قضیه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
فارسیEnglish

قضیه یا فَربین[نیازمند منبع]، در ریاضیات، گزاره‌ای است که بر پایه‌گذاره‌های پیشین مثل سایر قضایا یا تئوری‌ها، گزاره‌هایی که به صورت کلی و عام پذیرفته شده‌اند مثل «اصل موضوع»، اثبات شده‌است. اثبات قضیه ریاضی، استدلالی منطقی برای گزاره مطرح شده در قضیه است که در توافق با قوانین موجود در روش (سیستم) استقرایی، می‌باشد.[نیازمند منبع]

اثبات تئوری اغلب برای توجیه درستی گزاره قضیه تفسیر و مطرح می‌شوند. با توجه به اثبات قضایای ریاضی بر اساس نیاز، مفهوم و تصور کلی یک قضیه ریاضی اساساً استقرایی است که در تضاد با مفهوم یک نظریه (قضیه) علمی - که بر اساس تجربه و آزمایش است -، می‌باشد.[نیازمند منبع]

بسیاری از قضایای ریاضی گزاره‌های شرطی هستند. در این مورد، اثبات از نتیجه گرفته شده از فرض قضیه استنباط می‌شود. با توجه به تعبیر و تفسیر اثبات به عنوان توجیه یک درستی، استنتاج اغلب به منظور نتیجه لازم و ضروری فرض قضیه دیده می‌شود. به عبارت دیگر، استنتاج با توجه به فرضیاتی که درست هستند، بدون هیچ فرض اضافه تر، صحیح می‌باشد. به هر حال، گزاره‌های شرطی با توجه به مفاهیمی که به قوانین استنتاج و نمادهای شرطی اختصاص داده شده‌اند، می‌توانند به‌طور متفاوت در روش (سیستم) استقرایی تفسیر و مطرح شوند.[نیازمند منبع]

اگر چه آن‌ها می‌توانند به صورت کاملاً نمادین نوشته شوند، برای مثال در حساب گزاره‌ای قضایا اغلب در زبان طبیعی مانند انگلیسی بیان می‌شوند. همان اثبات درست است که به عنوان منطقی سازماندهی شده و استدلالی رسمی نوشته شده، قصد دارد که خواننده را بر درستی گزاره فارق از هرگونه شکی متقاعد کند. این استدلال‌ها برای بررسی معمولاً آسان تر است نسبت به آن‌هایی که کاملاً نمادین هستند. در واقع بسیاری از ریاضیدانان که صورتی از اثبات را بیان کردند که نه تنها درستی قضیه را بیان می‌کند بلکه به گونه‌ای توضیح می‌دهد که چرا قضیه صحیح می‌باشد. در بعضی حالات یک تصویر می‌تواند برای اثبات یک قضیه کافی باشد. از آنجاییکه قضایا در هسته ریاضیات گنجانده شده‌اند، آن‌ها مرکز زیبایی ریاضیات نیز شناخته می‌شوند. قضایا اغلب با کلماتی از جمله "بدیهی"، "دشوار "، "عمیق"، یا حتی "زیباً توصیف می‌شود. این قضاوت‌های ذهنی نه تنها از شخصی به شخصی دیگر بلکه در زمان‌های مختلف نیز تفاوت دارد. برای مثال چنانچه یک اثبات ساده شده باشد یا قابل فهم شده باشد یک قضیه که زمانی دشوار تلقی می‌شد ممکن است به یک قضیه بدیهی تبدیل شود. از سوی دیگر، یک قضیه عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است اتصال شگفت‌انگیز و ظریف بین مناطق مختلف ریاضیات را شامل شود. آخرین قضیه فرما مثال خوبی برای این گونه از قضایاست.[نیازمند منبع]

حساب رسمی قضایا[ویرایش]

به‌طور منطقی بسیاری از تئوری‌ها به صورت مشروط نشان داده می‌شوند: اگر آ آنگاه ب. ب را اثبات نمی‌کند مگر ب نتیجه لازم برای آ باشد. در این حالت آ را فرضیه و ب را نتیجه می‌نامند. این قضیه یک قضیه باید با صراحت بیان شود تا به عنوان یک گزاره رسمی شناخته شود. با این وجود، نظریه‌ها معمولاً در زبان طبیعی، و نه در یک فرم کاملاً نمادین بیان می‌شود، با این هدف که خواننده می‌تواند یک گزاره رسمی تولید کند.[نیازمند منبع] این در ریاضیات متداول است که تعدادی از فرضیه‌ها را در یک زبان داده شده انتخاب کنند و اعلام کنند که این نظریه شامل تمام اظهارات قابل اثبات از این فرضیه‌ها می‌باشد. این فرضیه‌ها اساس بنیادین قضایا را تشکیل می‌دهد که اصل موضوع نامیده می‌شود. رشته ریاضیات به عنوان مطالعات تئوری اثبات زبان رسمی، اصول موضوع و ساختار اثبات‌ها است. بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به‌طور واضحی از تعاریف، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجه‌گیری شده‌اند و نکته شگفت‌آوری را شامل نمی‌شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن‌ها طولانی یا دشوار باشد یا این که شامل زمینه‌های مختلف ریاضیات می‌باشد و ارتباط شگفت‌آوری را بین زمینه‌های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می‌تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست؛ و بسیاری از نمونه‌های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد.[نیازمند منبع] برخی قضایا اثبات‌های شناخته شده‌ای دارند که به راحتی قابل پیاده‌سازی نیست. برجسته‌ترین نمونه قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است. هر دو قضیه طی یک جستجوی محاسباتی که بعدها توسط یک برنامه کامپیوتری تأیید شد اثبات شده‌اند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را قبول نمی‌کردند، اما به‌طور گسترده‌ای پذیرفته می‌شدند. ریاضیدان Doron Zeilberger حتی اظهار داشت که این نوع از اثبات، اثباتی باطل است. بسیاری از قضایای ریاضی را می‌توان به محاسبات ساده‌تر کاهش داد، از جمله چندجمله‌ای، مثلثاتی و هویت فوق هندسی.[نیازمند منبع]

