فرمول فالهابر

در ریاضیات، فرمول فالهابر (انگلیسی: Faulhaber's formula)، که به نام یوهان فالهابر نامگذاری شده‌است، مجموع pامین توان‌های nتا عدد صحیح اول را بیان می‌کند:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$

به عنوان تابع چندجمله‌ای n از درجهٔ p+۱، مضرب‌هایی شامل عدد برنولی B_j:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\frac {B_{k}}{k!}}p^{\underline {k-1}}n^{p-k+1},$

که در آن

$p^{\underline {k-1}}=(p)_{k-1}={\dfrac {p!}{(p-k+1)!}}$

فاکتوریل‌های صعودی و نزولی هستند.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Faulhaber's formula». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۵ نوامبر ۲۰۱۸.