مدل پاتز

مدل پاتز ( به انگلیسی Potts model) مدت زیادی است که به مطالعه رفتار سیستم‌های پیچیده می‌پردازد. این مدل می‌تواند بررسی کند که چگونه عناصر داخلی سیستم بر اساس برخی خصوصیات نسبت به هم واکنش نشان می‌دهند. رخ دادن این واکنش‌ها سبب ظاهر شدن ویژگی‌های ماکروسکوپیک سیستم خواهد شد. اثبات شده است که مدل پاتز ابزاری بسیار مفید برای شبیه‌سازی سیستم‌های واقعی می‌باشد. این مدل در حیطه‌ای از مدلسازی ریاضی با عنوان مکانیک آماری مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این مدل سیستم به یک گراف نگاشت داده می‌شود به طوری که رئوس گراف اجزاء تشکیل دهنده سیستم و یال‌های آن ارتباط بین این اجزاء می‌باشد برای بسیاری از کاربردها بهتر است که تصور کنیم که گراف دارای ساختار منظمی می‌باشد، این گراف منظم را در می‌نامند. در راس این گرافها هر چیزی می‌تواند در نظر گرفته شود، مثل اتم، انسان، مایعات و سلول و حتی گره حسگر. مدل پاتز در واقع مدلسازی می‌کند که چگونه نزدیکترین عناصر همجوار با اسپین‌های متفاوت با عناصر دیگر، در شبکه در ارتباط هستند.^[۱] مدل فوق توسعه یافته مدل Ising می‌باشد. در مدل Ising برای هر رأس دو حالت در نظر گرفته می‌شود، اما در مدل پاتز، می‌توان q حالت مختلف برای هر رأس در نظر گرفت. با توجه به این که عناصر می‌توانند اسپینهای مختلفی داشته و با یکدیگر در تعامل باشند) که بستگی به مکان آنها در شبکه و اسپین خاص آنها دارد (باید معیاری برای محاسبه انرژی کل سیستم موجود باشد. تابعی که انرژی کل را برای یک حالت سیستم محاسبه می‌کند، تابع همیلتونی نام دارد.^[۲] تابع همیلتونی در نظریه کنترل بهینه کاربرد دارد و به وسیله پنتریاگین ابداع شده است و به دنبال یافتن بهترین مقدار قابل دستیابی از یک تابع هدف تعریف شده بر یک دامنه معین از مقادیر است.

σi در این تابع J انرژی بین عناصر مجاور سیستم، میزان اسپینی است که به رأس i در حالت ω اختصاص پیدا می‌کند، و δ در صورت یکسان بودن انرژی بین دو عنصر به لبه بین آنها مقدار یک و در صورت متفاوت بودن، به آن مقدار صفر می‌دهد. 1 Lattice تابع پارتیشن مدل پاتز برای یک گراف با n رأس که هر رأس آن می‌تواند q اسپین n مختلف داشته باشد، q حالت وجود دارد. مدل پاتز در واقع به بررسی این حالت می‌پردازد. تابع احتمال مدل پاتز تابعی است که احتمال پیدا کردن شبکه را در یک حالت خاص محاسبه می‌کند. این تابع، به توزیع بولتزمن از مکانیک آماری وابسته می‌باشد. معادله(۲) تابع فوق را با توزیع نمایی نشان می‌دهد. که: معادله (۳) تابع پارتیشن این مدل نامیده می‌شود. پس: این معادله احتمال پیدا کردن یک حالت خاص ω را در کل مجموعه حالت ممکن Ω محاسبه می‌کند؛ که KT/1 = β ،T k = ۱٫۳۸ × ۱۰ و سیستم دمای- ۲۳ ثابت(joules/Kelvin(بولتزمن نام دارد. اما محاسبه تابع پارتیشن تنها برای شبکه‌های کوچک رام شدنی مناسب می‌باشد و عموماً برای شبکه‌های بزرگ با qهای بزرگ hard-NP می‌باشد. ریاضیدانان به ویژگی‌های تابع پارتیشن مدل پاتز از راه‌های گوناگونی دست یافته‌اند. یکی از این راه‌ها تفسیر آن به وسیله چندضلعی Tutte می‌باشد.^[۳]روش دیگر تقریب تابع با استفاده از یک تکنیک شبیه‌سازی با عنوان الگوریتم متروپولیس می‌باشد.