اثبات‌پذیری و قضیه هود[ویرایش]

برای انتشار یک گزاره ریاضی به عنوان قضیه، اثبات لازم است، یعنی یک خط از دلایل با توجه به اصل موضوعه در سیستم (و سایر، قضایای تقریباً انتشار یافته) باید برای گزاره داده شده نشان داده بشود. هر چند، اثبات تقریباً جدا از گزاره قضیه به حساب می‌آید. اگر چه بیش از یک اثبات ممکن است برای یک قضیه وجود داشته باشد اما یک اثبات لازم است که وضعیت گزاره به عنوان قضیه را انتشار بدهد. نظریه فیثاغورث و قانون معادله درجه دوم با تعداد بسیاری از اثبات‌ها می‌توانند عنوان قضیه را به خود بگیرند.

رابطه با نظریه‌های علمی[ویرایش]

قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساساً از نظر معرفت‌شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی‌تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛ یعنی پیش‌بینی‌هایی دربارهٔ جهان طبیعی می‌کند که با آزمایش‌ها قابل آزمایش است. هرگونه عدم توافق بین پیش‌بینی و آزمایش، نادرستی نظریه علمی یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می‌دهد. قضایای ریاضی، به عبارتی دیگر، به‌طور محض چکیده‌ای از گزاره‌های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی‌تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه‌های علمی به کار می‌رود، باشد.[نیازمند منبع]

با این حال، درجه‌هایی از تجربه گرایی و جمع‌آوری داده‌هایی که در کشف قضیه‌های ریاضی شرکت داشتند، وجود دارند. با انتشار یک الگو، بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند، ریاضیدان‌ها ممکن است ایده‌ای از آنچه می‌خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد، برنامه‌ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می‌خواهند اثبات کنند داشته باشند. برای مثال، حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود ۲٫۸۸ *۱۰۱۸ تأیید شده‌است. فرضیه ریمن برای ۱۰ تریلیون صفر تابع زتا تأیید شده‌است. هیچ‌یک از این گزاره‌ها اثبات شده به حساب نمی‌آیند.[نیازمند منبع] چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی‌دهند. برای مثال، حدس مرتنز گزاره‌ای است دربارهٔ اعداد طبیعی که الان می‌دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده‌است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است). تمام اعداد کمتر از ۱۰۱۴ خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریباً برابر ۱۰ به توان ۴٫۳*۱۰۳۹ کمتر می‌باشد. چون تعداد ذرات در جهان به‌طور کل کمتر از ۱۰ به توان ۱۰۰ به حساب می‌آیند، امیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته‌کننده پیدا بشود.[نیازمند منبع] در نظر داشته باشید که کلمه نظریهدر ریاضیات نیز وجود دارد؛ برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات، تعاریف و قضایا مثلاً در قضیه گروه. چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما آن‌ها اغلب گزاره‌ها و اثبات‌هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا می‌کند؛ قاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند.[نیازمند منبع]

واژه‌شناسی[ویرایش]

