قانون لگاریتم‌های تکراری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

قانون لگاریتم‌های تکراری اولین بار توسط A. Y. Khinchin[۱] (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov[۲] (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.[۳]

مقدمه[ویرایش]

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول باشند و باشد، آنگاه داریم:

که منظور از و به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.[۴]

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

و برای هر ای که شرایط زیر را داشته باشد:

داریم:[۵]

نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارتاست و خط پر رنگ مربوط به است؛ و همچنین مربوط به سری است که در آن ، امین رقم اعشاری عدد در سیستم دودویی است.

برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری را در نظر بگیرید که در آن ، امین رقم اعشاری عدد در سیستم دودویی است. دو نمودار (نقطه چین) و (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال[ویرایش]

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‎اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر را به صورت زیر تعریف کنیم:

مقدار بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Khintchine, Aleksandr (1924). "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Fundamenta Mathematicae. 6: 9–20. doi:10.4064/fm-6-1-9-20. ISSN 0016-2736.
  2. Kolmogoroff, A. (1929-12). [http://dx.doi.org/10.1007/bf01454828 "�ber das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. Mathematische Annalen. 101 (1): 126–135. doi:10.1007/bf01454828. ISSN 0025-5831. replacement character in |title= at position 1 (help); Check date values in: |date= (help)
  3. W. FELLER (فوریه ۲۷, ۱۹۴۳). THE GENERAL FORM OF THE SO-CALLED LAW OF THE ITERATED LOGARITHM. صص. http://www٫ams٫org/journal-terms-of-use. کاراکتر line feed character در |عنوان= در موقعیت 34 (کمک)
  4. Breiman، Leo (1992-01). Probability. Society for Industrial and Applied Mathematics. شابک ۹۷۸۰۸۹۸۷۱۲۹۶۴. تاریخ وارد شده در |تاریخ= را بررسی کنید (کمک)
  5. "Law of the iterated logarithm". Wikipedia. 2018-03-28.