میانگین‌های فیثاغورثی

شکل هندسی میانگین درجه دوم و فیثاغورث (از دو عدد a و b). میانگین همساز با H      ، هندسی با G      ، حسابی با A       و میانگین درجه دوم (همچنین با عنوان جذر میانگین مربعات نیز شناخته می‌شود) که با Q نشان داده شده است      .

در ریاضیات، سه میانگین فیثاغورثی، (به انگلیسی: Pythagorean means) کلاسیک عبارتند از میانگین حسابی (AM)، میانگین هندسی (GM) و میانگین همساز (HM). این میانگین‌ها به دلیل اهمیت آنها در هندسه و موسیقی توسط فیثاغورثی‌ها و نسل‌های بعدی ریاضیدانان یونانی به‌صورت مفصل مورد مطالعه قرار گرفتند.

تعریف

این میانگین‌ها عبارتند از:

$${\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}}\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}$$

نابرابری بین میانگین‌ها

ترتیبی برای این سه میانگین وجود دارد (اگر همه $x_{i}$ مثبت باشند):

$$\min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max$$

و زمانی هر سه این میانگین‌ها برابر هستند که اگر و فقط اگر همه $x_{i}$‌ها برابر باشند.

جستارهای وابسته

• میانگین حسابی-هندسی
• میانگین
• نسبت طلایی
• مثلث کپلر

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی: en:Pythagorean means. تاریخ بازبینی ۷ ژوئیه ۲۰۱۴