تعدادی از واژه‌های مختلف برای عبارات ریاضی وجود دارد که این واژه‌ها گزاره‌ها را بیان می‌کنند. استفاده از بعضی لغات ممکن است به صورت قرار دادی باشد و گاهی معانی لغات تکامل می‌یابد.[نیازمند منبع] اصل یا اصل موضوع گزاره‌ای است که بدون اثبات پذیرفته می‌شود و به عنوان اساسی برای موضوع است. از لحاظ تاریخی این به عنوان «بدیهی» در نظر گرفته شده‌است، اما اخیراً آن‌ها فرضی در نظر گرفته می‌شوند که موضوع مطالعه را مشخص می‌کند. در هندسه کلاسیک، اصول موضوعه بیانیه‌های عمومی هستند در حالی که اصول موضوعه اظهاراتی در مورد اشیاء هندسی می‌باشد.[نیازمند منبع] گزاره(پیشنهاد) یک اصطلاح عمومی است برای قضایایی که از اهمیت کمتری برخوردارند. این واژه گاهی اوقات یک بیانیه متضمن با یک اثبات ساده است در حالی که واژه قضیه هنگامی استفاده می‌شود که نتیجه مهم یا اثبات دشوارتری در کار باشد. لم یک کمک قضیه است. یک گزاره با کاربرد کمی که بخشی از یک اثبات طولانی را تشکیل می‌دهد. در برخی موارد که اهمیت نسبی بعضی قضایا روشن شد و گزاره‌ای که در گذشته لم نامیده می‌شد قضیه نام گرفت اما واژه لم هم چنان باقی ماند. نتیجه فرعی یا استنباط گزاره‌ای است بدون اثبات یا با اثباتی کم که از قضیه دیگر یا یک تعریف نتیجه‌گیری شده‌است. عکس قضیه گزاره‌ای است که با معکوس کردن یک قضیه و اثبات آن بدست می‌آید. همچنین لغاتی وجود دارند که کمتر استفاده می‌شوند که به‌طور معمول به اظهارات اثبات شده متصل اند: تطابق، که برای قضایایی که برای بیان برابری دو عبارت ریاضی است مورد استفاده قرار می‌گیرد. حکم که برای قضایایی که با فرمول منتشر می‌شود مورد استفاده قرار می‌گیرد؛ و هم چنین کلماتی دیگر از جمله قانون و قاعده و ...[نیازمند منبع]

ترتیب و طرح بندی (مراحل)[ویرایش]

یک قضیه و اثبات آن به‌طور معمول به صورت زیر دارای ترتیب هستند: قضیه (اسم شخص اثبات‌کننده و سال کشف، اثبات یا نشر آن) جملات یک قضیه (معمولاً گزاره گفته می‌شود) اثبات توضیح اثبات نشان خاتمه

انتهای اثبات ممکن است با حروف Q.E.D.(quod erat demonstrandum) علامت‌گذاری شود یا با یکی از علامات "□" یا "∎" به معنی پایان اثبات می‌باشد که به وسیله پائول هالموس به دنبال موارد استفاده آن‌ها در مقالات مجلات معرفی شد. سبک دقیق بستگی به نویسنده یا انتشارات دارد. بسیاری از انتشارات، ساختارها یا ماکروهایی برای حروف چینی در سبک‌های خانگی فراهم می‌کنند. در یک قضیه معمول آن است که به وسیلهٔ تعاریفی، مفهوم دقیق شرایط و اصطلاحات استفاده شده در قضیه را شرح می‌دهند، مقدم بشوند. همچنین معمول است که یک قضیه به وسیلهٔ تعداد گزاره‌ها یا لم‌ها که در اثبات استفاده شده‌اند، مقدم بشوند. هر چند، لم‌ها معمولاً در اثبات قضیه جا داده می‌شوند، چه همراه با اثبات‌های تودرتو یا چه همراه با اثبات‌های ارائه شده بعد از اثبات اصلی قضیه.[نیازمند منبع] استنباط‌ها یا نتایج یک قضیه یا بین قضیه و اثبات مطرح می‌شود یا مستقیماً بعد از اثبات. بعضی اوقات، استنباط‌ها اثبات‌هایی برای خودشان دارند که توضیح می‌دهند چرا در اثبات قضیه استفاده شده‌اند.[نیازمند منبع]

تاریخچه[ویرایش]

تخمین زده شده‌است که بیش از یک چهارم یک میلیون قضیه، هر سال اثبات می‌شود. جمله معروف "ریاضیدان دستگاهی است برای تبدیل قهوه با قضیه هاً که احتمالاً از آلفرد رنیی می‌باشد؛ اگرچه اغلب به همکار رنیی، پائول اردوس، کسی که به خاطر تعداد زیادی قضیه، تعداد و میزان همکاری‌هایش، و نوشیدن قهوه، مشهور بوده‌است، نسبت داده شده‌است (رنیی ممکن است در تفکر مانند اردوس بوده باشد)[نیازمند منبع] رده‌بندی گروه‌های متناهی ساده توسط برخی در نظر گرفته شده‌است که طولانی‌ترین اثبات یک قضیه می‌باشد که ده‌ها هزار صفحه در ۵۰۰ مقاله ژورنال‌ها به وسیلهٔ ۱۰۰ نویسنده را دربرداشته‌است. این برگه‌ها با هم بر این باور بودند که یک اثبات کامل ارائه دهند و چندین پروژه در حال پیشرفت نیز امید دارند که این اثبات را ساده‌تر کنند. قضیه دیگر از این نوع، قضیه ۴ رنگ می‌باشد که اثبات انجام شده توسط کامپیوتر آنقدر طولانی است که امکان خواندن برای افراد وجود ندارد. دقیقاً طولانی‌ترین اثبات شناخته شده قضیه‌ای که گزاره آن به سادگی توسط یک شخص عام فهمیده می‌شود.[نیازمند منبع]

قضایا در منطق[ویرایش]

