ^ Miller, D. J. (2010). "A constructive approach to the special theory of relativity". American Journal of Physics. 78 (6): 633–638. arXiv:0907.0902. Bibcode:2010AmJPh..78..633M. doi:10.1119/1.3298908.
  17. ^ Taylor, Edwin; Wheeler, John Archibald (1992). Spacetime Physics (2nd ed.). W.H. Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-2327-1.
  18. ^ Callahan, James J. (2011). The Geometry of Spacetime: An Introduction to Special and General Relativity. New York: Springer. ISBN 9781441931429.
  19. ^ Mermin, N. David (1968). Space and Time in Special Relativity. McGraw-Hill. ISBN 978-0881334203.
  20. ^ Robert Resnick (1968). Introduction to special relativity. Wiley. pp. 62–63.
  21. ^ a b Miller, Arthur I. (1998). Albert Einstein's Special Theory of Relativity: Emergence (1905) and Early Interpretation (1905-1911). Mew York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94870-6.
  22. ^ Bernstein, Jeremy (2006). Secrets of the Old One: Einstein, 1905. Copernicus Books (imprint of Springer Science + Business Media). ISBN 978-0387-26005-1.
  23. ^ Darrigol, Olivier (2005). "The Genesis of the Theory of Relativity" (PDF). Séminaire Poincaré. 1: 1–22. Bibcode:2006eins.book....1D. Retrieved 15 November 2018.
  24. ^ a b c Rindler, Wolfgang (1977). Essential Relativity (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-10090-6.
  25. ^ a b c d Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (1966). Spacetime Physics (1st ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company.
  26. ^ Ashby, Neil (2003). "Relativity in the Global Positioning System". Living Reviews in Relativity. 6 (1): 1. Bibcode:2003LRR.....6....1A. doi:10.12942/lrr-2003-1. PMC 5253894. PMID 28163638.
  27. ^ Daniel Kleppner & David Kolenkow (1973). An Introduction to Mechanics. pp. 468–70. ISBN 978-0-07-035048-9.
  28. ^ Tolman, Richard C. (1917). The Theory of the Relativity of Motion. Berkeley: University of California Press. p. 54.
  29. ^ Takeuchi, Tatsu. "Special Relativity Lecture Notes - Section 10". Virginia Tech. Retrieved 31 October 2018.
  30. ^ Morin, David (2017). Special Relativity for the Enthusiastic Beginner. CreateSpace Independent Publishing Platform. pp. 90–92. ISBN 9781542323512.
  31. ^ Gibbs, Philip. "Is Faster-Than-Light Travel or Communication Possible?". Physics FAQ. Department of Mathematics, University of California, Riverside. Retrieved 31 October 2018.
  32. ^ Ginsburg, David (1989). Applications of Electrodynamics in Theoretical Physics and Astrophysics (illustrated ed.). CRC Press. p. 206. Bibcode:1989aetp.book.....G. ISBN 978-2-88124-719-4. Extract of page 206
  33. ^ Wesley C. Salmon (2006). Four Decades of Scientific Explanation. University of Pittsburgh. p. 107. ISBN 978-0-8229-5926-7., Section 3.7 page 107
  34. ^ Lauginie, P. (2004). "Measuring Speed of Light: Why? Speed of what?" (PDF). Proceedings of the Fifth International Conference for History of Science in Science Education. Archived from the original (PDF) on 4 July 2015. Retrieved 3 July 2015.
  35. ^ Stachel, J. (2005). "Fresnel's (dragging) coefficient as a challenge to 19th century optics of moving bodies". In Kox, A.J.; Eisenstaedt, J (eds.). The universe of general relativity. Boston: Birkhäuser. pp. 1–13. ISBN 978-0-8176-4380-5. Retrieved 17 April 2012.
  36. ^ Richard A. Mould (2001). Basic Relativity (2nd ed.). Springer. p. 8. ISBN 978-0-387-95210-9.
  37. ^ Seidelmann, P. Kenneth, ed. (1992). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. ill Valley, Calif.: University Science Books. p. 393. ISBN 978-0-935702-68-2.
  38. ^ Ferraro, Rafael; Sforza, Daniel M. (2005). "European Physical Society logo Arago (1810): the first experimental result against the ether". European Journal of Physics. 26: 195. arXiv:physics/0412055. doi:10.1088/0143-0807/26/1/020.
  39. ^ Dolan, Graham. "Airy's Water Telescope (1870)". The Royal Observatory Greenwich. Retrieved 20 November 2018.
  40. ^ Hollis, H. P. (1937). "Airy's water telescope". The Observatory. 60: 103–107. Bibcode:1937Obs....60..103H. Retrieved 20 November 2018.
