روش تراختنبرگ

روش تراختنبرگ (به انگلیسی: Trachtenberg system) یک سامانهٔ محاسبهٔ ذهنی سریع است که از مجموعه‌ای از عملیات به‌آسانی قابل حفظ تشکیل شده و امکان انجام محاسبات حسابی را با سرعت بالا فراهم می‌کند. این روش را یاکوف تراختنبرگ، ریاضیدان و مهندس اوکراینی-یهودی، ابداع کرد تا ذهن خود را در دوران اسارت در اردوگاه‌های کار اجباری نازی مشغول نگه دارد.

این روش شامل الگوریتم‌هایی برای ضرب، تقسیم و جمع به‌صورت کلی است. افزون بر این، روش تراختنبرگ دربردارندهٔ روش‌های اختصاصی برای ضرب اعداد کوچک بین ۵ تا ۱۳ نیز می‌باشد.

بخش مربوط به جمع، روشی کارآمد برای بررسی درستی محاسبات ارائه می‌دهد که می‌توان آن را برای ضرب نیز به‌کار برد.

ضرب کلی

روش ضرب کلی، شیوه‌ای برای انجام ضرب‌هایی به شکل $a\times b$ با کمترین پیچیدگی فضایی است؛ یعنی نگه‌داشتن کمترین تعداد ممکن از نتایج موقت در حافظه. این هدف با توجه به این نکته دست‌یافتنی می‌شود که رقم آخر حاصل‌ضرب کاملاً توسط ضرب آخرین ارقام عوامل ضرب تعیین می‌شود. برای یافتن رقم ماقبل آخر، باید همه چیزهایی که بر آن رقم تأثیر می‌گذارند در نظر گرفته شوند: نتیجهٔ موقت، رقم آخر $a$ ضربدر رقم ماقبل آخر $b$، و رقم ماقبل آخر $a$ ضربدر رقم آخر $b$.

به‌طور کلی، برای هر مکان $n$ در نتیجهٔ نهایی، مجموع زیر برای همهٔ $i$ محاسبه می‌شود:

$a{\text{ (رقم در }}i{\text{)}}\times b{\text{ (رقم در }}(n-i){\text{)}}.$

یادگیرندگان این الگوریتم می‌توانند اعداد چهاررقمی را در ذهن خود ضرب کنند و تنها نتیجهٔ نهایی را بنویسند؛ نوشتن از رقم سمت راست آغاز می‌شود و به رقم سمت چپ پایان می‌یابد.

تراختنبرگ این الگوریتم را با نوعی ضرب دوتایی تعریف کرد که در آن دو رقم در یک رقم ضرب می‌شوند و تنها رقم میانی نتیجه نگه داشته می‌شود. با به‌کارگیری این الگوریتم همراه با ضرب دوتایی، نیاز به نگه‌داشتن نتایج موقت کمتری خواهد بود.

مثال: $123456\times 789$

نشانگرها برای رقم اول

برای یافتن اولین (راست‌ترین) رقم جواب، از اولین رقم مضروب‌فیه آغاز کنید:

رقم یکان $9\times 6$ برابر $4$ است.

رقم اول جواب $4$ است. رقم دهگان یعنی $5$ نادیده گرفته می‌شود.

نشانگرها برای رقم دوم

برای یافتن رقم دوم جواب، از رقم دوم مضروب‌فیه آغاز کنید:

رقم یکان $9\times 5$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $9\times 6$ به‌علاوهٔ

رقم یکان $8\times 6$.

$5+5+8=18$.

رقم دوم جواب $8$ است و $1$ به رقم سوم نقلی می‌رود.

نشانگرها برای رقم سوم

برای یافتن رقم سوم جواب، از رقم سوم مضروب‌فیه آغاز کنید:

رقم یکان $9\times 4$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $9\times 5$ به‌علاوهٔ

رقم یکان $8\times 5$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $8\times 6$ به‌علاوهٔ

رقم یکان $7\times 6$

$1+6+4+0+4+2=17$

رقم سوم جواب $7$ است و $1$ به رقم بعدی نقلی می‌رود.