منطق، به ویژه در زمینه اثبات قضیه، قضایا را همانند جملات و گزاره‌های یک زبان رسمی به حساب می‌آورد (که به آن فرمول گفته می‌شود). گزاره‌های یک زبان رشته‌های نمادها هستند و ممکن است به‌طور گسترده به حرف‌های پوچ و فرمول‌های خوش فرم تقسیم شوند. مجموعه‌ای از قوانین قیاس، که قانون تبدیل و دگرگونی یا قانون استنتاج نیز گفته می‌شود، باید فراهم گردد. این قوانین دقیقاً بیان می‌کند که چه هنگام یک فرمول می‌تواند از مجموعه‌ای از فرضیات قبلی مشتق شود. مجموعه فرمول‌های خوش فرم ممکن است به‌طور گسترده به قضایا و غیرقضایا تقسیم شوند. هر چند، با توجه به هافستادتر، یک سیستم صوری، اغلب به‌طور خیلی ساده فرمول‌های خوش فرم را مانند قضایا تعریف می‌کند. مجموعه‌های متفاوت قوانین استنتاج به تفاسیر گوناگونی از آن چیزی ختم می‌شود که به معنای بیانی یک قضیه است.[نیازمند منبع] بعضی از قوانین استنتاج و زبان‌های صوری بر آن شده بودند که استدلال ریاضیاتی به دست آورند؛ رایج‌ترین مثال مورد استفاده منطق مرتبه اول می‌باشد. سایر روش‌های استنتاجی مدت و شرایط بازنویسی را توضیح می‌دهد. مانند قوانین کاهش برای حساب لاندا.[نیازمند منبع] تعریف قضیه‌ها به عنوان عناصر زبان صوری نتایج اثبات قضیه را قادر می‌سازد که ساختار اثبات‌های صوری و فرمول‌های قابل اثبات را مورد مطالعه و بررسی قرار دهد. معروف‌ترین دست‌آورد، قضیه ناتمامیت گودل می‌باشد؛ با نشان دادن قضایا دربارهٔ تئوری اعداد اساسی به عنوان بیانی در زبان صوری، و سپس نشان دادن این زبان همراه باخود نظریه اعداد، گودل مثال‌هایی از گزاره‌هایی پدید آورد که با توجه به اصل موضوعه نظریه اعداد نه قابل اثبات هستند نه غیرقابل اثبات. یک قضیه ممکن است در زبان صوری بیان شود. یک قضیه صوری، به‌طور محض، نظیر صوری قضیه است. در کل، یک قضیه صوری نوعی از فرمول خوش فرم هست که شرایط نحوی و معین منطقی را راضی می‌کند. مفهوم اغلب استفاده می‌شود برای آنکه نشان بدهد یک قضیه است. قضایای صوری از فرمول‌های زبان صوری و قوانین ترکیب روش صوری تشکیل شده‌است. به خصوص، یک قضیه صوری همیشه آخرین فرمول یک استنتاج در بعضی روش‌های صوری است که هر کدام از فرمول‌ها یک گزاره منطقی است از فرمول‌هایی که قبلاً در استنتاج آمده‌اند. به فرمول‌های پذیرفته شده اولیه در استنتاج، اصل موضوعه آن می‌گویند و بر پایه‌ای هستند که قضیه استنتاج شده‌است. به مجموعه‌ای از قضایا، نظریه می‌گویند. آنچه که قضایا را مفید و جالب ساخته آن است که آن‌ها می‌توانند به عنوان یک گزاره حقیقی مطرح بشوند و مشتقات (استنتاج‌های) آن‌ها ممکن است به عنوان اثبات درستی گزاره پایانی باشد. مجموعه‌ای از قضایای صوری ممکن است به عنوان نظریه صوری ارجاع داده شوند. قضیه‌ای که تفسیر آن گزاره‌ای درست دربارهٔ روش (سیستم) صوری است را قضیه متا می‌گویند.[نیازمند منبع]

صرف و نحو[ویرایش]

مقالات اصلی: صرف (منطق) و معناشناسی صوری (منطق)

مفهوم قضیه صوری اساساً نحوی است و در تضاد با مفهوم گزاره حقیقی است که معناشناسی را معرفی می‌کند. روش‌های استقرایی متفاوت می‌تواند سایر تفاسیر و تعابیر را با توجه به فرضیات قوانین استنتاج ثمر ببخشد (باور، توجیه و سایر شروط). خوش فکری یک روش صوری بستگی به این دارد که تمامی قضایای آن اعتبار دارد یا خیر. اعتبار فرمولی است که تحت هر تفسیر درست می‌باشد؛ مثلاً در گزاره‌های کلاسیک منطق، اعتبارها حشو و زائد هستند. یک روش (سیستم) صوری هنگامی به صورت معنایی کامل به حساب می‌آید که تمام حشوهای آن، خود نیز قضایایی هستند.[نیازمند منبع]

استنتاج یک قضیه[ویرایش]

