رودلف کالمن

رودلف کالمن
نام هنگام تولد	رودلف امیل کالمن
زادهٔ	۱۹ مهٔ ۱۹۳۰ بوداپست، مجارستان
درگذشت	۲ ژوئیهٔ ۲۰۱۶ (۸۶ سال) گینزویل، فلوریدا، ایالات متحده
ملیت	مجارستان ایالات متحده آمریکا
محل تحصیل	مؤسسه فناوری ماساچوست دانشگاه کلمبیا
شناخته‌شده برای	فیلتر کالمن فرضیه کالمن تجزیه کالمن لم کالمن-یاکوبوویچ-پاپوف رویت‌پذیری نمایش فضای حالت
جوایز	مدال افتخار آی‌تریپل‌ئی (۱۹۷۴) مدال روفوس اولدنبرگر (۱۹۷۶) جایزه کیوتو (۱۹۸۵) جایزه میراث کنترل ریچارد ای. بلمن (۱۹۹۷) جایزه چارلز استارک دراپر (۲۰۰۸) نشان ملی علوم (۲۰۰۹)
پیشینه علمی
شاخه(ها)	مهندسی برق ریاضیات نظریه سیستم‌های مهندسی
محل کار	دانشگاه استنفورد دانشگاه فلوریدا انستیتو تکنولوژی فدرال زوریخ
استاد راهنما	جان راگاتزینی
دانشجویان دکتری	پرامود کارگونیکار ادواردو دی. سونتاگ آنتونی تتر

رودلف امیل کالمن ((به مجاری: Kálmán Rudolf Emil)؛ ۱۹ مهٔ ۱۹۳۰ – ۲ ژوئیهٔ ۲۰۱۶) مهندس برق، ریاضی‌دان و مخترع مجارستانی-آمریکایی بود. او بیش از هر چیز برای ابداع مشترک و توسعه فیلتر کالمن شناخته می‌شود؛ یک الگوریتم ریاضی که به‌طور گسترده در پردازش سیگنال، سیستم‌های کنترلی و هدایت، ناوبری و کنترل کاربرد دارد. به پاس این دستاورد، باراک اوباما، رئیس‌جمهور ایالات متحده، در ۷ اکتبر ۲۰۰۹ نشان ملی علوم را به کالمن اعطا کرد.

زندگی و حرفه

رودلف کالمن در سال ۱۹۳۰ در بوداپست، مجارستان، در خانواده اتو و اورسولا کالمن (با نام خانوادگی اصلی گروندمن) متولد شد. پس از مهاجرت به ایالات متحده آمریکا در سال ۱۹۴۳، او مدرک کارشناسی خود را در سال ۱۹۵۳ و مدرک کارشناسی ارشد خود را در سال ۱۹۵۴ در رشته مهندسی برق از مؤسسه فناوری ماساچوست (MIT) دریافت کرد. کالمن دکترای خود را در سال ۱۹۵۷ در دانشگاه کلمبیا در نیویورک به پایان رساند.

کالمن از سال ۱۹۵۸ تا ۱۹۶۴ به عنوان ریاضیدان پژوهشی در مؤسسه تحقیقاتی مطالعات پیشرفته در بالتیمور، مریلند کار کرد. او از سال ۱۹۶۴ تا ۱۹۷۱ استاد دانشگاه استنفورد بود و سپس از سال ۱۹۷۱ تا ۱۹۹۲ به عنوان استاد پژوهشی تحصیلات تکمیلی و مدیر «مرکز نظریه سیستم‌های ریاضی» در دانشگاه فلوریدا فعالیت کرد. وی همچنین از سال ۱۹۶۹ تا ۱۹۷۲ به‌طور دوره‌ای به فونتن‌بلو بازمی‌گشت تا در مین پاریس‌تک (MINES ParisTech) به عنوان مشاور علمی مرکز تحقیقات اتوماتیک خدمت کند. از سال ۱۹۷۳، او کرسی نظریه سیستم‌های ریاضی را در انستیتو تکنولوژی فدرال زوریخ (ETH) در سوئیس نیز بر عهده داشت.

