صورت گرایی پسا-نیوتنی پارامتری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
فارسیEnglish

صورت گرایی پسا-نیوتنی (به انگلیسی: post-Newtonian formalism) ابزاری محاسباتی است که معادلات (غیرخطی) گرانش اینشتین را بر حسب پایین‌ترین مرتبه مشتقات از قانون جهانی گرانش نیوتن بیان می‌کند. بدین طریق می‌توان تقریبی از معادلات اینشتین را برای میدانهای ضعیف به دست آورد. برای افزایش دقت می‌توان عبارتهای مرتبه بالاتررا افزود اما در مورد میدانهای قوی ترجیح برآن است که معادلات کامل با روش‌های عددی حل شوند. برخی از این تقریبهای پسانیوتنی بسط‌هایی از یک پارامتر کوچک هستند، که برابر با نسبت سرعت ماده تشکیل دهنده میدان گرانش به سرعت نور می‌باشد. در این مورد بهتر است آن را سرعت گرانش بنامیم.

صورت گرایی پسا-نیوتنی پارامتری (به انگلیسی: Parameterized post-Newtonian formalism) یا به اختصار صورت گرایی پی پی ان (به انگلیسی: PPN formalism)، نیز نسخه‌ای از این روش فرمولبندی است که صریحاً جزئیات پارامترهایی را بیان می‌کند که در آن‌ها نظریه گرانش نسبیت عام با گرانش نیوتنی تفاوت دارند. از این روش به عنوان ابزاری برای مقایسه گرانش اینشتینی و نیوتنی در محدوده میدان‌های ضعیف ایجاد شده توسط اجسام در حال حرکت با سرعت‌های کند نسبت به سرعت نور، استفاده می‌شود. به‌طور کلی صورت گرایی پی پی ان را می‌توان در مورد همه نظریه‌های متریکی گرانش که در همه آن‌ها اجسام از اصل هم‌ارزی اینشتین پیروی می‌کنند، به کار برد. در صورت گرایی پی پی ان، سرعت نور ثابت است و همچنین پنداشته می‌شود که تنسور متریک همواره متقارن است.

تاریخچه[ویرایش]

نخستین پارامتری سازی‌های صورت گرایی پست نیوتنی توسط آرتور استنلی ادینگتون در سال ۱۹۲۲ انجام شد. این پارامترها تنها با میدان گرانش خلأ در اطراف یک جسم کروی منزوی سر و کار داشتند. دکتر کن نوردوت(۱۹۶۸و۱۹۶۹) آن را گسترش داد تا شامل هفت پارامتر باشد.

نمادگذاری بتا-دلتا[ویرایش]

ده پارامتر پسا-نیوتنی به‌طور کامل رفتار میدان ضعیف نظریه را مشخص می‌نمایند. صورت گرایی ابزار با ارزشی در آزمونهای نسبیت عام بوده‌است. در نمادگذاریهای (Will (1971), Ni (1972 و(Misner et al. (1973 مقادیر زیر موجود است.

چه میزان خمش در فضازمان با یک واحد جرم سکون ایجاد می‌شود؟
چه میزان غیرخطی بودن درقانون برهم نهی برای گرانش وجود دارد؟
یک واحد انرژی جنبشی چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
یک واحد انرژی پتانسیل گرانشی چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
یک واحد انرژی داخلی چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
یک واحد فشار چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
تفاوت بین انرژی جنبشی شعاعی و عرضی در گرانش
تفاوت بین تنش شعاعی و عرضی در گرانش
یک واحد تکانه چه اندازه کشش چارچوبهای لخت ایجاد می‌کند؟
تفاوت بین تکانه شعاعی و عرضی در کشش چارچوبهای لخت

تنسور متریک متقارن ۴ در ۴ و نمایه‌های و که از ۱ تا ۳ تغییر می‌کنند.

در نظریه اینشتین مقادیر این پارامترها به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که: (۱) با قانون گرانش نیوتن در حد سرعت‌ها و وقتی جرم به صفر میل می‌کند سازگار باشد، (۲) پایستگی جرم، انرژی، تکانه و تکانه زاویه‌ای حفظ شود، و (۳) معادلات از چارچوب مرجع استقلال پیدا کنند. در این نمادگذاری، نسبیت عام دارای پارامترهای پی پی ان و است.

