قطب و خط قطبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
خط قطبی q به نقطهٔ Q نسبت به دایره‌ای با شعال r و مرکز O. نقطهٔ P نقطهٔ معکوس Q است؛ خط قطبی از P می‌گذرد و بر خطی که از O, P و Q می‌گذرد عمود است.

در هندسه، قطب و خط قطبی (انگلیسی: Pole and polar‎) به‌ترتیب نقطه و خطی هستند که رابطهٔ بازگشتی یکتایی نسبت به یک مقطع مخروطی معین دارند.

ویژگی‌ها[ویرایش]

قطب و خط قطبی ویژگی‌های مفیدی دارند که برخی از آن‌ها عبارتند از:

  • اگر نقطهٔ P روی خط l باشد، قطب L متعلق به خط l روی خط قطبی p مرتبط با نقطهٔ P است.
  • اگر نقطهٔ P در راستای خط l حرکت کند، خط قطبی‌اش (p) به دور قطب L خط l خواهد چرخید.
  • اگر بتوان دو خط مماس از قطب به یک مقطع مخروطی رسم کرد، خط قطبی آن قطب هر دو را قطع می‌کند.
  • اگر نقطه‌ای روی یک مقطع مخروطی باشد، خط قطبی آن مماسی است که از این نقطه به مقطع مخروطی می‌رود.
  • اگر نقطه P روی خط قطبی خودش باشد، آنگاهP روی مقطع مخروطی است.
  • هر خطی نسبت به یک مقطع مخروطی یک و فقط یک قطب دارد.

مقاطع مخروطی[ویرایش]

خط p خط قطبی نقطه P است، همچنین l برای L و m برای M

کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸ - ۱۸۶۷) نشان داد که رابطه‌ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می‌کند از خود منحنی بنیادی‌تر است و می‌تواند برای تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا پوش (ریاضی) ‏(en) خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود.[۱]

اگر معادلهٔ بیضی را از معادلهٔ عام منحنی‌های درجهٔ دوم نوشته شود ، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ عبارت خواهد بود از:[۲]

که در آن و و ثابت‌هایی‌اند که به شکل زیر تعریف می‌شوند:

با داشتن معادلهٔ خط قطبی نیز می‌توان قطب آن را با قرار دادن مقادیر و و از محاسبهٔ زیر در بدست آورد:[۳]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Coolidge 1945‏:‎64-66
  2. Coolidge 1945‏:‎64-66
  3. Coolidge 1945‏:‎64-66

پیوند به بیرون[ویرایش]