مرکز مثلث

در هندسه، یک مرکز مثلث، نقطه‌ای در صفحه است که براساس مربع‌ها و دایره‌ها تعریف می‌گردد، یعنی نقطه‌ای است که براساس تعریفی درمرکز یک شکل قرار داشته باشد. به عنوان مثال، مرکزوار، مرکز دایره محیطی، مرکز دایره محاطی داخلی و مرکز ارتفاعی نزد یونانیان شناخته شده بودند و می‌توان آن‌ها را با ترسیمات ساده بدست آورد.

هرکدام از این مراکز دارای این خاصیت هستند که تحت تبدیلات تشابه ناوردا اند (یا به‌طور دقیق تر «یکسان‌وردا» یا «همسان‌وردا» یا equivariant هستند). به بیان دیگر، برای هر مثلث و هر تبدیل تشابه (همچون دوران، انعکاس، اتساع یا انتقال)، مرکز مثلث تبدیل یافته با مثلث اصلی یکی است. این ناوردایی، خاصیتی است که مرکز مثلث را توسط آن تعریف می‌کنند. مشخص می‌گردد که نقاط شناخته‌شده دیگری چون نقاط بروکار که تحت انعکاس ناوردا نیستند، براساس این تعریف جزو مراکز مثلث طبقه‌بندی نمی‌گردند.

تمام مراکز مثلث متساوی‌الاضلاع، با مرکزوار آن یکی می‌شوند، اما عموماً در مثلث‌های مختلف‌الأضلاع از یکدیگر متمایز می‌گردند. تعاریف و خواص هزاران مرکز مثلثی در دائرةالمعارف برخطی به نام دائرةالمعارف مراکز مثلث (ETC) گردآوری شده‌اند.

تاریخچه

گرچه که یونانیان باستان مراکز کلاسیک یک مثلث را کشف نمودند، آن‌ها تعاریف این مراکز را فرموله نکرده‌اند. بعد از یونانیان باستان، چندین نقطه خاص مربوط به یک مثلث همچون نقطه فرما، مرکز نه-نقطه، نقطه لموین، نقطه گرگون، و نقطه فویرباخ نیز کشف شدند. طی تجدید علاقه به هندسه مثلث در دهه ۱۹۸۰ میلادی، مشخص شد که این نقاط خاص، خواصی دارند که اکنون جزوی از مبنای تعریف صوری مرکز مثلث اند.^[۱]^[۲] از ۱ سپتامبر ۲۰۲۰ میلادی، دائرةالمعارف مراکز مثلث کلارک کلیمبرلینگ، فهرستی از ۳۹٬۴۷۴ مرکز مثلث را گردآوری نموده‌است.^[۳]

منابع

↑ Kimberling, Clark. "Triangle centers". Retrieved 2009-05-23. Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center
↑ Kimberling, Clark (11 Apr 2018) [1994]. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle". Mathematics Magazine. 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608. JSTOR 2690608.
↑ Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Triangle Center». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ مهٔ ۲۰۲۱.

پیوند به بیرون

Manfred Evers, On Centers and Central Lines of Triangles in the Elliptic Plane
Manfred Evers, On the geometry of a triangle in the elliptic and in the extended hyperbolic plane بایگانی‌شده در ۲ سپتامبر ۲۰۱۹ توسط Wayback Machine
Clark Kimberling, Triangle Centers from University of Evansville
Ed Pegg, Triangle Centers in the 2D, 3D, Spherical and Hyperbolic from Wolfram Research.
Paul Yiu, A Tour of Triangle Geometry from Florida Atlantic University.

[1] Kimberling, Clark. "Triangle centers". Retrieved 2009-05-23. Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center

[2] Kimberling, Clark (11 Apr 2018) [1994]. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle". Mathematics Magazine. 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608. JSTOR 2690608.

[3] Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.

[۱]

[۲]

[۳]