  41. ^ Janssen, Michel; Stachel, John (2004). "The Optics and Electrodynamics of Moving Bodies" (PDF). In Stachel, John (ed.). Going Critical. Springer. ISBN 978-1-4020-1308-9.
  42. ^ Sher, D. (1968). "The Relativistic Doppler Effect". Journal of the Royal Astronomical Society of Canada. 62: 105–111. Retrieved 11 October 2018.
  43. ^ Gill, T. P. (1965). The Doppler Effect. London: Logos Press Limited. pp. 6–9. Retrieved 12 October 2018.
  44. ^ Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (February 1977). "Relativistic Effects in Radiation". The Feynman Lectures on Physics: Volume 1. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. pp. 34–7 f. ISBN 9780201021165. LCCN 2010938208.
  45. ^ Cook, Helen. "Relativistic Distortion". Mathematics Department, University of British Columbia. Retrieved 12 April 2017.
  46. ^ Signell, Peter. "Appearances at Relativistic Speeds" (PDF). Project PHYSNET. Michigan State University, East Lansing, MI. Archived from the original (PDF) on 13 April 2017. Retrieved 12 April 2017.
  47. ^ Kraus, Ute. "The Ball is Round". Space Time Travel: Relativity visualized. Institut für Physik Universität Hildesheim. Archived from the original on 12 May 2017. Retrieved 16 April 2017.
  48. ^ Zensus, J. Anton; Pearson, Timothy J. (1987). Superluminal Radio Sources (1st ed.). Cambridge, New York: Cambridge University Press. p. 3. ISBN 9780521345606.
  49. ^ Chase, Scott I. "Apparent Superluminal Velocity of Galaxies". The Original Usenet Physics FAQ. Department of Mathematics, University of California, Riverside. Retrieved 12 April 2017.
  50. ^ Richmond, Michael. ""Superluminal" motions in astronomical sources". Physics 200 Lecture Notes. School of Physics and Astronomy, Rochester Institute of Technology. Archived from the original on 16 February 2017. Retrieved 20 April 2017.
  51. ^ Keel, Bill. "Jets, Superluminal Motion, and Gamma-Ray Bursts". Galaxies and the Universe - WWW Course Notes. Department of Physics and Astronomy, University of Alabama. Archived from the original on 1 March 2017. Retrieved 29 April 2017.
  52. ^ Max Jammer (1997). Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Courier Dover Publications. pp. 177–178. ISBN 978-0-486-29998-3.
  53. ^ John J. Stachel (2002). Einstein from B to Z. Springer. p. 221. ISBN 978-0-8176-4143-6.
  54. ^ a b Philip Gibbs & Don Koks. "The Relativistic Rocket". Retrieved 30 August 2012.
  55. ^ The special theory of relativity shows that time and space are affected by motion Archived 2012-10-21 at the Wayback Machine. Library.thinkquest.org. Retrieved on 2013-04-24.
  56. ^ E. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-65427-0.
  57. ^ R. Resnick; R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 114–116. ISBN 978-0-471-87373-0.
  58. ^ Øyvind Grøn & Sigbjørn Hervik (2007). Einstein's general theory of relativity: with modern applications in cosmology. Springer. p. 195. ISBN 978-0-387-69199-2. Extract of page 195 (with units where c=1)
  59. ^ The number of works is vast, see as example:
    Sidney Coleman; Sheldon L. Glashow (1997). "Cosmic Ray and Neutrino Tests of Special Relativity". Physics Letters B. 405 (3–4): 249–252. arXiv:hep-ph/9703240. Bibcode:1997PhLB..405..249C. doi:10.1016/S0370-2693(97)00638-2.
    An overview can be found on this page
  60. ^ John D. Norton, John D. (2004). "Einstein's Investigations of Galilean Covariant Electrodynamics prior to 1905". Archive for History of Exact Sciences. 59 (1): 45–105. Bibcode:2004AHES...59...45N. doi:10.1007/s00407-004-0085-6.
  61. ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 978-0-7167-0344-0.
  62. ^ J.R. Forshaw; A.G. Smith (2009). Dynamics and Relativity. Wiley. p. 247. ISBN 978-0-470-01460-8.
  63. ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
  64. ^ Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, pg 5, ISBN 0-07-032071-3
  65. ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler, Gravitation, pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
  66. ^ George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
  67. ^ Sean M. Carroll (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. p. 22. ISBN 978-0-8053-8732-2.

