مانده (آنالیز مختلط)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده را به‌دست می‌دهند.

مثال[ویرایش]

به عنوان یک مثال، انتگرال

را در نظر بگیرید که C یک خم ژوردان حول ۰ است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارد انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور ez را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم:

حال 1/z5 را به داخل سری می‌بریم و داریم

حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن

اکنون انتگرال حول C برای هر جمله که به شکل cz−1 نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود:

مقدار 1/4! با عنوان مانده‌ی ez/z5 در z = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود

محاسبهٔ مانده[ویرایش]

دیسک سوراخ‌دار D = {z : 0 <|zc| <R} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک f (حداقل) تعریف شده بر D را در نظر بگیرید. ماندهٔ f در c ضریب a−1 از (zc)−1 در سری لوران بسط f حول c است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ٔ

بدست می‌آید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقالهٔ سری لوران داریم:

که γ دایره را حول c در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول c انتخاب کنیم که ε به اندازه دلخواه کوچک است. ماندهٔ تابع f(z)=g(z)/h(z) در قطب ساده c که gو h توابع هولومورفیک در همسایگی c با h(c) = 0 و g(c) ≠ 0 به‌وسیله‌ی

داده می‌شود. به طور کلی‌تر، مانده f حول z = c، یک قطب از مرتبه n، با فرمول

بدست می‌آید. اگر تابع f روی تمام دیسک { z : |zc| <R } هولومورفیک باشد آنگاه Res(f، c) = 0. عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]