کالمن در صبح روز ۲ ژوئیهٔ ۲۰۱۶ در خانه‌اش در گینزویل، فلوریدا درگذشت.

فعالیت‌های علمی

کالمن که تحصیلات کارشناسی و کارشناسی ارشد خود را در مهندسی برق در MIT و دکترا را در دانشگاه کلمبیا گذرانده بود، بیشتر به خاطر ابداع مشترک فیلتر کالمن (یا فیلتر کالمن-بوسی) شناخته می‌شود. این تکنیک ریاضی به‌طور گسترده در رایانه‌های دیجیتالِ سیستم‌های کنترلی، سیستم‌های ناوبری، ویونیک (الکترونیک هوانوردی) و فضاپیماها برای استخراج یک سیگنال از میانِ دنباله‌ای طولانی از اندازه‌گیری‌های دارای نویز یا ناقص (که معمولاً توسط سیستم‌های الکترونیکی و ژیروسکوپی انجام می‌شوند) استفاده می‌شود.

ایده‌های کالمن در زمینه فیلتر کردن ابتدا با شک و تردید زیادی روبرو شد، تا جایی که او مجبور شد اولین نتایج خود را به‌جای مهندسی برق یا مهندسی سیستم‌ها، در ژورنال‌های مهندسی مکانیک منتشر کند. با این حال، کالمن هنگام بازدید از استنلی اف. اشمیت در مرکز تحقیقات ایمز ناسا در سال ۱۹۶۰، در ارائه ایده‌های خود موفق‌تر بود. این امر منجر به استفاده از فیلترهای کالمن در برنامه آپولو و متعاقب آن در شاتل فضایی ناسا، زیردریایی‌های نیروی دریایی، و وسایل نقلیه هوافضا و سلاح‌های بدون سرنشین مانند موشک کروز شد.

کالمن در طول دهه شصت میلادی چندین مقاله بنیادین منتشر کرد که آنچه را که امروزه به عنوان نمایش فضای حالت سیستم‌های دینامیکی شناخته می‌شود، به‌طور دقیق پایه‌گذاری کرد. او تعریف رسمی یک سیستم، مفاهیم کنترل‌پذیری و رویت‌پذیری را معرفی کرد که در نهایت منجر به تجزیه کالمن شد. کالمن همچنین مشارکت‌های پیشگامانه‌ای در نظریه کنترل بهینه داشت و در کار مشترک خود با جی. ای. برترام، شرحی جامع و عمیق از نظریه پایداری برای سیستم‌های دینامیکی ارائه داد. او همچنین با بی. ال. هو (B. L. Ho) روی مسئله تحقق مینیمال کار کرد که منجر به الگوریتم مشهور هو-کالمن شد.

پژوهش‌ها و دستاوردها

کالمن نقشی بنیادین در تغییر پارادایم نظریه کنترل از روش‌های «حوزه فرکانس» (مانند تبدیل لاپلاس و توابع تبدیل) به روش‌های «حوزه زمان» (فضای حالت) ایفا کرد. او با وارد کردن ریاضیات دقیق و جبر خطی به مهندسی، پایه‌های «کنترل مدرن» را شکل داد.

فیلتر کالمن

همچنین ببینید: فیلتر کالمن

مشهورترین دستاورد او، «فیلتر کالمن» است که در مقاله سال ۱۹۶۰ او با عنوان «رویکردی جدید به مسائل فیلترینگ خطی و پیش‌بینی» معرفی شد. این فیلتر یک برآوردگر بهینه بازگشتی است که حالت یک سیستم پویا را از روی اندازه‌گیری‌های دارای نویز تخمین می‌زند. برخلاف روش‌های پیشین (مانند فیلتر وینر) که نیاز به ذخیره‌سازی تمام داده‌های گذشته داشتند، فیلتر کالمن به دلیل ماهیت بازگشتی و استفاده از فضای حالت، برای پیاده‌سازی در رایانه‌های دیجیتال بسیار کارآمد بود.

در فرمول‌بندی گسسته زمان، اگر مدل سیستم به صورت زیر باشد:

$x_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}+w_{k-1}$

$z_{k}=Hx_{k}+v_{k}$

که در آن $x_{k}$ بردار حالت، $z_{k}$ اندازه‌گیری، و $w_{k}$ و $v_{k}$ نویزهای سفید گوسی هستند، فیلتر کالمن با به حداقل رساندن میانگین مربعات خطا، بهترین تخمین را ارائه می‌دهد. این الگوریتم در دو مرحله «پیش‌بینی» (Prediction) و «به‌روزرسانی» (Update) عمل می‌کند و بهره‌ای موسوم به «بهره کالمن» ($K$) را محاسبه می‌کند که تعیین می‌کند چقدر باید به مدل ریاضی و چقدر به اندازه‌گیری جدید اعتماد کرد.

نمایش فضای حالت

همچنین ببینید: نمایش فضای حالت

تا پیش از دهه ۱۹۶۰، تحلیل سیستم‌های کنترلی عمدتاً بر پایه ورودی-خروجی استوار بود. کالمن مفهوم سیستم دینامیکی را با استفاده از «نمایش فضای حالت» رسمی‌سازی کرد. این رویکرد اجازه می‌دهد تا رفتار سیستم با مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی توصیف شود:

${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

در اینجا $x$ بردار حالت (شامل متغیرهای داخلی سیستم)، $u$ بردار ورودی و $y$ بردار خروجی است. ماتریس‌های $A,B,C,D$ دینامیک سیستم را تعیین می‌کنند. این مدل‌سازی راه را برای تحلیل سیستم‌های چندمتغیره (MIMO) که دارای چندین ورودی و خروجی هستند، هموار کرد.

کنترل‌پذیری و رویت‌پذیری

همچنین ببینید: رویت‌پذیری و کنترل‌پذیری

کالمن دو مفهوم دوگانه و حیاتی را در نظریه سیستم‌ها تعریف کرد که وجود پاسخ برای مسائل کنترل و فیلترینگ را تعیین می‌کنند:

• کنترل‌پذیری (Controllability): سیستمی کنترل‌پذیر است اگر بتوان با اعمال یک ورودی مناسب در زمان متناهی، سیستم را از هر حالت اولیه به هر حالت نهایی دلخواه منتقل کرد. کالمن نشان داد که برای یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI)، شرط لازم و کافی برای کنترل‌پذیری کامل این است که «ماتریس کنترل‌پذیری» زیر دارای رتبه کامل (Full Rank) باشد:

${\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

• رویت‌پذیری (Observability): سیستمی رویت‌پذیر است اگر بتوان با داشتن تاریخچه ورودی‌ها و خروجی‌ها در یک بازه زمانی محدود، حالت اولیه سیستم را به‌طور یکتا تعیین کرد. شرط ریاضی آن کامل بودن رتبه «ماتریس رویت‌پذیری» است:

${\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$

این تعاریف منجر به ارائه «تجزیه کالمن» شد که نشان می‌دهد هر سیستم خطی را می‌توان به چهار زیرفضای مجزا (کنترل‌پذیر و رویت‌پذیر، کنترل‌پذیر و غیررویت‌پذیر، و غیره) تفکیک کرد.

کنترل بهینه و معادله ریکاتی

همچنین ببینید: رگولاتور خطی درجه دوم و معادله ریکاتی

کالمن همچنین سهم عمده‌ای در نظریه کنترل بهینه داشت، به‌ویژه در مسئله «رگولاتور خطی درجه دوم» (LQR). او نشان داد که قانون کنترل بهینه برای مینیمم کردن یک تابع هزینه مربعی (انرژی)، به صورت یک فیدبک حالت خطی $u=-Kx$ است.

