فرمول والیس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فرمول والیس نام یک رابطه ریاضی است.

پیشینه[ویرایش]

فرمول والیس یکی از مهم‌ترین آثار جان والیس در ریاضیات است. او با ابداع این فرمول ریاضی کار اولر را پیش انداخت.

بیان ریاضی[ویرایش]

والیس از کارهای فرما و دیگران برای محاسبه


y = \sqrt{x - x^2}

سطح زیر نیم‌دایره را برابر 
\frac{\Pi}{8}
در نظر گرفت.

سپس رابطه زیر را نتیجه گرفت:

\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} {dx} = \frac{(\frac{1}{2}!)^2}{2!}

با در نظر گرفتن حاصل ضرب نامحدود زیر:


\frac{2}{\Pi} = \frac{1.3.3.5.5.7...}{2.2.4.4.6.6...}

می‌توان فرمول والیس را به صورت زیر نوشت:


\lim_{n \to \infty} \frac{\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^nx{dx}}{\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^{n+1}x{dx}} = 1

فرمول والیس برای اعداد صحیح فرد عبارت است از:


\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^mx{dx} = \frac{(m - 1)!}{m!!}

و برای اعداد صحیح زوج:


\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^mx{dx} = \frac{(m - 1)!}{m!!} \frac{\Pi}{2}

در فرمول ریاضی بالا !!m حاصل ضرب (m(m - 2)(m - 4 است.

منبع[ویرایش]

  • Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 384, 1991

جستارهای وابسته[ویرایش]