مجموعه جزئاً مرتب

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در ریاضیات بخصوص مبحث تئوری ترتیب، مجموعه مرتب جزئی (Partialy Ordered Set) یا POSet، مجموعه‌ای است که به صورت کلی مفهوم ترتیب را می‌تواند به صورت فرمولی شده روی کاغذ پیاده کند. یک مجموعه مرتب جزئی شامل رابطه ای باینری است به گونه‌ای که یک عضو بر عضو دیگر برتری می‌گیرد. چنین رابطه‌ای را ترتیب جزئی می‌نامیم.

diagram

تعریف[ویرایش]

یک مجموعه ترتیب جزئی یک رابطه باینری "≥" روی مجموعهٔ (به طور مثال) P است که خواص بازتابی، تعدی و پادتقارنی داشته باشد.

a ≤ a (بازتابی)؛

if a ≤ b and b ≤ a, then a = b (پادتقارنی)؛

if a ≤ b and b ≤ c, then a ≤ c (تعدی).

مجموعه‌ای که دارای خاصیت ترتیب جزئی باشد را POSet می‌نامیم. برای اعضا a و b از مجموعهٔ POSet اگر a ≤ b یا b ≤ a آنگاه a و b را قابل قیاس می‌نامند و در غیر این صورت غیرقابل قیاس. در عکس بالا می‌توان دید که {x} و {x,y,z} قابل قیاس اند ولی {x} و {y} نیستند.

به مجموعه مرتبی که همه اعضا آن قابل قیاس باشد، ترتیب کامل (total order یا linear order) می گوییم. یک ترتیب کلی را زنجیر (chain) نیز می‌نامند.

اکسترمم[ویرایش]

بزرگترین و کوچکترین عنصر[ویرایش]

اگر عنصری همانند g در P باشد.. هنگامی بزرگترین عضو است که به ازای هر a عضو P, a ≤ g و به صورت مشابه برای کوچکترین عضو اگر عنصری همانند m عضو P را در نظر بگیریم m کوچکترین عضو است وقتی به ازای هر a, a ≥ m.

عضو بیشین و عضو کمین[ویرایش]

عنصری مانند g از مجموعه p یک عنصر بیشین است. اگر هیچ عنصری همانند a از p نباشد که a > g. به صورت مشابه برای عضو کمین.. عنصری همانند m از P وجود نداشته باشد که g < m. عنصر بیشینه در صورتی وجود دارد که عنصر بیشین یکتا باشد (کمینه است در صورتی که عنصر کمین بکتا باشد).

کران بالا و کران پایین[ویرایش]

به صورت مشابه برای کران پایین اگر a ≥ x برای هر عضو a از A. بزرگترین عضو مجموعه (ترتیب جزئی) P نیز کران بالا P است؛ و بهصورت مشابه برای کران پایین.

مثال[ویرایش]

برای فهم بهتر مجموعه بخش پذیری روی ۲ را روی اعداد صحیح مثبت در نظر بگیرید. ۱ بر تمامی اعضا بخش پذیر است پس کران پایین است؛ و چون مجموعه نامتناهی است عنصری به عنوان کران بالا ندارد.

ترتیب جزئی در فضاهای توپولوژیک[ویرایش]

اگر P یک مجموعه ترتیب جزئی باشد که یک ساختار فضایی به آن داده شده باشد. مرسوم است در نظر بگیریم {(a, b): a ≤ b} یک زیرمجموعه بسته از حاصل ضرب P*P است. با این فرض، ترتیب جزئی بطور کلی درست عمل می‌کنند به این معنا که اگر [a<-a[i و b[i]->b برای تمامی i ها، a<=b

جمع مجموعه ترتیب جزئی[ویرایش]

برای ترکیب دو POSet راه دیگر استفاده از جمع خطی است. Z = X ⊕ Y که تحت مجموعه X و Y تنها در صورتی قابل تعریف است که a, b ∈ X with a ≤X b, or a, b ∈ Y with a ≤Y b, or a∈ X and b ∈ Y. که دو مجموعه مرتب جزئی هر دو خوش ترتیب اند. عملیات جمع خطی یکی از عملگر هاییست که برای ایجاد series-parallel partial orders است. عملگر دیگر که برای ایجاد این مجموعه به کار می‌رود، ترکیب موازی است.

منابع[ویرایش]

  • S. Abramsky, A. Jung (1994). "Domain theory" (PDF). In S. Abramsky, D. M. Gabbay, T. S. E. Maibaum, editors,. Handbook of Logic in Computer Science. III. Oxford University Press. ISBN: 0-19-853762-X. Retrieved 2007-10-13. 

جستارهای وابسته[ویرایش]