زاویه قائمه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
فارسیEnglish
یک زاویهٔ راست برابر با ۹۰ درجه‌است.
خط جدا‌کنندهٔ AB که خط CD را قطع کرده‌است بر روی آن یک زاویهٔ راست یا ۹۰ درجه تشکیل داده‌است.

در هندسه و مثلثات یک زاویهٔ راست یا قائمه یا راست‌گوشه زاویه‌ای است که زاویهٔ تشکیل شده بوسیلهٔ دو نیمهٔ خط راست را نیمساز می‌کند (آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند). بیان دقیق تر آن چنین است: اگر یک نیم‌خط به گونه‌ای باشد که نقطهٔ یک انتهای آن بر روی یک خط راست قرار داشته باشد و زاویه‌های مجاور آن با هم برابر باشد، آنگاه می‌توان گفت که این زاویه‌ها زاویهٔ راست‌اند.[۱] در چرخش (دوران)، یک زاویهٔ راست مطابق است با یک چهارم دور، چرخش (که برابر است با یک چهارم یک دایرهٔ کامل).[۲]

در هندسه، اگر دو خط بر یکدیگر عمود باشند آن‌ها را عمودی می‌خوانیم یعنی دو خط در نقطه‌ای که همرس شده‌اند زاویهٔ ۹۰ درجه تشکیل داده اند؛ و تعامد که از ویژگی‌های تشکیل زاویهٔ راست است مفهومی است که تنها در فضای برداری و برای بردارها از آن استفاده می‌شود. حضور یک زاویهٔ راست در مثلث باعث می‌شود که مثلث به یک مثلث راست‌گوشه تبدیل گردد[۳] که این پدیده پایهٔ مفهوم‌های به کار برده شده در مثلثات است.

واژهٔ انگلیسی right angle از واژهٔ لاتین angulus rectus در اینجا rectus به معنی «راست» و «عمودی» گرفته شده‌است.

نماد[ویرایش]

یک مثلث راست‌گوشه که زاویهٔ راست آن به صورت یک مرع کوچک نمایش داده شده‌است.
نگارهٔ دیگری برای نشان دادن کاربرد یک کمان و یک نقطه در میانهٔ آن برای زاویهٔ راست.

در یونیکد نمادهای گوناگونی برای زاویهٔ راست انتخاب شده‌است برای نمونه در U+221F نماد ∟، در U+299C نماد ⦜، در U+299D نماد ⦝ (یک کمان بر روی زاویهٔ راست همراه با یک نقطه در میانهٔ آن) به معنی زاویهٔ اندازه‌گیری شده، و در U+22BE همان نماد ∟ همراه با یک کمان بر روی زاویه (⊾ کمان بدون نقطه)[۴]

در شکل‌ها، برای اینکه نشان دهند یک زاویه راست است، یک زاویهٔ راست کوچک در راس زاویه قرار می‌دهند تا یک مربع در گوشه تشکیل شود، گاهی به جای آن از یک کمان به همراه یک نقطه در میانهٔ آن استفاده می‌کنند.

اقلیدوس[ویرایش]

در بارهٔ زاویهٔ راست در کتاب اصول اقلیدس، کتاب ۱ تعریف ۱۰ بحث شده‌است همچنین در تعریف‌های ۱۱ و ۱۲ زاویهٔ تند (برای زاویه‌های کوچکتر از زاویهٔ راست) و زاویهٔ باز (برای زاویه‌های بزرگتر از زاویه راست) تعریف شده‌اند.[۵] همچنین اگر مجموع دو زاویه تشکیل یک زاویهٔ راست دهد آن‌ها را زاویه‌های متمم می‌نامیم.[۶]

در کتابِ ۱، بُنداشتِ (اصلِ موضوعِ) ۴، پذیرفته شده بود که تمامی زاویه‌های راست با یکدیگر برابرند، اقلیدس از همین مطلب استفاده می‌کند و زاویهٔ راست را به عنوان یکای اندازه‌گیری دیگر زاویه‌ها به کار می‌برد. پروکلوس برای این بنداشتِ (اصل موضوعِ) اقلیدس، با استفاده از پیش‌فرض‌های گذشته اثباتی ارائه می‌کند؛ اما مورد بحث قرار می‌گیرد که در این اثبات از بعضی فرض‌های گفته نشده استفاده شده‌است. ساکِری هم اثباتی را ارائه می‌کند اما او هم در اثباتش بعضی فرض‌ها را بدیهی در نظر گرفته و از آن‌ها استفاده کرده بود.

دیگر یکاها[ویرایش]

یک زاویهٔ راست را می‌توان بوسیلهٔ یکاهای مختلفی تعریف کرد:

قانون ۳-۴-۵[ویرایش]

اعداد ۳-۴-۵ را اعداد فیثاغورسی می‌نامند که به آن «قانون ۳-۴-۵» نیز می‌گویند. گاهی برای تشخیص آنکه یک زاویه راست است یا نه، یک ضلع آن را تا ۳ واحد (برای نمونه ۳ سانتی متر) و دیگری را ۴ واحد امتداد می‌دادند، آنگاه دو سر ضلع‌ها را به هم وصل می‌کردند، در مثلث تشکیل شده ضلع سوم را اندازه می‌گرفتند، اگر ضلع سوم (ضلع بلندتر) دقیقا ۵ واحد بود، نشان می‌داد که زاویه ۹۰ درجه بوده‌است. مفهوم هندسی پشت این روش قضیه فیثاغورس است. («مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر»)

قضیه تالس[ویرایش]

قضیه تالس بیان می‌دارد که زاویه‌ای که گوشه اش بر روی کمان دایره و دو انتهای ضلعش بر روی دو سر قطر دایره باشد (زاویه در یک نیم‌دایره تشکیل شده باشد) آن زاویه حتماً زاویهٔ راست است.