نمادگذاری آلفا-زتا[ویرایش]

در نمادگذاری جدیدتر (Will & Nordtvedt (1972 و (Will (1981, 1993, 2006 از مجموعه متفاوتی از ده پارامتر پی پی ان استفاده شده‌است.

از   محاسبه می‌شود.

مفهوم این پارامترها این است که ، و اندازه تأثیرات چارچوب برتر را اندازه می‌گیرند.، ، ، و شکست پایستگی انرژی، تکانه و تکانه زاویه‌ای را اندازه‌گیری می‌کنند.

در این نمادگذاری پارامترهای پی پی ان نسبیت عام عبارتند از:

and

رابطه ریاضی بین متریک، پتانسیل‌های متریک و پارامترهای پی پی ان برای این نمادگذاری به قرار زیر است:

که در آن نمایه‌های تکرار شده جمع زده شده‌اند. در مرتبه پتانسیل‌هایی چون ، مجذور بزرگی سرعت‌های مختصاتی ماده و غیره، می‌باشد. بردار سرعت دستگاه مختصات پی پی ان نسبت به میانگین چارچوب سکون جهان است. مربع بزرگی این سرعت است. اگر و تنها اگر ، در غیر این صورت خواهد بود.

ده پتانسیل متریکی وجود دارد، ، ، ، ، ، ، ، ، و . یکی به ازای هر پارامتر تا وجود پاسخ یکتا را تضمین کنند. دستگاه‌های معادلات خطی ده معادله-ده مجهول با معکوس کردن یک ماتریس ۱۰x۱۰ حل می‌شود. این پتانسیل‌های متریکی به شکلهایی مانند زیر هستند:

که به سادگی روش دیگری برای نوشتن پتانسیل گرانشی نیوتنی است.

سیاهه کاملی از پتانسیل‌های متریکی در (Misner et al. (1973 و (Will (1981, 1993, 2006 و بسیاری جاهای دیگر می‌توان یافت.

دقت در آزمونهای تجربی[ویرایش]

کران‌های پارامترهای پی پی ان (Will (2006

پارامتر کران اثرها آزمایش
x تأخیر زمانی، شکست نور ردیابی کاسینی
x جابجایی حضیض خورشیدی جابجایی حضیض خورشیدی
x اثر توردوت با فرض اثر نوردوت
حرکات کشندی زمین داده‌های گرانی سنج
قطبش مدار آزمایش محدوده بندی لیزری قمری
x حرکت تقدیمی اسپین هماهنگی محور خورشید با دائرةالبروج
x خود-شتاب آمار اسپین-پایین تپ اختر
x اثر نوردوت محدوده بندی لیزری قمری
- کران‌های پی پی ان ترکیب شده
x شتاب تپ اختر دوتایی پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶
قانون سوم نیوتن شتاب قمری
- آزمایش کروزر

† Will, C.M. ، Is momentum conserved? A test in the binary system PSR 1913 + 16, Astrophysical Journal, Part 2 - Letters, vol. 393, no. 2, July 10, 1992, p. L59-L61.

‡ بر پایه از Will (1976, 2006). از لحاظ نظری ممکن است که یک نظریه گرانشی جایگزین از این کران بگذرد، که در آن صورت از (Ni (1972.

منابع[ویرایش]

  • Eddington, A. S. (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
  • Misner, C. W. ، Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
  • Nordtvedt Jr, K. (1968) Equivalence principle for massive bodies II: Theory, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
  • Nordtvedt Jr, K. (1969) Equivalence principle for massive bodies including rotational energy and radiation pressure, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
  • Will, C. M. (1971) Theoretical frameworks for testing relativistic gravity II: Parameterized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordtvedt effect, Astrophys. J. 163, 611-628.
  • Will, C. M. (1976) Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment, Astrophys. J. ، 204, 224-234.
  • Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
  • Will, C. M. ، (2006) The Confrontation between General Relativity and Experiment, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
  • Will, C. M. ، and Nordtvedt Jr. ، K (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757.

Post-Newtonian formalism is a calculational tool that expresses Einstein's (nonlinear) equations of gravity in terms of the lowest-order deviations from Newton's law of universal gravitation. This allows approximations to Einstein's equations to be made in the case of weak fields. Higher-order terms can be added to increase accuracy, but for strong fields, sometimes it is preferable to solve the complete equations numerically. Some of these post-Newtonian approximations are expansions in a small parameter, which is the ratio of the velocity of the matter forming the gravitational field to the speed of light, which in this case is better called the speed of gravity. In the limit, when the fundamental speed of gravity becomes infinite, the post-Newtonian expansion reduces to Newton's law of gravity.