مقاله اصلی: اثبات صوری مفهوم قضیه به اثبات صوری آن، به‌طور خیلی نزدیک به آن مربوط شده‌است (استنتاج نیز می‌نامند). برای اینکه نشان بدهند استنتاج‌ها چگونه انجام می‌شوند، ما در یک روش (سیستم) صوری بسیار ساده شده عمل خواهیم کرد. فرض کنیم که حروف از دو نماد A و B تشکیل شده‌است و قانون ترکیب آن برای فرمول برابر است با: «هر رشته از نماد که حداقل طول آن رشته سه است و دارای طول بینهایت نمی‌باشد»، یک فرمول است. هیچ چیز دیگری فرمول نیست.[نیازمند منبع]

تنها اصل موضوعه برابر است با: ABBA تنها قاعده استنتاج (قانون دگرگونی یا تبدیل) برای برابر است با: هر رخداد A در قضیه، ممکن اس با رخداد رشته AB جایگزین شود و پی آمد آن یک قضیه می‌باشد. قضایا در طوری تعریف شده‌اند که با توجه به ان قواعد، یک پایان استنتاجی همراه با آن قاعده داشته باشند. برای مثال: ABBA (به عنوان اصل موضوعه) ABBBA (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل) ABBBAB (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل) یک استناج است؛ بنابراین "ABBBAB" یک قضیه است. مفهوم حقیقت و درستی (یا نادرستی) نمی‌تواند به قاعده و فرمول "ABBBAB" اعمال شود مگر اینکه یک تفسیر و تعبیر برای نمادهای آن تعریف شود. در نتیجه در این مثال، قاعده و فرمول هنوز یک گزاره را ارائه و مطرح نمی‌کند اما صرفاً یک انتزاع پوچ می‌باشد. دو اشتراک موجود در قضایای عبارتند از: هر قضیه با A شروع می‌شود هر قضیه دقیقاً دارای دو A می‌باشد.[نیازمند منبع]

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۸ فوریهٔ ۲۰۱۱.
  • تاریخ ریاضیات (تألیف:پرویز شهریاری)
  • سیدعلی‌اصغر خندان (۱۳۸۰مغالطات (ویراست سوم)، تهران: بوستان کتاب انتشارات دفتر تبلیغات اسلامی، ص. ۱۶۳
  • لیتهلد، لوئیس. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی، چاپ بیست و پنجم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۸.منابع کتاب/۹۷۸۹۶۴۰۱۰۲۶۱
  • روح‌الله عالمی (۱۳۸۹منطق، تهران: شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی
The Pythagorean theorem has at least 370 known proofs[1]

In mathematics, a theorem is a non-self-evident statement that has been proven to be true, either on the basis of generally accepted statements such as axioms or on the basis previously established statements such as other theorems.[2][3][4] A theorem is hence a logical consequence of the axioms, with a proof of the theorem being a logical argument which establishes its truth through the inference rules of a deductive system. As a result, the proof of a theorem is often interpreted as justification of the truth of the theorem statement. In light of the requirement that theorems be proved, the concept of a theorem is fundamentally deductive, in contrast to the notion of a scientific law, which is experimental.[5][6]

Many mathematical theorems are conditional statements, whose proof deduces the conclusion from conditions known as hypotheses or premises. In light of the interpretation of proof as justification of truth, the conclusion is often viewed as a necessary consequence of the hypotheses. Namely, that the conclusion is true in case the hypotheses are true—without any further assumptions. However, the conditional could also be interpreted differently in certain deductive systems, depending on the meanings assigned to the derivation rules and the conditional symbol (e.g., non-classical logic).

Although theorems can be written in a completely symbolic form (e.g., as propositions in propositional calculus), they are often expressed informally in a natural language such as English for better readability. The same is true of proofs, which are often expressed as logically organized and clearly worded informal arguments, intended to convince readers of the truth of the statement of the theorem beyond any doubt, and from which a formal symbolic proof can in principle be constructed.

In addition to the better readability, informal arguments are typically easier to check than purely symbolic ones—indeed, many mathematicians would express a preference for a proof that not only demonstrates the validity of a theorem, but also explains in some way why it is obviously true. In some cases, one might even be able to substantiate a theorem by using a picture as its proof.

Because theorems lie at the core of mathematics, they are also central to its aesthetics. Theorems are often described as being "trivial", or "difficult", or "deep", or even "beautiful". These subjective judgments vary not only from person to person, but also with time and culture: for example, as a proof is obtained, simplified or better understood, a theorem that was once difficult may become trivial.[7] On the other hand, a deep theorem may be stated simply, but its proof may involve surprising and subtle connections between disparate areas of mathematics. Fermat's Last Theorem is a particularly well-known example of such a theorem.[8]

Informal account of theorems

Logically, many theorems are of the form of an indicative conditional: if A, then B. Such a theorem does not assert B—only that B is a necessary consequence of A. In this case, A is called the hypothesis of the theorem ("hypothesis" here means something very different from a conjecture), and B the conclusion of the theorem. Alternatively, A and B can be also termed the antecedent and the consequent, respectively.[9] The theorem "If n is an even natural number, then n/2 is a natural number" is a typical example in which the hypothesis is "n is an even natural number", and the conclusion is "n/2 is also a natural number".

In order for a theorem be proved, it must be in principle expressible as a precise, formal statement. However, theorems are usually expressed in natural language rather than in a completely symbolic form—with the presumption that a formal statement can be derived from the informal one.

It is common in mathematics to choose a number of hypotheses within a given language and declare that the theory consists of all statements provable from these hypotheses. These hypotheses form the foundational basis of the theory and are called axioms or postulates. The field of mathematics known as proof theory studies formal languages, axioms and the structure of proofs.

A planar map with five colors such that no two regions with the same color meet. It can actually be colored in this way with only four colors. The four color theorem states that such colorings are possible for any planar map, but every known proof involves a computational search that is too long to check by hand.

Some theorems are "trivial", in the sense that they follow from definitions, axioms, and other theorems in obvious ways and do not contain any surprising insights.[10] Some, on the other hand, may be called "deep", because their proofs may be long and difficult, involve areas of mathematics superficially distinct from the statement of the theorem itself, or show surprising connections between disparate areas of mathematics.[11] A theorem might be simple to state and yet be deep. An excellent example is Fermat's Last Theorem,[8] and there are many other examples of simple yet deep theorems in number theory and combinatorics, among other areas.

Other theorems have a known proof that cannot easily be written down. The most prominent examples are the four color theorem and the Kepler conjecture. Both of these theorems are only known to be true by reducing them to a computational search that is then verified by a computer program. Initially, many mathematicians did not accept this form of proof, but it has become more widely accepted. The mathematician Doron Zeilberger has even gone so far as to claim that these are possibly the only nontrivial results that mathematicians have ever proved.[12] Many mathematical theorems can be reduced to more straightforward computation, including polynomial identities, trigonometric identities[13] and hypergeometric identities.[14][page needed]

Provability and theoremhood

To establish a mathematical statement as a theorem, a proof is required. That is, a valid line of reasoning from the axioms and other already-established theorems to the given statement must be demonstrated. In general, the proof is considered to be separate from the theorem statement itself. This is in part because while more than one proof may be known for a single theorem, only one proof is required to establish the status of a statement as a theorem. The Pythagorean theorem and the law of quadratic reciprocity are contenders for the title of theorem with the greatest number of distinct proofs.[15][16]

Relation with scientific theories

Theorems in mathematics and theories in science are fundamentally different in their epistemology. A scientific theory cannot be proved; its key attribute is that it is falsifiable, that is, it makes predictions about the natural world that are testable by experiments. Any disagreement between prediction and experiment demonstrates the incorrectness of the scientific theory, or at least limits its accuracy or domain of validity. Mathematical theorems, on the other hand, are purely abstract formal statements: the proof of a theorem cannot involve experiments or other empirical evidence in the same way such evidence is used to support scientific theories.[5]

The Collatz conjecture: one way to illustrate its complexity is to extend the iteration from the natural numbers to the complex numbers. The result is a fractal, which (in accordance with universality) resembles the Mandelbrot set.

Nonetheless, there is some degree of empiricism and data collection involved in the discovery of mathematical theorems. By establishing a pattern, sometimes with the use of a powerful computer, mathematicians may have an idea of what to prove, and in some cases even a plan for how to set about doing the proof. For example, the Collatz conjecture has been verified for start values up to about 2.88 × 1018. The Riemann hypothesis has been verified for the first 10 trillion zeroes of the zeta function. Neither of these statements is considered proved.

Such evidence does not constitute proof. For example, the Mertens conjecture is a statement about natural numbers that is now known to be false, but no explicit counterexample (i.e., a natural number n for which the Mertens function M(n) equals or exceeds the square root of n) is known: all numbers less than 1014 have the Mertens property, and the smallest number that does not have this property is only known to be less than the exponential of 1.59 × 1040, which is approximately 10 to the power 4.3 × 1039. Since the number of particles in the universe is generally considered less than 10 to the power 100 (a googol), there is no hope to find an explicit counterexample by exhaustive search.

The word "theory" also exists in mathematics, to denote a body of mathematical axioms, definitions and theorems, as in, for example, group theory (see mathematical theory). There are also "theorems" in science, particularly physics, and in engineering, but they often have statements and proofs in which physical assumptions and intuition play an important role; the physical axioms on which such "theorems" are based are themselves falsifiable.

Terminology

A number of different terms for mathematical statements exist; these terms indicate the role statements play in a particular subject. The distinction between different terms is sometimes rather arbitrary and the usage of some terms has evolved over time.

