رادیکال تودرتو

رادیکال تودرتو، رادیکال مسلسل یا رادیکال مرکب در جبر عبارت است از ریشهٔ عبارتی که در خودش یک یا چند عبارت رادیکالی دارد؛ مانند:

${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},$

یا به صورت پیچیده‌تر:

${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.$

حذف رادیکال

برخی رادیکال‌های تو در تو را می‌توان ساده‌تر کرد و از حالت تو در تو خارج کرد؛ مانند:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,$

${\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},$

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.$

البته گاهی می‌توان فرض کرد که یک رادیکال تو در تو برابر است با مجموع دو ریشه:

${\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.$

با به توان دو رساندن دو طرف تساوی خواهیم داشت:

$a\pm b{\sqrt {c}}=d+e\pm 2{\sqrt {de}}.$

اگر فرض کنیم:

$a=d+e,$

آنگاه داریم:

$d=a-e,$

$e=a-d.$

و

$b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}},$

با بتوان دو رساندن دو طرف داریم:

$b^{2}c=4de.$

حال e را جایگزین می‌کنیم:

$b^{2}c=4(a-d)d=4ad-4d^{2}.$

حال عبارت به صورت یک اتحاد درآمد پس خواهیم داشت:

$4d^{2}-4ad+b^{2}c=0,$

$d={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}.$

از آنجایی که a = d+e است پس d و e خواهند بود:

$d={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

و

$e={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}.$

روشی که در بالا گفته شد تنها در حالات خاصی که ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ حاصل گویا داشته باشد درست است.

برخی از اتحادهای رامانوجان

سرینیواسا رامانوجان، ریاضیدان مشهور هندی، تعدادی از اتحادهای جالب شامل رادیکال های مرکب را اثبات کرد. از جمله:

$${\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),$$

$${\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),$$

$${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},$$

و {{${\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad$

جستارهای وابسته

کسر مسلسل

منابع

ویکی انگلیسی