The parameterized post-Newtonian formalism or PPN formalism, is a version of this formulation that explicitly details the parameters in which a general theory of gravity can differ from Newtonian gravity. It is used as a tool to compare Newtonian and Einsteinian gravity in the limit in which the gravitational field is weak and generated by objects moving slowly compared to the speed of light. In general, PPN formalism can be applied to all metric theories of gravitation in which all bodies satisfy the Einstein equivalence principle (EEP). The speed of light remains constant in PPN formalism and it assumes that the metric tensor is always symmetric.

History

The earliest parameterizations of the post-Newtonian approximation were performed by Sir Arthur Stanley Eddington in 1922. However, they dealt solely with the vacuum gravitational field outside an isolated spherical body. Dr. Ken Nordtvedt (1968, 1969) expanded this to include seven parameters. Clifford Martin Will (1971) introduced a stressed, continuous matter description of celestial bodies.

The versions described here are based on Wei-Tou Ni (1972), Will and Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (see Gravitation (book)), and Will (1981, 1993) and have ten parameters.

Beta-delta notation

Ten post-Newtonian parameters completely characterize the weak-field behavior of the theory. The formalism has been a valuable tool in tests of general relativity. In the notation of Will (1971), Ni (1972) and Misner et al. (1973) they have the following values:

How much space curvature is produced by unit rest mass ?
How much nonlinearity is there in the superposition law for gravity  ?
How much gravity is produced by unit kinetic energy  ?
How much gravity is produced by unit gravitational potential energy  ?
How much gravity is produced by unit internal energy  ?
How much gravity is produced by unit pressure  ?
Difference between radial and transverse kinetic energy on gravity
Difference between radial and transverse stress on gravity
How much dragging of inertial frames is produced by unit momentum  ?
Difference between radial and transverse momentum on dragging of inertial frames

is the 4 by 4 symmetric metric tensor with indexes and going from 0 to 3. Below, an index of 0 will indicate the time direction and indices and (going from 1 to 3) will indicate spatial directions.

In Einstein's theory, the values of these parameters are chosen (1) to fit Newton's Law of gravity in the limit of velocities and mass approaching zero, (2) to ensure conservation of energy, mass, momentum, and angular momentum, and (3) to make the equations independent of the reference frame. In this notation, general relativity has PPN parameters and

Alpha-zeta notation

In the more recent notation of Will & Nordtvedt (1972) and Will (1981, 1993, 2006) a different set of ten PPN parameters is used.

is calculated from

The meaning of these is that , and measure the extent of preferred frame effects. , , , and measure the failure of conservation of energy, momentum and angular momentum.

In this notation, general relativity has PPN parameters

and

The mathematical relationship between the metric, metric potentials and PPN parameters for this notation is:

where repeated indexes are summed. is on the order of potentials such as , the square magnitude of the coordinate velocities of matter, etc. is the velocity vector of the PPN coordinate system relative to the mean rest-frame of the universe. is the square magnitude of that velocity. if and only if , otherwise.

There are ten metric potentials, , , , , , , , , and , one for each PPN parameter to ensure a unique solution. 10 linear equations in 10 unknowns are solved by inverting a 10 by 10 matrix. These metric potentials have forms such as:

which is simply another way of writing the Newtonian gravitational potential,

where is the density of rest mass, is the internal energy per unit rest mass, is the pressure as measured in a local freely falling frame momentarily comoving with the matter, and is the coordinate velocity of the matter.