Notes

  1. ^ Einstein himself, in The Foundations of the General Theory of Relativity, Ann. Phys. 49 (1916), writes "The word "special" is meant to intimate that the principle is restricted to the case...". See p. 111 of The Principle of Relativity, A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, Dover reprint of 1923 translation by Methuen and Company.]
  2. ^ Wald, General Relativity, p. 60: "...the special theory of relativity asserts that spacetime is the manifold ℝ4 with a flat metric of Lorentz signature defined on it. Conversely, the entire content of special relativity ... is contained in this statement ..."
  3. ^ In a spacetime setting, the length of a rigid object is the spatial distance between the ends of the object measured at the same time.
  4. ^ The results of the Michelson–Morley experiment led George Francis FitzGerald and Hendrik Lorentz independently to propose the phenomenon of length contraction. Lorentz believed that length contraction represented a physical contraction of the atoms making up an object. He envisioned no fundamental change in the nature of space and time.[21]:62–68
         Lorentz expected that length contraction would result in compressive strains in an object that should result in measurable effects. Such effects would include optical effects in transparent media, such as optical rotation[p 11] and induction of double refraction,[p 12] and the induction of torques on charged condensers moving at an angle with respect to the aether.[p 12] Lorentz was perplexed by experiments such as the Trouton–Noble experiment and the experiments of Rayleigh and Brace which failed to validate his theoretical expectations.[21]
  5. ^ For mathematical consistency, Lorentz proposed a new time variable, the "local time", called that because it depended on the position of a moving body, following the relation .[p 13] Lorentz considered local time not to be "real"; rather, it represented an ad hoc change of variable.[22]:51,80
         Impressed by Lorentz's "most ingenious idea", Poincaré saw more in local time than a mere mathematical trick. It represented the actual time that would be shown on a moving observer's clocks. On the other hand, Poincaré did not consider this measured time to be the "true time" that would be exhibited by clocks at rest in the aether. Poincaré made no attempt to redefine the concepts of space and time. To Poincaré, Lorentz transformation described the apparent states of the field for a moving observer. True states remained those defined with respect to the ether.[23]
  6. ^ This concept is counterintuitive at least for the fact that, in contrast to usual concepts of distance, it may assume negative values (is not positive definite for non-coinciding events), and that the square-denotation is misleading. This negative square lead to, now not broadly used, concepts of imaginary time. It is immediate that the negative of is also an invariant, generated by a variant of the metric signature of spacetime.
  7. ^ The invariance of Δs2 under standard Lorentz transformation in analogous to the invariance of squared distances Δr2 under rotations in Euclidean space. Although space and time have an equal footing in relativity, the minus sign in front of the spatial terms marks space and time as being of essentially different character. They are not the same. Because it treats time differently than it treats the 3 spatial dimensions, Minkowski space differs from four-dimensional Euclidean space.
  8. ^ The refractive index dependence of the presumed partial aether-drag was eventually confirmed by Pieter Zeeman in 1914–1915, long after special relativity had been accepted by the mainstream. Using a scaled-up version of Michelson's apparatus connected directly to Amsterdam's main water conduit, Zeeman was able to perform extended measurements using monochromatic light ranging from violet (4358 Å) through red (6870 Å).[p 17][p 18]
  9. ^ Even though it has been many decades since Terrell and Penrose published their observations, popular writings continue to conflate measurement versus appearance. For example, Michio Kaku wrote in Einstein's Cosmos (W. W. Norton & Company, 2004. p. 65): "... imagine that the speed of light is only 20 miles per hour. If a car were to go down the street, it might look compressed in the direction of motion, being squeezed like an accordion down to perhaps 1 inch in length."
  10. ^ In a letter to Carl Seelig in 1955, Einstein wrote "I had already previously found that Maxwell's theory did not account for the micro-structure of radiation and could therefore have no general validity.", Einstein letter to Carl Seelig, 1955.

Textbooks

Journal articles

External links

Original works

Special relativity for a general audience (no mathematical knowledge required)

  • Einstein Light An award-winning, non-technical introduction (film clips and demonstrations) supported by dozens of pages of further explanations and animations, at levels with or without mathematics.
  • Einstein Online Introduction to relativity theory, from