قضیه استوارت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
(قضیۀ استوارت)؛ در مثلث ABC، پاره خط AP را از رأس A به یکی از نقاط دلخواه P در ضلع BC چنان رسم می‌کنیم که آن را به نسبت x و y قطع کند.

قضیه استوارت، (به انگلیسی: Stewart's theorem) در هندسه اندازه پاره‌خط وارد از یک رأس بر ضلع روبرو را بر حسب اندازه اضلاع مثلث و دو پاره‌خط ایجاد شده بر روی ضلع می‌دهد. به افتخار ریاضیدان اسکاتلندی متیو استوارت که در مقاله‌ای در سال ۱۷۴۸ این قضیه را منتشر کرد، این قضیه را قضیه استوارت نامیده‌اند.[۱]

اگر b ،a و c طول اضلاع مثلت و p طول پاره خط مورد نظر باشد، آنگاه:

و یا:

که x و y طول دو پاره‌خط ایجاد شده بر ضلع هستند.

اثبات[ویرایش]

اگر محل برخورد پاره‌خط p و ضلع BC را P بنامیم، آنگاه بنابر قانون کسینوس‌ها برای دو زاویه APB و APC داریم:

با ضرب کردن x در جمله اول و y در جمله دوم معادلات زیر بدست می‌آید:

حال با جمع کردن دو معادله بالا بدست می‌آید:

که همان معادله قضیه استوارت است.

منابع[ویرایش]

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Stewart's theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۰ ژوئیه ۲۰۰۸).