یادداشت و منبع[ویرایش]

  1. Wentworth صفحه ۸
  2. Wentworth صفحه ۱۱
  3. Wentworth صفحه ۴۰
  4. Unicode 5.2 Character Code Charts Mathematical Operators, Miscellaneous Mathematical Symbols-B
  5. Heath صفحه ۱۸۱
  6. Wentworth صفحه ۹
  • Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co. 
  • Euclid, commentary and trans. by توماس هیت Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books

جستارهای وابسته[ویرایش]

A right angle is equal to 90 degrees.
A line segment (AB) drawn so that it forms right angles with a line (CD).

In geometry and trigonometry, a right angle is an angle of exactly 90° (degrees),[1] corresponding to a quarter turn.[2] If a ray is placed so that its endpoint is on a line and the adjacent angles are equal, then they are right angles.[3] The term is a calque of Latin angulus rectus; here rectus means "upright", referring to the vertical perpendicular to a horizontal base line.

Closely related and important geometrical concepts are perpendicular lines, meaning lines that form right angles at their point of intersection, and orthogonality, which is the property of forming right angles, usually applied to vectors. The presence of a right angle in a triangle is the defining factor for right triangles,[4] making the right angle basic to trigonometry.

In elementary geometry

A rectangle is a quadrilateral with four right angles. A square has four right angles, in addition to equal-length sides.

The Pythagorean theorem states how to determine when a triangle is a right triangle.

Symbols

Right triangle, with the right angle shown via a small square.
Another option of diagrammatically indicating a right angle, using an angle curve and a small dot.

In Unicode, the symbol for a right angle is U+221F Right angle (HTML ∟). It should not be confused with the similarly shaped symbol U+231E Bottom left corner (HTML ⌞). Related symbols are U+22BE Right angle with arc (HTML ⊾), U+299C Right angle variant with square (HTML ⦜), and U+299D Measured right angle with dot (HTML ⦝).[5]

In diagrams, the fact that an angle is a right angle is usually expressed by adding a small right angle that forms a square with the angle in the diagram, as seen in the diagram of a right triangle (in British English, a right-angled triangle) to the right. The symbol for a measured angle, an arc, with a dot, is used in some European countries, including German-speaking countries and Poland, as an alternative symbol for a right angle.[6]

Euclid

Right angles are fundamental in Euclid's Elements. They are defined in Book 1, definition 10, which also defines perpendicular lines. Definition 10 does not use numerical degree measurements but rather touches at the very heart of what a right angle is, namely two straight lines intersecting to form two equal and adjacent angles.[7] The straight lines which form right angles are called perpendicular.[8] Euclid uses right angles in definitions 11 and 12 to define acute angles (those smaller than a right angle) and obtuse angles (those greater than a right angle).[9] Two angles are called complementary if their sum is a right angle.[10]

Book 1 Postulate 4 states that all right angles are equal, which allows Euclid to use a right angle as a unit to measure other angles with. Euclid's commentator Proclus gave a proof of this postulate using the previous postulates, but it may be argued that this proof makes use of some hidden assumptions. Saccheri gave a proof as well but using a more explicit assumption. In Hilbert's axiomatization of geometry this statement is given as a theorem, but only after much groundwork. One may argue that, even if postulate 4 can be proven from the preceding ones, in the order that Euclid presents his material it is necessary to include it since without it postulate 5, which uses the right angle as a unit of measure, makes no sense.[11]

Conversion to other units

A right angle may be expressed in different units:

Rule of 3-4-5

Throughout history carpenters and masons have known a quick way to confirm if an angle is a true "right angle." It is based on the most widely known Pythagorean triple (3, 4, 5) and so called the "Rule of 3-4-5." From the angle in question, running a straight line along one side exactly three units in length, and along the second side exactly four units in length, will create a hypotenuse (the longer line opposite the right angle that connects the two measured endpoints) of exactly 5 units in length. This measurement can be made quickly and without technical instruments. The geometric law behind the measurement is the Pythagorean theorem ("The square of the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the squares of the two adjacent sides").

Thales' theorem

Construction of the perpendicular to the half-line h from the point P (applicable not only at the end point A, M is freely selectable), animation at the end with pause 10 s
Alternative construction if P outside of the half-line h and the distance A to P' is small (B is freely selectable),
animation at the end with pause 10 s

Thales' theorem states that an angle inscribed in a semicircle (with a vertex on the semicircle and its defining rays going through the endpoints of the semicircle) is a right angle.

Two application examples in which the right angle and the Thales' theorem are included (see animations).

See also

References

  1. ^ "Right Angle". Math Open Reference. Retrieved 26 April 2017. 
  2. ^ Wentworth p. 11
  3. ^ Wentworth p. 8
  4. ^ Wentworth p. 40
  5. ^ Unicode 5.2 Character Code Charts Mathematical Operators, Miscellaneous Mathematical Symbols-B
  6. ^ Müller-Philipp, Susanne; Gorski, Hans-Joachim (2011). Leitfaden Geometrie [Handbook Geometry] (in German). Springer. ISBN 9783834886163. 
  7. ^ Heath p. 181
  8. ^ Heath p. 181
  9. ^ Heath p. 181
  10. ^ Wentworth p. 9
  11. ^ Heath pp. 200-201 for the paragraph