برای یافتن رقم چهارم جواب، از رقم چهارم مضروب‌فیه آغاز کنید:

رقم یکان $9\times 3$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $9\times 4$ به‌علاوهٔ

رقم یکان $8\times 4$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $8\times 5$ به‌علاوهٔ

رقم یکان $7\times 5$ به‌علاوهٔ رقم دهگان $7\times 6$.

$1+7+3+2+4+5+4=26$ به‌علاوهٔ نقلی از رقم سوم.

رقم چهارم جواب $6$ است و $2$ به رقم بعدی نقلی می‌رود.

برای به‌دست آوردن ارقام باقیمانده، همین روش را ادامه دهید.

روش ۲ انگشت

تراختنبرگ این روش را «روش ۲ انگشت» نامید. محاسبات برای یافتن رقم چهارم از مثال بالا در تصویر سمت راست نشان داده شده‌است. پیکان از رقم ۹ همیشه به رقم مضروب‌فیه مستقیماً بالای رقمی از جواب که می‌خواهید بیابید اشاره می‌کند و دیگر پیکان‌ها هر کدام یک رقم به سمت راست اشاره می‌کنند. هر نوک پیکان به یک جفت حاصل‌ضرب اشاره دارد. پیکان عمودی به حاصل‌ضربی اشاره می‌کند که رقم یکان را از آن می‌گیریم و پیکان مایل به حاصل‌ضربی اشاره می‌کند که رقم دهگان را از آن می‌گیریم. اگر پیکانی به جایی بدون رقم اشاره کند، محاسبه‌ای برای آن پیکان نیست. با حل هر رقم، همهٔ پیکان‌ها یک رقم به سمت چپ روی مضروب‌فیه جابه‌جا می‌شوند تا همهٔ پیکان‌ها به صفرهای پیشگذار اشاره کنند.

آرایش برای تقسیم

تقسیم در سامانهٔ تراختنبرگ بسیار مشابه ضرب انجام می‌شود، با این تفاوت که به‌جای جمع از تفریق بهره می‌گیرد. مقسوم به مقسوم‌های جزئی کوچک‌تر تقسیم می‌شود و سپس این مقسوم جزئی تنها بر چپ‌ترین رقم مقسوم‌علیه تقسیم می‌شود و جواب را رقم به رقم فراهم می‌آورد. با حل هر رقم جواب، جفت‌های حاصل‌ضرب و جفت‌های NT (عدد-دهگان) از مقسوم جزئی کم می‌شوند تا مقسوم جزئی بعدی به‌دست آید. اگر تفریقی به عدد منفی بیانجامد، باید به رقم قبلی برگردید و آن رقم از جواب را یک واحد کاهش دهید. با تمرین کافی، این روش را می‌توان در ذهن انجام داد.

دیگر الگوریتم‌های ضرب

هنگام انجام هر یک از این الگوریتم‌های ضرب، «گام‌های» زیر باید اعمال شوند.

جواب باید رقم به رقم پیدا شود، از کم‌ارزش‌ترین رقم آغاز می‌شود و به سمت چپ پیش می‌رود. آخرین محاسبه روی صفر پیشرو مضروب‌فیه انجام می‌شود.

هر رقم یک «همسایه» دارد؛ یعنی رقم سمت راست آن. همسایهٔ راست‌ترین رقم، صفر پسین است.

عملیات «نیمه‌کردن» در سامانهٔ تراختنبرگ معنای خاصی دارد: «نصف رقم، گرد شده به سمت پایین». برای افزایش سرعت، توصیه می‌شود این نیمه‌کردن بلافاصله در ذهن انجام شود. به‌جای اینکه فکر کنیم «نصف هفت، سه و نیم است، پس سه»، توصیه می‌شود که فقط بگوییم «هفت، سه». این کار محاسبه را به‌طور چشمگیری سرعت می‌بخشد. به همین ترتیب، جداول کم کردن ارقام از ۱۰ یا ۹ باید از حفظ شوند.