این مدل به افتخار رنفری پاتس ، که مدل را در پایان دوره دکتری خود در سال ۱۹۵۱ توصیف کرد، نامگذاری شده است. پایان‌نامه این مدل مربوط به "پاتس مسطح" یا "مدل ساعت" بود که توسط مشاورش سیریل دامب به او پیشنهاد شد. مدل پاتس مسطح چهار حالته گاهی اوقات به عنوان مدل اشکین-تلر، پس از جولیوس اشکین و ادوارد تلر، که مدلی معادل را در سال ۱۹۴۳ در نظر گرفتند، شناخته می‌شود.

مدل پاتس با چندین مدل دیگر از جمله مدل XY، مدل هایزنبرگ و مدل N-بردار مرتبط و تعمیم داده شده است. مدل Potts با برد بی نهایت به مدل Kac معروف است. هنگامی که اسپین ها به صورت غیرآبلی برهمکنش می کنند، مدل به مدل لوله شار مربوط می‌شود که برای بحث در مورد محصور شدن در کرومودینامیک کوانتومی استفاده می‌شود. تعمیم مدل پاتس نیز برای مدل‌سازی رشد دانه در فلزات و درشت شدن در فوم‌ها استفاده شده است. تعمیم بیشتر این روش‌ها توسط جیمز گلازیرو فرانسوا گرانر، معروف به مدل Potts سلولی، برای شبیه‌سازی پدیده‌های استاتیکی و جنبشی در کف و مورفوژنز بیولوژیکی استفاده شده است.

توصیف فیزیکی[ویرایش]

منابع[ویرایش]

↑ Assa, Afsoon; Jahan, Majid Vafaei (2012-10). "Adaptive scheduling in wireless sensor networks based on Potts model". 2012 2nd International eConference on Computer and Knowledge Engineering (ICCKE). IEEE. doi:10.1109/iccke.2012.6395387. ISBN 978-1-4673-4476-0. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
↑ CHANG, SHU-CHIUAN; SHROCK, ROBERT (2001-02-20). "EXACT PARTITION FUNCTION FOR THE POTTS MODEL WITH NEXT-NEAREST NEIGHBOR COUPLINGS ON ARBITRARY-LENGTH LADDERS". International Journal of Modern Physics B. 15 (05): 443–478. doi:10.1142/s0217979201004630. ISSN 0217-9792.
↑ Welsh, D. J. A.; Merino, C. (2000-03). "The Potts model and the Tutte polynomial". Journal of Mathematical Physics. 41 (3): 1127–1152. doi:10.1063/1.533181. ISSN 0022-2488. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)

^[۱]

پیوند به بیرون[ویرایش]

Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials". Archived from the original on 16 April 2008. Retrieved 17 August 2020.

↑ زهرا سادات, حسینی; مجید, یوسفی افراشته; مروتی, ذکراله (2018-12-27). "فراتحلیل اثربخشی درمان‌های مبتنی بر ذهن آگاهی بر افسردگی و اضطراب (پژوهش‌های منتشر شده در ایران بین سال‌های ۱۳۸۰ تا ۱۳۹۵)". Journal of Shahid Sadoughi University of Medical Sciences. doi:10.18502/ssu.v26i8.237. ISSN 2228-5733.

[1] Assa, Afsoon; Jahan, Majid Vafaei (2012-10). "Adaptive scheduling in wireless sensor networks based on Potts model". 2012 2nd International eConference on Computer and Knowledge Engineering (ICCKE). IEEE. doi:10.1109/iccke.2012.6395387. ISBN 978-1-4673-4476-0. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)

[2] CHANG, SHU-CHIUAN; SHROCK, ROBERT (2001-02-20). "EXACT PARTITION FUNCTION FOR THE POTTS MODEL WITH NEXT-NEAREST NEIGHBOR COUPLINGS ON ARBITRARY-LENGTH LADDERS". International Journal of Modern Physics B. 15 (05): 443–478. doi:10.1142/s0217979201004630. ISSN 0217-9792.

[3] Welsh, D. J. A.; Merino, C. (2000-03). "The Potts model and the Tutte polynomial". Journal of Mathematical Physics. 41 (3): 1127–1152. doi:10.1063/1.533181. ISSN 0022-2488. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)

[:0-4] زهرا سادات, حسینی; مجید, یوسفی افراشته; مروتی, ذکراله (2018-12-27). "فراتحلیل اثربخشی درمان‌های مبتنی بر ذهن آگاهی بر افسردگی و اضطراب (پژوهش‌های منتشر شده در ایران بین سال‌های ۱۳۸۰ تا ۱۳۹۵)". Journal of Shahid Sadoughi University of Medical Sciences. doi:10.18502/ssu.v26i8.237. ISSN 2228-5733.

[۱]

[۲]

[۳]

[۱]

ن ب و فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics