قانون لگاریتم‌های تکراری

قانون لگاریتم‌های تکراری، اولین بار توسط A. Y. Khinchin (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.

مقدمه

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول $0$ باشند و $S_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}$ باشد، آنگاه داریم:

$$-\infty =\liminf _{n\rightarrow \infty }S_{n}<\limsup _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\infty$$

که منظور از $\limsup _{n\rightarrow \infty }S_{n}$ و $\liminf _{n\rightarrow \infty }S_{n}$ به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

$$\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{-\phi (n)}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\phi (n)}}=1\qquad almost\ surely$$

و برای هر $S_{n}$ای که شرایط زیر را داشته باشد:

$${\begin{cases}E[X_{n}]=0\\\\Var[X_{n}]=\sigma ^{2}=finite\\\end{cases}}$$

داریم:

نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارت${\sqrt {2\log \log(n)/n}}$است و خط پر رنگ مربوط به $S_{n}/n$است؛ و همچنین $S_{n}$مربوط به سری $S_{n}=2\sum _{k=1}^{n}x_{k}-n$است که در آن $X_{k}$، $k$امین رقم اعشاری عدد $\pi$در سیستم دودویی است.

$$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {2\sigma ^{2}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely$$

برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری $S_{n}=2\sum _{k=1}^{n}x_{k}-n$ را در نظر بگیرید که در آن $X_{k}$، $k$ امین رقم اعشاری عدد $\pi$در سیستم دودویی است. دو نمودار ${\sqrt {2\log \log(n)/n}}$(نقطه چین) و $S_{n}/n$ (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی $n\longrightarrow \infty$ این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی $X_{n}$ را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله $n$ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

$$X_{n}=\{-1,0,1\}$$

که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر $S_{n}$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$$S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}$$

مقدار $S_{n}$ بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله $n$ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار $S_{n}$در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

$${\begin{cases}E[X_{n}]=\sum X_{n}P(X_{n})=0\\\\\\Var[X_{n}]=E[X_{n}^{2}]-(E[X_{n}])^{2}=\sigma ^{2}={\frac {2}{3}}\\\end{cases}}$$

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

$$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {{\frac {4}{3}}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely$$

جستارهای وابسته

• قانون اعداد بزرگ
• قضیه حد مرکزی