هرگاه قانون می‌گوید نصف همسایه را اضافه کنید، همیشه اگر رقم جاری فرد باشد ۵ نیز اضافه کنید. این کار جبران انداختن ۰٫۵ در محاسبهٔ رقم بعدی را می‌کند.

اعداد و ارقام (مبنای ۱۰)

رقم و عدد دو مفهوم متفاوت هستند. عدد T از n رقم به شکل c_n … c₁ تشکیل می‌شود.

$T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}$

ضرب در ۲

اثبات

${\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

قانون:

1. هر رقم را در ۲ ضرب کنید (با نقلی).

مثال: ۸۶۲۴ × ۲

از راست به چپ:

۸+۸=۱۶،

۶+۶=۱۲ (نقلی ۱)،

۲+۲=۴

۴+۴=۸؛ ۸۶۲۴ × ۲ = ۱۷۲۴۸

مثال: ۷۶۸۹۲ × ۲

از راست به چپ:

۷+۷=۱۴

۶+۶=۱۲

۸+۸=۱۶

۹+۹=۱۸

۲+۲=۴؛۷۶۸۹۲ × ۲ = ۱۵۳۷۸۴

ضرب در ۳

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. راست‌ترین رقم را از ۱۰ کم کنید.
2. ارقام باقیمانده را از ۹ کم کنید.
3. نتیجه را دو برابر کنید.
4. نصف همسایهٔ سمت راست را اضافه کنید، به‌علاوهٔ ۵ اگر رقم فرد باشد.
5. برای صفر پیشرو، ۲ را از نصف همسایه کم کنید.

مثال: ۴۹۲ × ۳ = ۱۴۷۶

از راست به چپ:

(۱۰ − ۲) × ۲ + نصف ۰ (برابر ۰) = ۱۶. بنویس ۶، نقلی ۱.

(۹ − ۹) × ۲ + نصف ۲ (برابر ۱) + ۵ (چون ۹ فرد است) + ۱ (نقلی) = ۷. بنویس ۷.

(۹ − ۴) × ۲ + نصف ۹ (برابر ۴) = ۱۴. بنویس ۴، نقلی ۱.

نصف ۴ (برابر ۲) − ۲ + ۱ (نقلی) = ۱. بنویس ۱.

ضرب در ۴

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. راست‌ترین رقم را از ۱۰ کم کنید.
2. ارقام باقیمانده را از ۹ کم کنید.
3. نصف همسایه را اضافه کنید، به‌علاوهٔ ۵ اگر رقم فرد باشد.
4. برای صفر پیشرو، ۱ را از نصف همسایه کم کنید.

مثال: ۳۴۶ × ۴ = ۱۳۸۴

از راست به چپ:

(۱۰ − ۶) + نصف ۰ (برابر ۰) = ۴. بنویس ۴.

(۹ − ۴) + نصف ۶ (برابر ۳) = ۸. بنویس ۸.

(۹ − ۳) + نصف ۴ (برابر ۲) + ۵ (چون ۳ فرد است) = ۱۳. بنویس ۳، نقلی ۱.

نصف ۳ (برابر ۱) − ۱ + ۱ (نقلی) = ۱. بنویس ۱.

ضرب در ۵

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. نصف همسایه را بگیرید؛ سپس اگر رقم جاری فرد بود، ۵ اضافه کنید.

مثال: ۴۲×۵=۲۱۰

نصف همسایهٔ ۲ (صفر پسین) برابر ۰ است.

نصف همسایهٔ ۴ برابر ۱ است.

نصف همسایهٔ صفر پیشرو برابر ۲ است.

۴۳×۵ = ۲۱۵

نصف همسایهٔ ۳ برابر ۰ است، به‌علاوهٔ ۵ چون ۳ فرد است، می‌شود ۵.

نصف همسایهٔ ۴ برابر ۱ است.

نصف همسایهٔ صفر پیشرو برابر ۲ است.

۹۳×۵=۴۶۵

نصف همسایهٔ ۳ برابر ۰ است، به‌علاوهٔ ۵ چون ۳ فرد است، می‌شود ۵.

