قضیه اردیش-استراوس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه اردیش-استراوس قضیه‌ای ریاضی که در سال ۱۹۴۸ توسط دو ریاضی دان به نام‌های پل اردیش و ارنست استراوس مطرح شد.

قضیه[ویرایش]

هر عدد گویا به شکل \frac{4}{n} را می‌توان به صورت مجموع سه عدد گوبای دیگر با صورت ۱ نوشت. یعنی:

\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.

برای مثال

\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac12+\frac15+\frac1{10}.

\frac{4}{1801} = \frac1{451} + \frac1{295364} + \frac1{3249004}.

اثبات قضیه[ویرایش]

برای هر عدد طبیعی n به شکل3k+1 می‌توان کسر \frac{4}{n} به شکل زیر نوشت.

\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n-2)/3+1} + \frac{1}{n((n-2)/3+1)}.

می دانیم n=3k+1 پس:

\frac{4}{(2 + 3k)} = \frac{1}{2 + 3k} + \frac{1}{1 + k} + \frac{1}{(1 +k)(2 + 3k)}

تا این جا یک سوم\frac{1}{3} قضیه اثبات شد ولی دو سوم\frac{2}{3} بقیه چطور؟

?= اثبات این قضیه یکی از مسایل حل نشده ریاضیات است.

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Editing Erdős–Straus conjecture»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.