او ارتباط عمیقی میان نظریه کنترل بهینه، نظریه پایداری لیاپانوف و «معادله دیفرانسیل ریکاتی» برقرار کرد. در حالت مانا، ماتریس فیدبک بهینه از حل «معادله جبری ریکاتی» (ARE) به دست می‌آید:

$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0$

که در آن $P$ ماتریس متقارن مثبت معین است. این دستاورد، روش‌های طراحی کنترل‌کننده را از روش‌های آزمون و خطا به روش‌های تحلیلی و دقیق ارتقا داد.

جوایز و افتخارات

کالمن عضو خارجی آکادمی‌های علوم فرانسه، مجارستان و روسیه و همچنین عضو آکادمی ملی علوم، آکادمی ملی مهندسی و فرهنگستان هنر و دانش آمریکا بود. او دکترای افتخاری متعددی از دانشگاه‌های مختلف دریافت کرده است. در سال ۲۰۱۲، او به عضویت پیوسته (Fellow) انجمن ریاضی آمریکا درآمد.

کالمن جوایز زیر را دریافت کرد:

• مدال افتخار آی‌تریپل‌ئی (۱۹۷۴)
• مدال صدمین سالگرد آی‌تریپل‌ئی (۱۹۸۴)
• جایزه کیوتو در فناوری پیشرفته از بنیاد ایناموری (۱۹۸۵)
• جایزه استیل از انجمن ریاضی آمریکا (۱۹۸۷)
• جایزه میراث کنترل ریچارد ای. بلمن (۱۹۹۷)
• جایزه چارلز استارک دراپر از آکادمی ملی مهندسی (۲۰۰۸)
• نشان ملی علوم (۲۰۰۹)

کالمن همچنین در سال ۱۹۹۰ دکترای افتخاری از دانشگاه هریوت-وات و در سال ۲۰۱۲ دکترای افتخاری از پلی‌تکنیک میلان دریافت کرد. کالمن چند هفته قبل از اعطای دکترای اخیر درگذشت، بنابراین همسرش دینا به نمایندگی از او در مراسمی که در ۱۲ سپتامبر ۲۰۱۶ در سالن کنفرانس دپارتمان الکترونیک، اطلاعات و مهندسی زیستی پلی‌تکنیک میلان برگزار شد، شرکت کرد.

گزیده آثار

• Kalman, R.E. (1960). "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems". Journal of Basic Engineering. 82 (1): 35–45. doi:10.1115/1.3662552. S2CID 1242324.
• Kalman, R.E.; Bucy, R.S. (1961). "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory" (PDF). Journal of Basic Engineering. 83: 95–108. doi:10.1115/1.3658902. S2CID 8141345.
• Kalman, R. E. (1960). "Contributions to the theory of optimal control". Bol. Soc. Mat. Mexicana.
• Kalman, R. E. (1963). "Mathematical description of linear dynamical systems". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1 (2): 152–192. doi:10.1137/0301010.
• Kalman, R. E.; Bertram, J. E. (1960). "Control system analysis and design Via the "second method" of Lyapunov: I — Continuous-time systems". Journal of Basic Engineering.
• Kalman, R. E.; Bertram, J. E. (1960). "Control system analysis and design Via the "second method" of Lyapunov: II — Discrete-time systems". Journal of Basic Engineering.
• Kalman, R. E.; Ho, B. L. (1966). "Editorial: Effective construction of linear state-variable models from input/output functions". Regelungstechnik.

جستارهای وابسته

• معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن
• فهرست اعضای آکادمی ملی مهندسی آمریکا (الکترونیک)

پیوند به بیرون

• وبگاه فیلتر کالمن
• جایزه کیوتو
• زندگی‌نامه کالمن در IEEE
• الگو:ریاضی‌دان