نصف همسایهٔ ۹ برابر ۱ است، به‌علاوهٔ ۵ چون ۹ فرد است، می‌شود ۶.

نصف همسایهٔ صفر پیشرو برابر ۴ است.

ضرب در ۶

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. نصف همسایه را به هر رقم اضافه کنید. اگر رقم جاری فرد بود، ۵ اضافه کنید.

مثال: ۳۵۷ × ۶ = ۲۱۴۲

از راست به چپ:

۷ همسایه‌ای ندارد، ۵ اضافه کنید (چون ۷ فرد است) = ۱۲. بنویس ۲، نقلی ۱.

۵ + نصف ۷ (برابر ۳) + ۵ (چون ۵ فرد است) + ۱ (نقلی) = ۱۴. بنویس ۴، نقلی ۱.

۳ + نصف ۵ (برابر ۲) + ۵ (چون ۳ فرد است) + ۱ (نقلی) = ۱۱. بنویس ۱، نقلی ۱.

۰ + نصف ۳ (برابر ۱) + ۱ (نقلی) = ۲. بنویس ۲.

ضرب در ۷

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. هر رقم را دو برابر کنید.
2. نصف همسایهٔ سمت راست را اضافه کنید (اعشار انداخته می‌شود). همسایهٔ رقم یکان صفر است.
3. اگر رقم پایه زوج باشد صفر اضافه کنید، وگرنه ۵ اضافه کنید.
4. هر نقلی از مرحلهٔ قبلی را اضافه کنید.

مثال: ۶۹۳ × ۷ = ۴٬۸۵۱

از راست به چپ:

(۳×۲) + ۰ + ۵ + ۰ = ۱۱ = نقلی ۱، نتیجه ۱.

(۹×۲) + ۱ + ۵ + ۱ = ۲۵ = نقلی ۲، نتیجه ۵.

(۶×۲) + ۴ + ۰ + ۲ = ۱۸ = نقلی ۱، نتیجه ۸.

(۰×۲) + ۳ + ۰ + ۱ = ۴ = نتیجه ۴.

ضرب در ۸

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. راست‌ترین رقم را از ۱۰ کم کنید.
   1. ارقام باقیمانده را از ۹ کم کنید.
2. نتیجه را دو برابر کنید.
3. همسایه را اضافه کنید.
4. برای صفر پیشرو، ۲ را از همسایه کم کنید.

مثال: ۴۵۶ × ۸ = ۳۶۴۸

از راست به چپ:

(۱۰ − ۶) × ۲ + ۰ = ۸. بنویس ۸.

(۹ − ۵) × ۲ + ۶ = ۱۴، بنویس ۴، نقلی ۱.

(۹ − ۴) × ۲ + ۵ + ۱ (نقلی) = ۱۶. بنویس ۶، نقلی ۱.

۴ − ۲ + ۱ (نقلی) = ۳. بنویس ۳.

ضرب در ۹

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10-1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. راست‌ترین رقم را از ۱۰ کم کنید.
   1. ارقام باقیمانده را از ۹ کم کنید.
2. همسایه را به مجموع اضافه کنید.
3. برای صفر پیشرو، ۱ را از همسایه کم کنید.

برای قوانین ۹، ۸، ۴ و ۳ تنها رقم اول از ۱۰ کم می‌شود؛ پس از آن هر رقم از ۹ کم می‌شود.

مثال: ۲٬۱۳۰ × ۹ = ۱۹٬۱۷۰

از راست به چپ:

(۱۰ − ۰) + ۰ = ۱۰. بنویس ۰، نقلی ۱.

(۹ − ۳) + ۰ + ۱ (نقلی) = ۷. بنویس ۷.

(۹ − ۱) + ۳ = ۱۱. بنویس ۱، نقلی ۱.

(۹ − ۲) + ۱ + ۱ (نقلی) = ۹. بنویس ۹.

۲ − ۱ = ۱. بنویس ۱.