  • An axiom or postulate is a statement that is accepted without proof and regarded as fundamental to a subject. Historically these have been regarded as "self-evident", but more recently they are considered assumptions that characterize the subject of study. In classical geometry, axioms are general statements, while postulates are statements about geometrical objects.[17] A definition is yet another form of statement that is also accepted without proof—since it simply gives the meaning of a word or phrase in terms of known concepts.
  • An unproved statement that is believed true is called a conjecture (or sometimes a hypothesis, but with a different meaning from the one discussed above). To be considered a conjecture, a statement must usually be proposed publicly, at which point the name of the proponent may be attached to the conjecture, as with Goldbach's conjecture. Other famous conjectures include the Collatz conjecture and the Riemann hypothesis. On the other hand, Fermat's Last Theorem has always been known by that name, even before it was proved; it was never known as "Fermat's conjecture".
  • A proposition is a theorem of lesser importance. This term sometimes connotes a statement with a simple proof, while the term theorem is usually reserved for the most important results or those with long or difficult proofs. Some authors never use "proposition", while some others use "theorem" only for fundamental results. In classical geometry, this term was used differently: In Euclid's Elements (c. 300 BCE), all theorems and geometric constructions were called "propositions" regardless of their importance.
  • A lemma is a "helping theorem", a proposition with little applicability except that it forms part of the proof of a larger theorem. In some cases, as the relative importance of different theorems becomes more clear, what was once considered a lemma is now considered a theorem, though the word "lemma" remains in the name. Examples include Gauss's lemma, Zorn's lemma, and the fundamental lemma.
  • A corollary is a proposition that follows with little proof from another theorem or definition.[18] Also a corollary can be a theorem restated for a more restricted special case. For example, the theorem that all angles in a rectangle are right angles has as corollary that all angles in a square (a special case of a rectangle) are right angles.
  • A converse of a theorem is a statement formed by interchanging what is given in a theorem and what is to be proved. For example, the isosceles triangle theorem states that if two sides of a triangle are equal then two angles are equal. In the converse, the given (that two sides are equal) and what is to be proved (that two angles are equal) are swapped, so the converse is the statement that if two angles of a triangle are equal then two sides are equal. In this example, the converse can be proved as another theorem, but this is often not the case. For example, the converse to the theorem that two right angles are equal angles is the statement that two equal angles must be right angles, and this is clearly not always the case.[19]
  • A generalization is a theorem which includes a previously proved theorem as a special case and hence as a corollary.

There are other terms, less commonly used, that are conventionally attached to proved statements, so that certain theorems are referred to by historical or customary names. For example:

A few well-known theorems have even more idiosyncratic names. The division algorithm (see Euclidean division) is a theorem expressing the outcome of division in the natural numbers and more general rings. Bézout's identity is a theorem asserting that the greatest common divisor of two numbers may be written as a linear combination of these numbers. The Banach–Tarski paradox is a theorem in measure theory that is paradoxical in the sense that it contradicts common intuitions about volume in three-dimensional space.

Layout

A theorem and its proof are typically laid out as follows:

Theorem (name of the person who proved it, along with year of discovery or publication of the proof).
Statement of theorem (sometimes called the proposition).
Proof.
Description of proof.
End

The end of the proof may be signaled by the letters Q.E.D. (quod erat demonstrandum) or by one of the tombstone marks "□" or "∎" meaning "End of Proof", introduced by Paul Halmos following their usage in magazine articles.[22]

The exact style depends on the author or publication. Many publications provide instructions or macros for typesetting in the house style.

It is common for a theorem to be preceded by definitions describing the exact meaning of the terms used in the theorem. It is also common for a theorem to be preceded by a number of propositions or lemmas which are then used in the proof. However, lemmas are sometimes embedded in the proof of a theorem, either with nested proofs, or with their proofs presented after the proof of the theorem.

Corollaries to a theorem are either presented between the theorem and the proof, or directly after the proof. Sometimes, corollaries have proofs of their own that explain why they follow from the theorem.

Lore

It has been estimated that over a quarter of a million theorems are proved every year.[23]

The well-known aphorism, "A mathematician is a device for turning coffee into theorems", is probably due to Alfréd Rényi, although it is often attributed to Rényi's colleague Paul Erdős (and Rényi may have been thinking of Erdős), who was famous for the many theorems he produced, the number of his collaborations, and his coffee drinking.[24]

The classification of finite simple groups is regarded by some to be the longest proof of a theorem. It comprises tens of thousands of pages in 500 journal articles by some 100 authors. These papers are together believed to give a complete proof, and several ongoing projects hope to shorten and simplify this proof.[25] Another theorem of this type is the four color theorem whose computer generated proof is too long for a human to read. It is certainly among one of the longest known proofs of a theorem whose statement can be easily understood by a layman.

Theorems in logic

Logic, especially in the field of proof theory, considers theorems as statements (called formulas or well formed formulas) of a formal language. The statements of the language are strings of symbols and may be broadly divided into nonsense and well-formed formulas. A set of deduction rules, also called transformation rules or rules of inference, must be provided. These deduction rules tell exactly when a formula can be derived from a set of premises. The set of well-formed formulas may be broadly divided into theorems and non-theorems. However, according to Hofstadter, a formal system often simply defines all its well-formed formula as theorems.[26][page needed]

Different sets of derivation rules give rise to different interpretations of what it means for an expression to be a theorem. Some derivation rules and formal languages are intended to capture mathematical reasoning; the most common examples use first-order logic. Other deductive systems describe term rewriting, such as the reduction rules for λ calculus.

