قضیه اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه اویلر یا قضیه اولر: فرض کنید m عددی طبیعی و a عددی صحیح باشد و داشته باشیم ۱=(a،m). در این صورت:

که برابر تعداد اعداد کوچکتر از m است که نسبت به آن اول هستند (همان تعداد اعضاء دستگاه مخفف مانده ها)

برهان[ویرایش]

ابتدا باید دستگاه مخفف مانده ها را معرفی کنیم. فرض کنید m عددی طبیعی و A مجموعه‌ای از اعداد صحیح باشد. A را یک دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m می نامند به شرطی که تمام اعضای A نسبت به m اول باشند و هر عدد صحیح که نسبت به m اول است دقیقاً با یکی از اعضای A به پیمانه m همنهشت باشد.

حال فرض کنید {}دستگاه مخففی از مانده‌ها به پیمانه m باشد

چون ۱ = (a،m) پس مجموعهٔ

{}

هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است زیرا اگر i و j وجود داشته باشند که

چون ۱ = (a،m) داریم که خلاف فرض است و ضمناً چون ۱=(m ،)و ۱ = (a، m) پس ۱=(m ،) بنابراین {} هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است.

بنابرین هر یک از اعداد دقیقاً با یکی از اعداد همنهشت است پس

یعنی

اما

۱=()

بنابرین ۱=() در نتیجه می‌توانیم ها را از دو طرف معادله ساده کنیم پس داریم

یکی از نتایج قضیه اویلر قضیه فرما است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

مبانی نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رویا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی ۱۳۸۲

ویلیام .ج.لوک مبانی نظریه اعداد، ترجمه مهمد تقی دیبایی انتشارت مبتکران ۱۳۷۲