ضرب در ۱۰

صفر (۰) را به عنوان رقم سمت راست اضافه کنید.

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

ضرب در ۱۱

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون:

1. رقم را با همسایهٔ خود جمع کنید. (منظور از «همسایه» رقم سمت راست است)

مثال: $3,425\times 11=37,675$

(۰ + ۳) (۳ + ۴) (۴ + ۲) (۲ + ۵) (۵ + ۰)

۳ ۷ ۶ ۷ ۵

برای نشان دادن:

۱۱=۱۰+۱

بنابراین:

$3425\times 11=3425\times (10+1)$

$\rightarrow 37675=34250+3425$

ضرب در ۱۲

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون: برای ضرب در ۱۲:
از راست‌ترین رقم آغاز کنید، هر رقم را دو برابر کرده و همسایه را اضافه کنید. («همسایه» رقم سمت راست است)

اگر جواب بیش از یک رقم باشد، رقم اضافی (که ۱ یا ۲ خواهد بود) را به عملیات بعدی نقل دهید. رقم باقیمانده یک رقم از نتیجهٔ نهایی است.

مثال: $316\times 12$

همسایه‌های مضروب‌فیه ۰۳۱۶ را مشخص کنید:

• رقم ۶ همسایهٔ سمت راستی ندارد
• رقم ۱ همسایه‌اش ۶ است
• رقم ۳ همسایه‌اش ۱ است
• رقم ۰ (صفر پیشوند شده) همسایه‌اش ۳ است

${\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 نقلی 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}$

ضرب در ۱۳

اثبات

${\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

قانون: برای ضرب در ۱۳: از راست‌ترین رقم آغاز کنید، هر رقم را سه برابر کرده و همسایه را اضافه کنید.

نشریات

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012 .
• کتاب The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics نوشتهٔ یاکوف تراختنبرگ، با ترجمهٔ A. Cutler و R. McShane، در سال ۱۹۶۰ (۱۳۳۹ خورشیدی) توسط انتشارات Doubleday and Company, Inc. در Garden City، نیویورک منتشر شد.

کتاب شامل توضیحات جبری اختصاصی برای هر یک از عملیات بالاست.

بیشتر اطلاعات این مقاله از کتاب اصلی گرفته شده‌است.

الگوریتم‌ها و عملیات ضرب و غیره را می‌توان به روش‌های فشرده‌تر دیگری نیز بیان کرد که کتاب به آنها نپرداخته‌است، علی‌رغم وجود فصلی دربارهٔ توصیف جبری.

در فرهنگ عامه

• فیلم آمریکایی ۲۰۱۷ «بااستعداد» (Gifted) دربارهٔ یک کودک نابغه است که در سن ۷ سالگی معلمش را با انجام محاسبات ذهنی با استفاده از روش تراختنبرگ به شگفتی وامی‌دارد.

روش‌های دیگر

روش‌های بسیار دیگری برای محاسبهٔ ذهنی وجود دارند. در اینجا چند روش دیگر آورده شده که ممکن است کاملاً ذهنی نباشند:

• ریاضیات ودایی بهاراتی کریشنا تیرتا — کتاب بهاراتی کریشنا تیرتا «ریاضیات ودایی»
• چرتکهٔ ذهنی — دانش‌آموزان با تمرین دستکاری چرتکه با انگشتان، معمولاً از آنها خواسته می‌شود که محاسبات را با تجسم چرتکه در ذهن انجام دهند. تقریباً همهٔ کاربران ماهر چرتکه در انجام حساب ذهنی مهارت دارند.
• چیسانبوپ — سامانه‌ای کره‌ای از دههٔ ۱۹۴۰ برای شمارش و محاسبه با انگشتان

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Trachtenberg system». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Trachtenberg-System». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی ، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Méthode Trachtenberg». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.

پیوند به بیرون

• آکادمی ریاضیات ودایی
• Rapid Mental Computation System as a Tool for Algorithmic Thinking of Elementary School Students Development — مقالهٔ زیاتدینوف و موسی در European Researcher