The definition of theorems as elements of a formal language allows for results in proof theory that study the structure of formal proofs and the structure of provable formulas. The most famous result is Gödel's incompleteness theorems; by representing theorems about basic number theory as expressions in a formal language, and then representing this language within number theory itself, Gödel constructed examples of statements that are neither provable nor disprovable from axiomatizations of number theory.

This diagram shows the syntactic entities that can be constructed from formal languages. The symbols and strings of symbols may be broadly divided into nonsense and well-formed formulas. A formal language can be thought of as identical to the set of its well-formed formulas. The set of well-formed formulas may be broadly divided into theorems and non-theorems.

A theorem may be expressed in a formal language (or "formalized"). A formal theorem is the purely formal analogue of a theorem. In general, a formal theorem is a type of well-formed formula that satisfies certain logical and syntactic conditions. The notation is often used to indicate that is a theorem.

Formal theorems consist of formulas of a formal language and the transformation rules of a formal system. Specifically, a formal theorem is always the last formula of a derivation in some formal system, each formula of which is a logical consequence of the formulas that came before it in the derivation. The initially-accepted formulas in the derivation are called its axioms, and are the basis on which the theorem is derived. A set of theorems is called a theory.

What makes formal theorems useful and interesting is that they can be interpreted as true propositions and their derivations may be interpreted as a proof of the truth of the resulting expression. A set of formal theorems may be referred to as a formal theory. A theorem whose interpretation is a true statement about a formal system (as opposed to of a formal system) is called a metatheorem.

Syntax and semantics

The concept of a formal theorem is fundamentally syntactic, in contrast to the notion of a true proposition, which introduces semantics. Different deductive systems can yield other interpretations, depending on the presumptions of the derivation rules (i.e. belief, justification or other modalities). The soundness of a formal system depends on whether or not all of its theorems are also validities. A validity is a formula that is true under any possible interpretation (for example, in classical propositional logic, validities are tautologies). A formal system is considered semantically complete when all of its tautologies are also theorems.

Derivation of a theorem

The notion of a theorem is very closely connected to its formal proof (also called a "derivation"). As an illustration, consider a very simplified formal system whose alphabet consists of only two symbols { A, B }, and whose formation rule for formulas is:

Any string of symbols of that is at least three symbols long, and is not infinitely long, is a formula. Nothing else is a formula.

The single axiom of is:

ABBA.

The only rule of inference (transformation rule) for is:

Any occurrence of "A" in a theorem may be replaced by an occurrence of the string "AB" and the result is a theorem.

Theorems in are defined as those formulas that have a derivation ending with it. For example,

  1. ABBA (Given as axiom)
  2. ABBBA (by applying the transformation rule)
  3. ABBBAB (by applying the transformation rule)

is a derivation. Therefore, "ABBBAB" is a theorem of The notion of truth (or falsity) cannot be applied to the formula "ABBBAB" until an interpretation is given to its symbols. Thus in this example, the formula does not yet represent a proposition, but is merely an empty abstraction.

Two metatheorems of are:

Every theorem begins with "A".
Every theorem has exactly two "A"s.

Interpretation of a formal theorem

Theorems and theories

See also

Notes

  1. ^ Elisha Scott Loomis. "The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs" (PDF). Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Retrieved 2010-09-26. Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.
  2. ^ "Definition of THEOREM". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-02.
  3. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Theorem". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-02.
  4. ^ "Theorem | Definition of Theorem by Lexico". Lexico Dictionaries | English. Retrieved 2019-11-02.
  5. ^ a b Markie, Peter (2017), Zalta, Edward N. (ed.), "Rationalism vs. Empiricism", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2017 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-02
  6. ^ However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Heath 1897 Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Theorem". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-02.
  8. ^ a b Darmon, Henri; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2007-09-09). "Fermat's Last Theorem" (PDF). McGill University — Department of Mathematics and Statistics. Retrieved 2019-11-01.
  9. ^ "Implication". intrologic.stanford.edu. Retrieved 2019-11-02.
  10. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Trivial". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-02.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Deep Theorem". MathWorld.
  12. ^ Doron Zeilberger. "Opinion 51".
  13. ^ Such as the derivation of the formula for from the addition formulas of sine and cosine.
  14. ^ Petkovsek et al. 1996.
  15. ^ "Pythagorean Theorem and its many proofs". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-11-02.
  16. ^ See, for example, proofs of quadratic reciprocity for more.
  17. ^ Wentworth, G.; Smith, D.E. (1913). "Art. 46, 47". Plane Geometry. Ginn & Co.
  18. ^ Wentworth & Smith Art. 51
  19. ^ Follows Wentworth & Smith Art. 79
  20. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-02.
  21. ^ The word law can also refer to an axiom, a rule of inference, or, in probability theory, a probability distribution.
  22. ^ "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic". jeff560.tripod.com. Retrieved 2019-11-02.
  23. ^ Hoffman 1998, p. 204.
  24. ^ Hoffman 1998, p. 7.
  25. ^ An enormous theorem: the classification of finite simple groups, Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.
  26. ^ Hofstadter 1980

References

External links