Stress-energy tensor for a perfect fluid takes form

How to apply PPN

Examples of the process of applying PPN formalism to alternative theories of gravity can be found in Will (1981, 1993). It is a nine step process:

  • Step 1: Identify the variables, which may include: (a) dynamical gravitational variables such as the metric , scalar field , vector field , tensor field and so on; (b) prior-geometrical variables such as a flat background metric , cosmic time function , and so on; (c) matter and non-gravitational field variables.
  • Step 2: Set the cosmological boundary conditions. Assume a homogeneous isotropic cosmology, with isotropic coordinates in the rest frame of the universe. A complete cosmological solution may or may not be needed. Call the results , , , .
  • Step 3: Get new variables from , with , or if needed.
  • Step 4: Substitute these forms into the field equations, keeping only such terms as are necessary to obtain a final consistent solution for . Substitute the perfect fluid stress tensor for the matter sources.
  • Step 5: Solve for to . Assuming this tends to zero far from the system, one obtains the form where is the Newtonian gravitational potential and may be a complicated function including the gravitational "constant" . The Newtonian metric has the form , , . Work in units where the gravitational "constant" measured today far from gravitating matter is unity so set .
  • Step 6: From linearized versions of the field equations solve for to and to .
  • Step 7: Solve for to . This is the messiest step, involving all the nonlinearities in the field equations. The stress–energy tensor must also be expanded to sufficient order.
  • Step 8: Convert to local quasi-Cartesian coordinates and to standard PPN gauge.
  • Step 9: By comparing the result for with the equations presented in PPN with alpha-zeta parameters, read off the PPN parameter values.

Comparisons between theories of gravity

A table comparing PPN parameters for 23 theories of gravity can be found in Alternatives to general relativity#PPN parameters for a range of theories.

Most metric theories of gravity can be lumped into categories. Scalar theories of gravitation include conformally flat theories and stratified theories with time-orthogonal space slices.

In conformally flat theories such as Nordström's theory of gravitation the metric is given by and for this metric , which drastically disagrees with observations. In stratified theories such as Yilmaz theory of gravitation the metric is given by and for this metric , which also disagrees drastically with observations.

Another class of theories is the quasilinear theories such as Whitehead's theory of gravitation. For these . The relative magnitudes of the harmonics of the Earth's tides depend on and , and measurements show that quasilinear theories disagree with observations of Earth's tides.

Another class of metric theories is the bimetric theory. For all of these is non-zero. From the precession of the solar spin we know that , and that effectively rules out bimetric theories.

Another class of metric theories is the scalar tensor theories, such as Brans–Dicke theory. For all of these, . The limit of means that would have to be very large, so these theories are looking less and less likely as experimental accuracy improves.

The final main class of metric theories is the vector-tensor theories. For all of these the gravitational "constant" varies with time and is non-zero. Lunar laser ranging experiments tightly constrain the variation of the gravitational "constant" with time and , so these theories are also looking unlikely.

There are some metric theories of gravity that do not fit into the above categories, but they have similar problems.

Accuracy from experimental tests

Bounds on the PPN parameters from Will (2006) and Will (2014)

Parameter Bound Effects Experiment
x Time delay, Light deflection Cassini tracking
x Perihelion shift Perihelion shift
x Nordtvedt effect with assumption Nordtvedt effect
x Spin precession Millisecond pulsars
Orbital polarization Lunar laser ranging
x Orbital polarization PSR J1738+0333
x Spin precession Millisecond pulsars
x Self-acceleration Pulsar spin-down statistics
x Nordtvedt effect Lunar Laser Ranging
Combined PPN bounds
x Binary pulsar acceleration PSR 1913+16
Newton's 3rd law Lunar acceleration
Kreuzer experiment

Will, C.M. (10 July 1992). "Is momentum conserved? A test in the binary system PSR 1913 + 16". Astrophysical Journal Letters. 393 (2): L59–L61. Bibcode:1992ApJ...393L..59W. doi:10.1086/186451. ISSN 0004-637X.

‡ Based on from Will (1976, 2006). It is theoretically possible[clarification needed] for an alternative model of gravity to bypass this bound, in which case the bound is from Ni (1972).

See also

References

  • Eddington, A. S. (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
  • Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
  • Nordtvedt Jr, K. (1968) Equivalence principle for massive bodies II: Theory, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
  • Nordtvedt Jr, K. (1969) Equivalence principle for massive bodies including rotational energy and radiation pressure, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
  • Will, C. M. (1971) Theoretical frameworks for testing relativistic gravity II: Parameterized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordtvedt effect, Astrophys. J. 163, 611-628.
  • Will, C. M. (1976) Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment, Astrophys. J., 204, 224-234.
  • Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
  • Will, C. M., (2006) The Confrontation between General Relativity and Experiment, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
  • Will, C. M., (2014) The Confrontation between General Relativity and Experiment, https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2014-4
  • Will, C. M., and Nordtvedt Jr., K (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757.